19全国高中数学竞赛专题三角函数.docx

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19全国高中数学竞赛专题三角函数

三角恒等式与三角不等式

一、基础知识

定义1角：

一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2角度制：

把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：

把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。

定义3三角函数：

在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=

定理1同角三角函数的基本关系式，倒数关系：

tanα=,sinα=，cosα=；

商数关系：

tanα=；

乘积关系：

tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；

平方关系：

sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.

定理2诱导公式（Ⅰ）sin（α+π）=-sinα,cos（π+α）=-cosα,tan（π+α）=tanα,cot（π+α）=cotα;

（Ⅱ）sin（-α）=-sinα,cos（-α）=cosα,tan（-α）=-tanα,cot（-α）=cotα;

（Ⅲ）sin（π-α）=sinα,cos（π-α）=-cosα,tan=（π-α）=-tanα,cot（π-α）=-cotα;

（Ⅳ）sin=cosα,cos=sinα,tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。

单调区间：

在区间上为增函数，在区间上为减函数，

最小正周期：

2.奇偶性：

奇函数

有界性：

当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,y取最小值-1，值域为[-1，1]。

对称性：

直线x=k+均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心。

这里k∈Z.

定理4余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx（x∈R）的性质。

单调区间：

在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。

最小正周期：

2π。

奇偶性：

偶函数。

有界性：

当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。

值域为[-1，1]。

对称性：

直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。

这里k∈Z.

定理5正切函数的性质：

由图象知奇函数y=tanx（xkπ+）在开区间（kπ-,kπ+）上为增函数,

最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。

定理6两角和与差的基本关系式：

cos（αβ）=cosαcosβsinαsinβ,

sin（αβ）=sinαcosβcosαsinβ;

tan（αβ）=

两角和与差的变式：

三角和的正切公式：

定理7和差化积与积化和差公式:

sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,

cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,

sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）],cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）],

cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）],sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）].

定理8二倍角公式：

sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=

三倍角公式及变式：

，

，

定理9半角公式:

sin=,cos=,

tan==

定理10万能公式:

,

定理11辅助角公式：

如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点（a,b）的一个角为β，

则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.asinα+bcosα=sin（α+β）.

定理12正弦定理：

在任意△ABC中有，

其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。

定理13余弦定理：

在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。

定理14射影定理：

在任意△ABC中有，，

定理15欧拉定理：

在任意△ABC中，，其中O,I分别为△ABC的外心和内心。

定理16面积公式：

在任意△ABC中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长

则

定理17与△ABC三个内角有关的公式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

定理18图象之间的关系：

y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin（x+）的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin（）的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin（x+）（>0）的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin（x+）（,>0）（|A|叫作振幅）的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。

定义4函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx（x∈[-1,1]），

函数y=cosx（x∈[0,π]）的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx（x∈[-1,1]）.

函数y=tanx的反函数叫反正切函数。

记作y=arctanx（x∈[-∞,+∞]）.

函数y=cotx（x∈[0,π]）的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx（x∈[-∞,+∞]）.

定理19三角方程的解集，如果a∈（-1,1），方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+（-1）narcsina,n∈Z}。

方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.

如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。

恒等式：

arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.

定理20若干有用的不等式：

（1）若，则sinx

（2）函数在上为减函数；函数在上为增函数。

（3）嵌入不等式：

设A+B+C=π，则对任意的x,y,z∈R，

有

等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.

二、方法与例题

1．结合图象解题。

例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

2．三角函数性质的应用。

例2设x∈（0,π）,试比较cos（sinx）与sin（cosx）的大小。

【解】若，则-1

所以sin（cosx）≤0,又00，所以cos（sinx）>sin（cosx）.

若，则因为sinx+cosx=sin（x+）≤<，所以0

所以cos（sinx）>cos（-cosx）=sin（cosx）.

综上，当x∈（0,π）时，总有cos（sinx）

3．最小正周期的确定。

例3求函数y=sin（2cos|x|）的最小正周期。

【解】因为cos（-x）=cosx，所以cos|x|=cosx,所以T=2π是函数的周期；

4．三角最值问题。

例4已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。

【解法一】令sinx=,

则有y=

因为，所以，所以≤1，

所以当，即x=2kπ-（k∈Z）时，ymin=0，当，即x=2kπ+（k∈Z）时，ymax=2.

【解法二】因为y=sinx+=2（因为（a+b）2≤2（a2+b2）），

且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，

所以当=sinx，即x=2kπ+（k∈Z）时,ymax=2，

当=-sinx，即x=2kπ-（k∈Z）时,ymin=0。

5．换元法的使用。

例5求的值域。

【解】设t=sinx+cosx=

因为所以

又因为t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以

因为t-1，所以，所以y-1.所以函数值域为

6．图象变换：

y=sinx（x∈R）与y=Asin（x+）（A,,>0）.

例6已知f（x）=sin（x+）（>0,0≤≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。

【解】由f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），所以sin（x+）=sin（-x+），

所以cossinx=0，对任意x∈R成立。

又0≤≤π，解得=，

因为f（x）图象关于对称，所以=0。

取x=0，得=0，所以sin所以（k∈Z），即=（2k+1）（k∈Z）.

又>0，取k=0时，此时f（x）=sin（2x+）在[0，]上是减函数；

取k=1时，=2，此时f（x）=sin（2x+）在[0，]上是减函数；

取k=2时，≥，此时f（x）=sin（x+）在[0，]上不是单调函数，

综上，=或2。

7．三角公式的应用。

例7已知sin（α-β）=，sin（α+β）=-，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。

【解】因为α-β∈，所以cos（α-β）=-

又因为α+β∈，所以cos（α+β）=

所以sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=,

cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=-1.

例8已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。

【解】因为A=1200-C，所以cos=cos（600-C），

又由于

=，

所以=0。

解得或。

又>0，所以。

例9求证：

tan20+4cos70=

【解】tan20+4cos70=+4sin20

例10证明：

分析：

等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为、

的表达式，但相对较繁.观察到右边的次数较高，可尝试降次.

证明：

因为

从而有

评述：

本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷.另本题也可利用复数求解.令，展开即可.

例11已知

证明：

例12证明：

对任一自然数n及任意实数为任一整数），

有

思路分析：

本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.

证明：

同理……

评述：

①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.

②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：

.

例13设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

[解]设的公比为，则，而

　　．

因此，只需求的取值范围．

因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组

即解得

从而，因此所求的取值范围是．故选C

例14△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，

则的值为（）

A．2B．4C．6D．8

解：

如图，连BA1，则AA1=2sin（B+

同理