江苏省沭阳县学年度八年级第一学期初中教学质量监测数学试题附详细答案.docx
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江苏省沭阳县学年度八年级第一学期初中教学质量监测数学试题附详细答案
2018-2019学年江苏省宿迁市沭阳县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.如图美丽的图案中是轴对称图形的个数有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）
A.三条角平分线的交点B.三条高的交点
C.三边的垂直平分线的交点D.三条中线的交点
3.三角形的三边长a、b、c满足a2-c2=b2，则此三角形是（ ）
A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定
4.
如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=32°，则∠ACA′的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.
如图，Rt△ABC中，∠B=90°，ED垂直平分AC，ED交AC于点D，交BC于点E．已知△ABC的周长为24，△ABE的周长为14，则AC的长度为（ ）
A.
B.，14C.
D.
6.
如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：
S△BCO：
S△CAO等于（ ）
A.1：
1：
1B.1：
2：
3C.2：
3：
4D.3：
4：
5
7.若三角形的三边长分别为3、4、5，则它最短边上的高为（ ）
A.
B.
C.3D.4
8.如图，在直线1上依次摆放着四个正方形和三个等腰直角三角形（阴影图形），已知三个等腰直角三角形的面积从左到右分别为1、2、3，四个正方形的面积从左到右依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值为（ ）
A.4B.5C.6D.8
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9.已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么它的周长等于______．
10.如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：
______，使得△ABC≌△DEC．
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，E是斜边AB上的动点，若CD=3cm，则DE长度的最小值是______cm．
12.
如图，将△ABC沿直线AD折叠，△ABD与△ACD完全重合．若AB=8cm，则△ACD中AC边的中线长为______cm．
13.
如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，若斜边AB=a，则图中阴影部分的面积和为______．
14.
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，则∠C=______．
15.
如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=5cm，则线段DF的长度为______cm．
16.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是______．
17.
如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有______个．
18.矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP=______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19.
如图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
四、解答题（本大题共9小题，共88.0分）
20.
如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：
（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
21.
如图，是一块四边形草坪，∠B=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，AD=20m，求草坪面积．
22.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
求证：
（1）OC=OD，
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
23.
（1）如图①，已知∠AOB及点C、D两点，请利用直尺和圆规作一点P，使得点P到射线OA、OB的距离相等，且P点到点C、D的距离也相等．
（2）如图②，利用方格纸画出△ABC关于直线1的对称图形△A′B′C′（不写作图或画图方法，保留痕迹，并用黑色签字笔加粗加黑）
24.
如图，在四边形ABDC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求证：
DB=DC．
25.如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：
△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．
26.
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF，
（1）求证：
AD平分∠BAC；
（2）已知AC=20，BE=4，求AB的长．
27.
如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：
只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
28.在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°．如图，长方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点P从点B出发，以acm/s向终点C运动，运动的时间为ts．
（1）当t=3时，求线段CE的长；
（2）若a=1，当△CEP是以C为顶点的等腰三角形时，求t的值；
（3）连接DP，当点C与点E关于DP对称时，直接写出t与a的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：
四个图案中轴对称图形的是第2、3、4这三个，
故选：
C．
根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】
解：
∵垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：
C．
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等进行解答．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】
解：
因为三角形的三边长a、b、c满足a2-c2=b2，
即a2=c2+b2，
所以此三角形是直角三角形，
故选：
C．
根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状即可．
本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】
解：
∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB，
即∠ACA′=∠BCB'，
∵∠BCB'=32°，
∴∠ACA'的度数为32°．
故选：
B．
根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠A′CB′，然后求出∠ACA=∠BCB'．
本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并求出∠ACA'=∠BCB'是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】
解：
∵ED垂直平分AC，
∴EA=EC，
∵△ABC的周长为24，
∴AB+BC+AB=24，
∵△ABE的周长为14，
∴AB+BE+EA=AB+BE+EC=AB+BC=14，
∴AC=24-14=10，
故选：
A．
根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据三角形的周长公式计算．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
解：
过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE=OF=OD，
∴S△ABO：
S△BCO：
S△CAO=
•AB•OE：
•BC•OF：
•AC•OD=AB：
BC：
AC=2：
3：
4，
故选：
C．
利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：
3：
4．
本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．
7.【答案】D
【解析】
解：
∵三角形三边长分别是3，4，5，
∴32+42=52，
∴此三角形是直角三角形，
它的最短边上的高为4，
故选：
D．
根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，即可得出选项．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能得出三角形是直角三角形是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】
解：
观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=2，
同理S3+S4=6．
则S1+S2+S3+S4=2+6=8．
故选：
D．
将已知的等腰直角三角形翻折得到时故正方形如图所示，运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
此题主要考查了正方形的性质，运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
9.【答案】17
【解析】
解：
当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2=17．
故答案为：
17．
分两种情况讨论：
当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．
10.【答案】AB=DE
【解析】
解：
添加条件是：
AB=DE，
在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC．
故答案为：
AB=DE．本题答案不唯一．
本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC=DC，BC=EC，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．
此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
11.【答案】3
【解析】
解：
如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD=DE，
∵CD=3cm，
∴DE=3cm，即DE长度的最小值是3cm．
故答案为：
3．
过D点作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质定理得出CD=DE，代入求出即可．
本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
12.【答案】4
【解析】
解：
如图．
∵DE是△ADC的AC边上的中线，
∴AE=EC，
由翻折可知：
BD=DC，
∴DE=
AB=4cm，
故答案为4
利用三角形的中位线定理即可解决问题；
本题考查翻折变换、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】2a2
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2，
∵图中阴影部分的面积和=2S正方形=2a2，
故答案为：
2a2
根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，然后判断出阴影部分的面积=2S正方形，再利用正方形的面积等于边长的平方计算即可得解．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟记定理与正方形的面积的求法是解题的关键．
14.【答案】38°
【解析】
解：
∵AB=AD=DC，∠BAD=28°
∴∠B=∠ADB=（180°-28°）÷2=76°．
∴∠C=∠CAD=76°÷2=38°．
故答案为38°．
首先发现此图中有两个等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等找到角之间的关系．结合三角形的内角和定理进行计算．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理；求得∠ADC=76°是正确解答本题的关键．
15.【答案】5
【解析】
解：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABC，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDF中
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DF=CD=5cm，
故答案为：
5
先证明AD=BD，再证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应边相等就可得到答案．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．
16.【答案】80°或20°
【解析】
解：
①若100°是顶角的外角，则顶角=180°-100°=80°；
②若100°是底角的外角，则底角=180°-100°=80°，那么顶角=180°-2×80°=20°．
故答案为：
80°或20°．
此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为180°，可求出顶角的度数．
考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和180°、三角形外角的性质求解．
17.【答案】4
【解析】
解：
到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；
到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个．
故答案为：
4．
根据到直线l1的距离是1的直线有两条，到l2的距离是1的直线有两条，这四条直线的交点有4个解答．
本题主要考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到直线的距离等于定长的点的集合是平行于这条直线的直线．
18.【答案】4或1或9
【解析】
解：
（1）如图1，当AE=EP=5时，
过P作PM⊥AB，
∴∠PMB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴四边形BCPM是矩形，
∴PM=BC=3，
∵PE=5，
∴EM=
=
=4，
∵E是AB中点，
∴BE=5，
∴BM=PC=5-4=1，
∴DP=10-1=9；
（2）如图2，当AE=AP=5时，DP=
=
=4；
（3）如图3，当AE=EP=5时，
过P作PF⊥AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAB=90°，
∴四边形BCPF是矩形，
∴PF=AD=3，
∵PE=5，
∴EF=
=4，
∵E是AB中点，
∴AE=5，
∴DP=AF=5-4=1．
故答案为：
1或4或9．
首先根据题意画出图形，共分3种情况，画出图形后根据勾股定理即可算出DP的长．
此题主要考查了勾股定理的运用，以及矩形的判定，关键是考虑各种情况，正确画出图形．
19.【答案】解：
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=
=
=40°；
∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=100°，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=50°．
【解析】
先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再由三角形内角和定理即可求出∠B的度数，根据等腰三角形三线合一的性质即可求出∠BAD的度数．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟记等腰三角形的性质-三线合一是解题的关键．
20.【答案】证明：
（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC=AD，
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形．
【解析】
（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC=AD，
（2）根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．
本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．
21.【答案】
解：
连接AC，
∵∠B=90°，AB=24m，BC=7m，
∴AC2=AB2+BC2=242+72=625，
∴AC=25（m）．
又∵CD=15m，AD=20m，152+202=252，即AD2+DC2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=
•AB•BC+
•AD•DC
=234（m2）．
【解析】
连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，再求出AD的长，由S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理的应用是解答此题的关键．
22.【答案】证明：
∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE=CE，OE=OE，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OC=OD；
（2）∵△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
【解析】
（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OC=OD即可；
（2）由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线．
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
23.【答案】解：
（1）如图1所示，点P即为所求；
（2）如图2所示：
△A′B′C′即为所求．
【解析】
（1）直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出其交点，即可得出答案；
（2）利用轴对称图形的性质得出对应点，进而得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及角平分线的作法、线段垂直平分线的作法等知识，正确掌握利用轴对称求最短路线作法是解题关键．
24.【答案】解：
连接BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABD-∠ABC=∠ACD-∠ACB，
即∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC．
【解析】
连接BC，根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，求出∠DBC=∠DCB，再根据等腰三角形的判定得出即可．
本题考查了等腰三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
25.【答案】解：
（1）证明：
∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE．
在△EDC中，
∵EC=ED，∠1=42°，
∴∠C=∠EDC=69°，
∴∠BDE=∠C=69°．
【解析】
（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
（2）由
（1）可知：
EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数；
本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
26.【答案】
（1）证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：
∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴AE=AF，CF=BE=4，
∵AC=20，
∴AE=AF=20-4=16，
∴AB=AE-BE=16-4=12．
【解析】
（1）求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE=AF，BE=CF，即可求出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
27.【答案】解：
满足条件的所有图形如图所示：
共5个．
【解析】
①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可，⑥以A为端点在AD上截取3个单位，再作这条线段的垂直平分线交BC一点，连接即可（和⑤大小一样）；⑦以A为端点在AD上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交CD一个点，连接即可（和③大小一样）．
此题主要考查了作图-应用与设计作图，关键是掌握等腰三角形的判定方法．
28.【答案】解：
（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，BC=AD=9，CD=AB=4，
当t=3时，由运动知，BP=at=3a，DE=t=3，
∴CP=BC-BP=9-3a
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE=
=5；
（2）当a=1时，由运动知，DE=t，BP=t，
∴CP=9-t，
在Rt△CDE中，CE=
，
∵△CEP是以CE为腰的等腰三角形，
∴①CE=CP，
∴16+t2=（9-t）2，
∴t=
②CE=PE，
∴
CP=DE，
∴9-t=2t，
∴t=3，
即：
t的值为3或
；
（3）如图，
由运动知，BP=at，DE=t，
∴CP=BC-BP=9-at，
∵点C与点E关于DP对称，
∴DE=CD，PE=PC，
∴t=4，
∴BP=4a，CP=9-4a，
过点P作PF⊥AD于F，
∴四边形CDFP是长方形，
∴PF=CD=4，DF=CP，
在Rt△PEF中，PF=4，EF=DF-DE=5-4a，
根据勾股定理得，PE2=（5-4a）2+16，
∴（5-4a）2+16=（9-4a）2，
∴a=
．
【解析】
（1）先得出BP=at=3a，DE=t=3，CP=BC-BP=9-3a，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE=5；
（2）先得出DE=t，BP=t，CP=9-t，再分两种情况①CE=
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