初中数学拔高九年级 专题20 直线与圆的位置关系1含答案.docx

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初中数学拔高九年级专题20直线与圆的位置关系1含答案

专题20直线与圆的位置关系

（1）

阅读与思考

圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系.直线与圆相切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、切割线定理等.

证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有：

1.利用定义，判断直线和圆只有一个公共点；

2.当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂直；

3.当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径.

熟悉如下基本图形和以上基本结论.

例题与求解

【例1】如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，交BA的延长线于E.若AB＝3，DE＝2，则BC的长为（）（青岛市中考试题）

A．2B．3C．3.5D．4

例1题图例2题图

解题思路：

本例包含了切线相关的丰富性质，从C点看可应用切线长定理，从E点看可应用切割线定理，又EC为⊙O的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔.

【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝45°，∠ABC＝120°，⊙O的半径为1.

（1）求弦AC，AB的长;

（2）若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论.

（哈尔滨市中考试题）

解题思路：

第

（2）题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得PB与BC，或PC与BC的关系，或求得PB或PC的长，点P的位置即可确定.

【例3】已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点.过点P作BC的平行线交BT于点E，交直线AC于点F.

（1）当点P在线段AB上时（如图），求证：

PA•PB＝PE•PF；

（2）当点P为线段BA的延长线上一点时，第

（1）题的结论还成立吗?

如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.（北京市中考试题）

解题思路：

本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论.

【例4】已知：

如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上.连接AP，MP，AM，AP与MN相较于点F，⊙O过点M，C，P.

（1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）与是否相等？

请说明理由；

（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H.设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形（图2、图3供参考）.

（宜昌市中考试题）

解题思路：

对于（3），只依靠AB的长不能画出图形，需求出关键的量，因为∠C＝90°，⊙O过点M，C，P，故将画出矩形的条件转化为求出CP（或MP）的长.当矩形确定后，依据线段CP的长，就可确定P点的位置.

【例5】如图，已知△ABC内接于⊙O，AD，BD为⊙O的切线，作DE∥BC，交AC于点E，连接EO并延长交BC于点F.求证：

BF＝FC.（太原市竞赛试题）

解题思路：

要证明BF＝FC，只需证FO⊥BC即可，连接OA，OB，OD，将问题转化为证明∠DAO＝∠EFC.

【例6】如图，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，∠C的平分线与AB交于点P，M是△ABC的内切⊙I与边BC的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D，求证：

PD是⊙I的切线.（全国初中数学联赛试题）

解题思路：

设⊙I切AB于点S，连接IM，IS，ID，直接证明∠PDI＝90°困难，不妨证明∠PDI＝∠PSI，即证明△PIS≌△PID.

能力训练

A级

1.PA，PB切⊙O于A，B，∠APB＝78°，点C是⊙O上异于A，B的任意一点，则∠ACB＝__________.

2.如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.要使DE⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是__________.（武汉市中考试题）

第2题图第3题图

3.如图，PA切⊙O于点A，C是上任意一点，∠PAB＝62°，则∠C的度数是__________.

（荆门市中考试题）

4.直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC.若腰DC上有一点P，使AP⊥BP，则这样的点（）

A．不存在　　　　B．只有一个　　　　C．只有两个　　　　D．有无数个

5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD，CB是⊙O的切线，D，B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD，BD，给出以下四个结论：

①AD∥OC；②E为△CDB的内心；③FC＝FE.其中正确的结论是（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

6．如图，ABCD为⊙O的内接四边形，AC平分∠BAD并与BD相交于E点，CF切⊙O于点C并与AD的延长线相交于点F.图中的四个三角形①△CAF,②△ABC,③△ABD,④△BEC，其中一定相似的是（）（连云港市中考试题）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

第5题图第6题图第7题图

7．如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE．

（1）求证：

△ABC是等腰三角形；

（2）设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A，P，C为顶点的三角形与△ABC相似，问这样的点有几个?

（南昌市中考试题）

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交斜边AB于点E，OD∥AB．

求证：

（1）ED是⊙O的切线；

（2）2DE2＝BE•OD.

9．如图，在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的边，且a，b是关于x的一元二次方程x2＋4（c＋2）＝（c+4）x的两个根.点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E．

（1）求证：

△ABC是直角三角形；

（2）若tanA＝时，求AE的长.（内蒙古中考试题）

10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC中点，连接DE.

（1）求证：

直线DE是⊙O的切线；

（2）连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求tan∠ACO的值．（武汉市中考试题）

11．如图，⊙O的半径r＝25，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上一点，且∠PDA＝∠ABD．

（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若tan∠ADB＝，PA＝AH，求BD的长；

（3）在

（2）的条件下，求四边形ABCD的面积.（成都市中考试题）

B级

1．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，过点C的切线与AD的延长线交于点E．若∠DAB＝56°，

∠ABC＝64°，则∠CED＝__________.

2．如图，⊙O与矩形ABCD的边AD，AB，BC分别相切于点E，F，G，P是上的一点，则∠EPF＝__________.（广州市中考试题）

第1题图第2题图第3题图

3．如图，直线AB，AC与⊙O分别相切于点B，C两点，P为圆上一点，P到AB，AC的距离分别为4cm，6cm，那么P到BC的距离为__________cm.（全国初中数学联赛试题）

4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，圆心O在BC上，若AB＝a，AC＝b，则⊙O的半径等于（）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

5．如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ABC＝30°，AC的延长线与过点B的⊙O的切线相交于点D．若⊙O的半径OC＝1，BD∥OC，则CD的长为（）

A．1+B．C．D．

第4题图第5题图第6题图

6．如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出以下四个结论：

①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切线；④＝．其中正确的结论是（）（苏州市中考试题）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

7．如图，已知AC切⊙O于点C，CP为⊙O的直径，AB切⊙O于点D，与CP的延长线交于点B.若AC＝PC.

求证：

（1）BD＝2BP；

（2）PC＝3BP.（天津市中考试题）

8.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径.动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动.P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止.设运动时间为t（s）.

（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?

（2）当t为何值时，PQ与⊙O相切?

（呼和浩特市中考试题）

9.如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°,O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1.求证：

S△AOD，S△BCD是方程10x2－51x＋54＝0的两个根.（河南省中考试题）

10.如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.

（1）求证：

直线PB与⊙O相切;

（2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CE的长.（武汉市中考试题）

11.如图，直线y＝x＋4交x轴于点B，交y轴于点A，⊙O′过A，O两点.

（1）如图1，若⊙O′交AB于点C，当O′在OA上时，求弦AC的长;

（2）如图2，当⊙O′与直线l相切于点A时，求圆心O′的坐标;

（3）当O′A平分△AOB的外角时，请画出图形，并求⊙O′的半径的长.

12.如图，AB是⊙O的直径，AB＝d，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC＝AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.求AE的长.（四川省竞赛试题）

专题20直线与圆的位置关系

（1）

例1、B提示：

连接，则

例2、

（1），

（2）提示：

若是⊙的切线，则，又

，得∥，，，

，，，即当时，是

⊙的切线

例3、提示

（1）证明

（2）当为延长线上一点时，第

（1）题的

结论仍成立

例4、

（1）略

（2），理由如下：

假设，则∥。

，

，，与关于对称，，而与不重

合，这与“过一点（）”只能作一条直线与已知直线（）垂直”矛盾，假设

不成立，即

（3）证明≌，得，设，则，

，连接并延长交于，则四边形为矩形，

∥，得，，

，，，解得

即，，，由此画图

例6连切点半径，和，得四点共圆，得，

，设，则，

，则，∥，，

，

而，

，在与中，，，，≌，

，故是⊙的切线

A级

1、51︒或129︒2、

3、或4、D提示：

以为直径的圆与相交

5、6、

7、

（1）略

（2）满足条件的点有两个：

过点作∥交于点，则

，这时；过点作⊙的切线交于点，则

，这时

8、

（1）提示：

连接，证明，，

（2）在中，，又，，又

2，，

9、

（1）由已知，得，由两根关系得，，

，是直角三角形

（2）提示：

连接，则∥，，，，

10、

（1）连接，，，是⊙的直径，，

是的中点，，，，≌，

，直线是⊙的切线

（2）作于点，由

（1）知BD⊥AC，EC=EB．∵OA=OB，∴OE∥AC且OE=，∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF．

∵CF=OF，∴△DCF≌△