上海市新高一数学衔接课程 第02讲 二次方程.docx

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上海市新高一数学衔接课程第02讲二次方程

2018年新高一数学·暑期衔接课程

（第02讲二次方程）

[基础篇]

一、一元二次方程：

1.根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为

（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝

；

（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－

；

（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边

一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x1，2＝

；x1＝x2＝－

；

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

说明：

在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程

的两个解为

，则有：

我们就称为韦达定理．

韦达定理的推导：

二、二次函数：

1.图像的性质特征

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）具有下列性质

（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；

顶点坐标为

，对称轴为直线x＝－

；

当x＜

时，y随着x的增大而减小；

当x＞

时，y随着x的增大而增大；

当x＝

时，函数取最小值y＝

．

（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；

顶点坐标为

，对称轴为直线x＝－

；

当x＜

时，y随着x的增大而增大；

当x＞

时，y随着x的增大而减小；

当x＝

时，函数取最大值y＝

．

2.函数y＝ax2＋bx＋c图象作图要领

（1）确定开口方向：

由二次项系数a决定

（2）确定对称轴：

对称轴方程为

（3）确定图象与x轴的交点情况，

①若△>0则与x轴有两个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出

②①若△=0则与x轴有一个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出

③①若△<0则与x轴有无交点。

（4）确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）

（5）由以上各要素出草图。

3.二次函数的三种表达式

（1）一般式：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；

（2）顶点式：

y＝a（x＋h）2＋k（a≠0），其中顶点坐标是（－h，k）．

（3）交点式：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

4.函数图象的平移变换与对称变换

平移变换：

对称变换：

（取点法）

三、二元二次方程：

1.二元二次方程

含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程．

　　关于x、y的二元二次方程的一般形式为

至少有一个不为0），其中

叫做二次项，a、b、c分别是二次项的系数；

叫做一次项，d、e分别是一次项的系数；f叫做常数项．

2.二元二次方程组

　　由一个二元一次方程和一个二元二次方程组组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组．

3.解二元二次方程组的思想和方法

　　解二元二次方程组的基本思想是“转化”，将二元转化为一元，将二次转化为一次，转化的基本方法是“消元”和“降次”．因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键．

4.二元二次方程组的模型

（1）“二·一”型方程组（由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成）

解题方法：

代入消元法（即代入法）

（3）“二·二”型方程组（由一个二元二次方程和一个二元二次方程组成）

[技能篇]

题型一：

韦达定理的运用

例题1-1若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则

的值为（）

（A）6（B）4（C）3（D）

例题1-2已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使（2x1－x2）（x1－2x2）＝－

成立？

若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（2）求使

－2的值为整数的实数k的整数值；

（3）若k＝－2，

，试求

的值．

题型二：

二次函数的实际运用

例题2-1某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：

x/元

130

150

165

y/件

70

50

35

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？

此时每天的销售利润是多少？

例题2-2某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件：

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元，

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?

题型三：

二次函数的图像问题

例题3-1下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）

（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2

（C）y＝2x2－1（D）y＝2x2－4x

例题3-2函数y＝2（x－1）2＋2是将函数y＝2x2（）

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的

（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的

（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

例题3-3填空题：

（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为（1，－2），则m＝，n＝．

（2）已知二次函数y＝x2+（m－2）x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．

（3）函数y＝－3（x＋2）2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；当x时，y随着x的增大而减小．

题型四：

二次函数的三种表示方法

例题4-1已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

例题4-2已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

例题4-3根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点（1，－2），（0，－3），（－1，－6）；

（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点（1，11）；

（3）函数图象与x轴交于两点（1－

，0）和（1＋

，0），并与y轴交于（0，－2）．

题型五：

解二元二次方程

例题5-1解下列方程：

（1）

（2）

37、

题型六：

解一元二次不等式

例题6-1解不等式：

（1）x2＋2x－3≤0；

（2）x－x2＋6＜0；

（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；

（5）－4＋x－x2＜0．

例题6-2解关于x的不等式

例题6-3已知不等式

的解是

求不等式

的解．

[竞技篇]

一、选择题：

1、已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）

（A）－3（B）3（C）－2（D）2

2、下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为

；

④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

3、关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）

（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－1

4、方程

的根的情况是（）

（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根

5、若关于x的方程mx2＋（2m＋1）x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

（A）m＜

（B）m＞－

（C）m＜

，且m≠0（D）m＞－

，且m≠0

6、若关于x的方程x2＋（k2－1）x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（）

（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）0

7、选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于

（A）

（B）3（C）6（D）9

（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则

的值为（）

（A）6（B）4（C）3（D）

（3）如果关于x的方程x2－2（1－m）x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（）

（A）α＋β≥

（B）α＋β≤

（C）α＋β≥1（D）α＋β≤1

（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋（a＋b）x＋

＝0的根的情况是（）

（A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根

8、函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定

9、函数y＝－

（x＋1）2＋2的顶点坐标是（）

（A）（1，2）（B）（1，－2）（C）（－1，2）（D）（－1，－2）

10、把函数y＝－（x－1）2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为（）

（A）y＝（x＋1）2＋1（B）y＝－（x＋1）2＋1

（C）y＝－（x－3）2＋4（D）y＝－（x－3）2＋1

二、填空题：

11、若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则

＝

12、方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是

13、以－3和1为根的一元二次方程是

14、方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝

15、方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝

16、已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是

17、方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝

18、若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于

19、如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是

20、二次函数y＝－x2+2

x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为

三、解答题：

21、若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求|x1－x2|的值；

（2）求

的值；

（3）x13＋x23．

22、若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

23、已知

，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数？

24、已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求（x1－3）（x2－3）的值．

25、试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－（2m＋1）x＋1＝0有两个不相等的实数根？

有两个相等的

实数根？

没有实数根？

26、求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

27、已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2（x1＋x2）＞x1x2，求实数k的取值范围．

28、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：

（1）|x1－x2|和

；

（2）x13＋x23．

29、关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值．

30、已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使（2x1－x2）（x1－2x2）＝－

成立？

若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（2）求使

－2的值为整数的实数k的整数值；

（3）若k＝－2，

，试求

的值．

31、已知关于x的方程

．

（1）求证：

无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．

32、若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．

33、求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？

并画出该函数的图象．

34、已知二次函数的图象经过与x轴交于点（－1，0）和（2，0），则该二次函数的解析式可设为y＝a（a≠0）．