六年级下册数学试题奥数专题讲练第十三讲最大公因数与最小公倍数无答案全国通用.docx
《六年级下册数学试题奥数专题讲练第十三讲最大公因数与最小公倍数无答案全国通用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六年级下册数学试题奥数专题讲练第十三讲最大公因数与最小公倍数无答案全国通用.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
六年级下册数学试题奥数专题讲练第十三讲最大公因数与最小公倍数无答案全国通用
第十三讲最大公因数与最小公倍数
知识导航：
1.最大公因数和最小公倍数的概念和最简单的表示方法
（1）几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
自然数a、b最大公因数记作（a,b）。
例如：
12和18的最大公因数是6，可以记作（12,18）=6。
（2）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数记作﹝a,b﹞
例如：
24和18的最小公倍数是72，记作﹝24,18﹞=72。
2．关于最大公因数和最小公倍数的有关性质
（1）如果a和b互质，那么a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。
（2）如果a是b的整数倍，那么a和b的最大公因数是b,最小公倍数是a。
（3）非零自然数a、b分别除以它们的最大公因数d，所得商是互质的。
（4）公因数是最大公因数的因数。
（5）若两个数同时扩大m倍，它们的最大公因数也扩大m倍。
（6）两个数的任意公倍数是它们最小公倍数的倍数。
（7）两个数的最小公倍数等于这两个数的乘积与它们最大公因数的商。
3．求最大公因数和最小公倍数的方法
（1）列举法：
例：
12的因数：
1、2、3、4、6、12；12的倍数:
12、24、36、48…
18的因数：
1、2、3、6、9、18；18的倍数：
18、36、54…即（12，18）=6〔12，18〕=36
（2）短除法：
求几个数的最大公因数，用几个数的公因数去除，除到这几个数只有公因数“1”为止，将左半边的公因数相乘。
求几个数的最小公倍数，也是用几个数的公因数去除，除到两两互质为止。
将左半边的公因数和拐弯处剩下的数都相乘。
（3）分解质因数法：
12=2×2×3;18=2×3×3即（12，18）=6〔12,18〕=36
（4）辗转相除法：
主要针对两个较大数求最大公因数而言的。
就是用其中较大数除以较小数，得余数r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数r2…以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。
第一关：
必须会
例1.求24和32的最大公因数
2432
1216
68
解析：
要想求几个数的最大公因数，我们要掌握求最大公因数的几种方法。
有：
列举法、短除法、分解质因数法、和辗转相除法等。
最常用、最方便的方法是短除法。
解：
2
2
2
34
（24,32）=2×2×2=8
答：
24和32的最大公因数是8。
我试试：
1、用短除法求出下面各组的最大公因数
（1）56和42
（2）225和15（3）84和105
（4）72和90（5）60、90和120（6）48、12和16
2、直接说出下面各组数的最大公因数，你能发现什么规律？
（1）8和97和1113和20
（2）4和1216和3215和30
（3）1和107、8、和95、10和15
3、填空
（1）最小质数与最小合数的最大公约数是（）
（2）自然数a除以自然数b，商是15，最大公因数是（）
（3）甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因数是（）
（4）两个数为互质数，这两个数的最大公因数是（）
（5）相邻的两个自然数一定只有公因数（）
（6）甲、乙两数的最大公因数是7，甲数的3倍与乙数的5倍的最大公因数是（）
（7）所有偶数的最大公约数是（），所有奇数的最大公约数（）
（8）把自然数a与b分解质因数，得到a=2×5×7×m，b=3×5×m（a，b）=（）例2.求36和60的最小公倍数。
解析：
求最小公倍数和求最大公因数的方法有相同之处，都可以用短除法。
解：
3
2
2
35
〔36,60〕=3×2×2×3×5=180
答：
36和60的最小公倍数是180。
我试试：
1、求下列各组数的最小公倍数
（1）25和15
（2）140和35（3）24和36
（4）4，8和16（5）45和135（6）48，16和24
2、直接说出下列各组数的最小公倍数，你发现了什么？
（1）18和3612和248、16和72
（2）9和105、7和113、4和5
3、填一填，判一判，选一选。
（1）填一填
①a和b都是自然数，如果a除以b商是5没有余数，那么a和b的最大公约数是（），最小公倍数（）。
②如果a和b是互质的自然数，那么a和b的最大公约数是（），最小公倍数是（）。
③三个质数的最小公倍数是42，这三个质数是（）。
④100以内能同时被3和7整除的最大奇数是（），最大偶数是（）。
⑤已知两个互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是（）和（）。
⑥所有偶数的最大公约数是（），所有奇数的最大公约数（）。
⑦甲数=2×3×5×7，乙数=2×3×11，甲乙两数的最大公约数是（），最小公倍数是（）
（2）判一判
①几个数的公倍数是无限的，最小的只有一个。
（）
②两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小。
（）
③如果三个自然数两两互质，它们的最大公约数是1，最小公倍数就是三个数的乘积。
（）
④如果一个质数与一个合数不是互质数，那么这个合数是这两个数的最小公倍数。
（）
⑤一个数的约数必定小于它的倍数。
（）
（3）选一选
①96是16和12的（）
A、倍数B、最小公倍数
C、公约数
②几个质数的连乘积是（）
A、合数B、质数
C、最大公约数
D、最小公倍数
③甲是乙的15倍，甲和乙的最小公倍数是（
）
A、15B、甲
C、乙
D、甲×乙
④12是24和36的（）
A、约数B、质因数
C、最大公约数
⑤一个数的最大约数（）它的最小倍数。
A、＞B、＜C、＝D、≤
⑥M＝2×2×5，N＝2×3×5，那么M和N的最小公倍数是（）
A、600B、300C、60D、10
例3.有一筐苹果4个4个拿，6个6个拿，或者8个8个拿都正好拿完，这筐苹果最少有（）个。
解析：
因为4个4个拿，6个6个拿，或者8个8个拿都正好拿完，说明苹果的总个数一定是4、
6、8的公倍数，要求苹果至少有多少个，就是求它们的最小公倍数。
解：
2
我试试：
132
〔4，6,8〕=24
答：
这筐苹果至少有24个。
1、某班学生做操，每行12人或每行16人，都正好整行。
这个班学生不到50人，算一算这个班究竟有多少人？
2、老师组织同学们去植树，分成5人一组、9人一组和15人一组，都恰好无剩余。
植树学生至少有多少人？
3、公共汽车站有三路汽车通往不同地方，第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次，三路汽车在同一时间发车后，最少再过多长时间能同时发车？
例4.有三根铁丝，一根长15米，一根长18米，一根长27米，把它们截成同样长的小段，不许有剩余，每段最长有几米？
一共可以分成几段？
解析：
如果把三根铁丝截成同样长的小段，没有剩余有许多种方法，但是，截成最长的一段，只有一种，可以求三根铁丝的最大公因数。
解：
3
569
（15,18,27）=35+6+9=20（段）
答：
每段最长3米，一共可以分成20段。
我试试：
1、把一张长72厘米，宽60厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，纸无剩余，至少能裁多少张？
2、用96朵红花和72朵白花做花束，如果每个花束里的红花朵数都相等，每个花束里的白花的朵数也都相等，每个花束里最少有几朵花？
3、有一个长80厘米，宽60厘米，高115厘米的长方体储冰容器，往里面装入大小相同的立方体冰块，这个容器最少能装多少数量冰块？
第二关：
我能会
例1．学校操场长96米，从一端起到另一端每隔4米插有一面小红旗。
现在要改成每隔6米插一面红旗。
问可以不必拔出来的小红旗有多少面？
解析：
要想求出有多少面小旗不动，就必须知道在96米之内，4和6的公倍数有多少个。
在加上一端的。
解：
〔4,6〕=1296÷12=88+1=9（面）
答：
可以不必拔出来的小红旗有9面。
我能行：
1、一只电子钟，每到整点响一次铃，每走9分亮一次灯。
中午12时整，它既响铃又亮灯。
下一次既响铃又亮灯是几时？
2、小明和爸爸进行登台阶运动。
台阶共有60级，爸爸每步登3级，小明每步登2级。
问小明和爸爸都没有登过的台阶有多少级？
3、已知某小学六年级学生超过100人，而不足140人。
将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分，也多3人。
这个学校六年级学生多少？
例2．用某数去除47、61、75，结果都有余数5，问这个数最大是多少？
解析：
根据题意可知47÷a=X……5,61÷a=Y……575÷a=Z……5用75-47=28，相当于把余数5消去了，就剩下几个除数，再用61-47=14，最后求28和14的最大公因数。
解：
75-47=28
61-47=14
（28,14）=14
答：
这个数最大是14。
我能行：
1、有一个整数，除300、262、205得到的余数相同，问这个整数是几？
2、一个整数除3073余28，除1883余27，问这个整数是几？
3、某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是几？
例3.甲数是32，甲乙两数的最小公倍数是224，最大公因数是8，求乙数。
解析：
由于两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以求乙数就用最大公因数乘最小公倍数再除以甲数。
解：
224×8÷32=56
答：
乙数是56。
我能行：
1、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，求另一个数。
2、已知两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，这两个数各是多少？
3、两个整数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？
例4.把一些糖果平均分成若干包，每包10粒余9粒，每包12粒余11粒，每包15粒余14粒，这些糖果最少有多少粒？
解析：
根据已知条件可知，如果糖果总数增加1粒后，则恰好是10、12、15的倍数，求糖果最少有多少粒，就是求三个数的最小公倍数，再减去1粒。
解：
〔10,12,15〕=60
60-1=59（粒）
答：
这些糖果最少有59粒。
我能行：
1、一个自然数被4除余1，被5除余2，被6除余3，这个自然数最小是多少？
2、一个自然数加上7是7的倍数，加上8是8的倍数，减去9是9的倍数，求这个数最小是多少？
3、有一个数，被4除余1，被5除余4，被7除余2，这个数最小是多少？
第三关：
我想会
例1.求3、9、27的最大公因数。
142870
解析：
求几个最简分数的最大公因数的方法是：
取各最简分数分子的最大公因数做分子，取各最简分数分母的最小公倍数做分母，所得新分数就是这几个最简分数的最大公因数。
解：
（3,9,27）=3
〔14,28,70〕=140（3，
9，27）=3
142870140
答：
3、9、27的最大公因数是3。
我要学：
142870
140
1、求7和21的最大公因数。
1522
2、求12
25
918
、、的最大公因数。
4035
7812
3、求、、的最大公因数。
13925
例2.求
10155
、、
215614
的最小公倍数。
解析：
求几个最简分数的最小公倍数的方法是：
取各分数的分子的最小公倍数做分子，取各分数分母的最大公因数做分母，所得到的新分数就是这几个最简分数的最小公倍数
解：
〔10,15,5〕=30
（21,56,14）=7
10155
，，
〕=30
2156147
1015530
答：
、、
215614
的最小公倍数是。
7
我要学：
1、求
112233
、和
302540
的最小公倍数。
2、求
7357
、和
304824
的最小公倍数。
3、求
245
、和
91512
的最小公倍数。
例3.求2430和1686的最大公因数。
解析：
我们发现这个数比较大，用短除法求最大公因数不容易找出它们的公因数，我们可以掌握另一种求最大公因数的方法辗转相除法。
解：
2430=1686×1+7441686=744×2+198
744=198×3+150
198=150×1+48
150=48×3+6
48=6×8
（2430,1686）=6
答：
2430和1686的最大公因数是6。
我要学：
1、求36963和59570的最大公因数。
2、求5890和6327的最大公因数。
3、两个数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数是多少？
例4.一次会餐，每两个人合用一只饭碗，三个人合用一只菜碗，四个人合用一只汤碗，会餐共用
65只碗。
问参加会餐的有多少人？
解析：
会餐的人数应该是2、3、4的倍数，就是先求2、3、4的最小公倍数，〔2,3,4〕=12，看看12个人里面可以用几只饭碗，几只菜碗，几只汤碗，再用总碗数除以每12个人所用的碗数，得到的数就是有多少个12个人用餐。
解：
〔2,3,4〕=12
12÷2=66+4+3=13
12÷3=465÷13=5
12÷4=312×5=60（人）
答：
参加会餐的共有60人。
我要学：
1、老师为春游的同学发饮料，每两人一瓶A饮料，每三人一瓶B饮料，每四人一瓶C饮料，全班共喝了52瓶饮料，共有多少人？
2、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种分成12等份，第三种将木棍分成15等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
3、爷爷对小明说：
“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过几年是你的5倍、4倍、
3倍。
”小明现在几岁？
大显身手：
1、一种长方形的地砖，长24厘米，宽16厘米，用这种砖铺一个正方形，至少需多少块砖？
2、有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大一岁，四个人的年龄的乘积是360。
他们中年龄最大是多少岁？
3、汽车站内每隔3分钟发一辆公交车，4分钟发一辆中巴车，1小时共发了几辆汽车？
其中有几辆中巴车？
4、一块长方形铁皮，长96厘米，宽80厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这种正方形的边长是多少？
被剪成几块？
5、四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:
8、
9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?
6、两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是714，求这两个数是多少？
7、有一个三位数能被7整除，这个数除以2余1，除以3余2，除以5余4，除以6余5，这个数是多少？
8、甲乙丙三个班的学生人数分别是54人、48人、42人，现在要在各班内进行分组，各小组的人数要相同，求各小组的人数最多是多少人？
9、一个小于200的数，除以24或36都有余数16，求这个数。
10、有两个两位数，这两个两位数的最大公因数与最小公倍数的和是91，最小公倍数是最大公因数的12倍，求这两个数各是多少？
真题欣赏：
1、四个连续的自然数的最小公倍数是5460，求这四个数的和是多少？
（第十一届“迎春杯”题）
2、一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在1000以内，这样的数共有多少个？
（北京市第十一届“迎春杯”竞赛题）
3、有5000多根牙签，可按六种规格分成小包。
每10根一包，那么最后还剩9根，每9根一包，那么最后还剩8根，第三、四、五、六种的规格是分别以8、7、6、5根为一包，那么最后也分别剩7、6、5、4、根，原来一共有牙签多少根？
（华杯赛真题）
4、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数，问这个整数是几？
（华杯赛真题）
5、幼儿园买来桃273个，杏219个，桔子252个，分给小班的小朋友，每人要分得一样多，结果桃、杏各剩下3个，桔子恰好分完。
小班的小朋友最多有多少个？
（希望杯题）
升级会员 