知识点051幂的乘方与积的乘方解答题.docx
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知识点051幂的乘方与积的乘方解答题
一、解答题（共81小题）
1．已知：
162×43×26=22x﹣1，[（10）2]y=1012，求2x+y的值．
考点：
幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法。
分析：
运用同底数幂的乘法和幂的乘方的性质，求x，y的值，再代入求2x+y的值．
解答：
解：
∵162×43×26=22x﹣1，[（10）2]y=1012，
∴28×26×26=22x﹣1，102y=1012，
∴2x﹣1=20，2y=12
解得x=
，y=6．
∴2x+y=2×
+6=21+6=27．
故答案为27．
点评：
本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
2．已知xn=5，yn=3，求（x2y）2n的值． 5625
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
利用积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘把代数式化简，再把已知代入求值即可．
解答：
解：
∵xn=5，yn=3，
∴（x2y）2n=x4ny2n，
=（xn）4（yn）2，
=54×32，
=5625．
点评：
本题主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
3．已知
，
，试说明P=Q．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
把P中的99写成11与9的积，利用幂的幂的乘方的性质化简P，然后再与Q对比．
解答：
解：
∵p=
=
=
，
，
∴P=Q．
点评：
本题主要考查了积的乘方的运算性质，注意到999=119×99，以及999=990×99是解题关键．
4．
（1）（﹣3）2006×（﹣
）2007
（2）
．
考点：
幂的乘方与积的乘方；有理数的混合运算。
专题：
规律型。
分析：
（1）逆用积的乘方性质：
an•bn=（ab）n，计算；
（2）设1+
+
+…+
=m，1+
+
+…+
=n，将原式转化为含m、n的代数式运算．
解答：
解：
（1）（﹣3）2006×（﹣
）2007=（﹣3）2006×）×（﹣
）2006×（﹣
）
=[（﹣3）×（﹣
）]2006×（﹣
）
=﹣
；
（2）设1+
+
+…+
=m，1+
+
+…+
=n，则
原式=（m﹣1）n﹣m（n﹣1）=m﹣n=
．
点评：
本题考查了积的乘方性质的运用，用代数方法解决复杂运算的问题，学会这些方法，能提高运算能力．
5．已知以am=2，an=4，ak=32．
（1）am+n= 8 ；
（2）求a3m+2n﹣k的值．
考点：
幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法。
分析：
（1）先化简，am+n=am•an，然后将am=2，an=4代入进行计算．
（2）先化简，a3m+2n﹣k=a3m•a2n÷ak，然后将am=2，an=4，ak=32代入进行计算．
解答：
解：
（1）∵am=2，an=4，
∴am+n=am•an=2×4=8，
故应填8；
（2）∵am=2，an=4，ak=32，
∴a3m+2n﹣k=a3m•a2n÷ak，
=23×42÷32，
=8×16÷32，
=4；
即a3m+2n﹣k的值为4．
点评：
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．
6．根据已知求值
（1）已知3×9m×27m=316，求m的值；
（2）已知am=2，an=5，求a2m+n的值．
考点：
幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法。
分析：
（1）运用幂的乘方，把底数都化为3的形式，结合同底数幂的乘法，列出关于m的方程求解．
（2）运用同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方进行计算即可．
解答：
解：
（1）∵3×9m×27m=316，
∴3×（32）m×（33）m=316，
即3×32m×33m=316，
∴1+2m+3m=16，
解得m=3；
（2）∵am=2，an=5，
∴a2m+n=a2m•an，
=（am）2•an，
=4×5，
=20．
点评：
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．
7．（﹣0.125）5•410
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
先把以4为底数的幂转化成指数是5的幂，再根据积的乘方的性质的逆用计算．
解答：
解：
（﹣0.125）5•410，
=（﹣0.125）5•165，
=（﹣0.125×16）5，
=（﹣2）5，
=﹣32．
点评：
本题主要考查幂的乘方的性质与积的乘方的性质的逆用；幂的乘方，底数不变指数相乘，积的乘方，等于先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘．
8．已知x+y=a，试求（x+y）3（2x+2y）3（3x+3y）3的值．
考点：
幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法。
专题：
计算题。
分析：
因为x+y=a，所以要把后面的式子整理成含（x+y）的式子，代入求值即可．
解答：
解：
（x+y）3（2x+2y）3（3x+3y）3，
=（x+y）3[2（x+y）]3[3（x+y）]3，
=（x+y）3•8（x+y）3•27（x+y）3，
=216（x+y）9，
=216a9．
点评：
本题主要考查积的乘方的性质，同底数幂的乘法的性质，把（x+y）看成一个整体是解题的关键．
9．（﹣2a2b3）4+（﹣a）8•（2b4）3
考点：
幂的乘方与积的乘方；整式的加减。
分析：
先根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算，然后再合并同类项．
解答：
解：
（﹣2a2b3）4+（﹣a）8•（2b4）3，
=16a8b12+a8•8b12，
=（16+8）a8b12，
=24a8b12．
点评：
本题主要考查了积的乘方的运算性质及合并同类项的法则．
10．﹣（﹣4×104）2
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．
解答：
解：
原式=﹣1.6×109．
点评：
科学记数法的表示的数的乘方可以根据积的乘方的性质计算．
11．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
先整理成同指数的幂相乘的形式，再根据积的乘方的性质计算．
解答：
解：
（﹣8）2009•（
）2010，
=（﹣8）2009•（
）2009×
，
=（﹣1）×
，
=﹣
．
点评：
本题主要考查积的乘方的性质的逆用，整理出同指数的幂相乘是求解的关键．
12．已知am=2，an=5，求值：
（1）am+n；
（2）am+2n
考点：
幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法。
分析：
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘的性质的逆用解答．
解答：
解：
（1）∵am=2，an=5，
∴am+n=am•an=2×5=10；
（2）∵am=2，an=5，
∴am+2n=am•（an）2=2×52=2×25=50．
点评：
本题主要考查同底数相乘的性质和幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
13．（﹣a2）3•（﹣a4）2
考点：
幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法。
分析：
根据积的乘方的性质，同底数幂相乘底数不变指数相加计算即可．
解答：
解：
（﹣a2）3•（﹣a4）2，
=﹣a6•a8，
=﹣a14．
故答案为﹣a14．
点评：
本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，需要注意，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂为负数．
14．用简便方法计算：
（1）
（2）﹣0.2514×230
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
（1）根据积的乘方的性质的逆用，把底数相乘后再求3次幂；
（2）把以2为底数的幂转化为以4为底数，然后再根据积的乘方的性质的逆用解答．
解答：
解：
（1）原式=[（﹣9）×（﹣
）×
]3=23=8；
（2）原式=﹣0.2514×230，
=﹣（
）14×415，
=﹣（
×4）14×4，
=﹣4．
点评：
本题考查了积的乘方的性质，转化为同指数的幂相乘是逆用性质的关键，也是解题的难点．
15．（﹣3x3y2）2
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘的性质作答．
解答：
解：
（﹣3x3y2）2=（﹣3）2（x3）2（y2）2=9x6y4．
点评：
本题主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
16．已知x+y=a，用含a的代数式表示：
（x+y）3（2x+2y）3（3x+3y）3
考点：
幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法。
分析：
先把x+y=a代入，再根据积的乘方及同底数幂的乘法法则进行计算即可．
解答：
解：
∵x+y=a，
∴（x+y）3（2x+2y）3（3x+3y）3，
=a3（2a）3（3a）3，
=8×27a3•a3•a3，
=216a9．
点评：
本题主要考查积的乘方的性质，同底数幂的乘法，关键是用a整体代换（x+y）．
17．计算下列各题：
（1）
+
；
（2）（x4）3•（﹣x2）3．
考点：
幂的乘方与积的乘方；实数的运算；同底数幂的乘法。
分析：
（1）先求出各式的算术平方根和立方根，然后再根据有理数的加减运算计算；
（2）根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算．
解答：
解：
（1）
+
，
=11+6+
+0.5，
=19；
（2）（x4）3•（﹣x2）3，
=x12•（﹣x6），
=﹣x18．
点评：
本题考查了实数的运算法则，积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握各运算法则和性质是解题的关键．
18．已知an=3，am=2，求a2n+3m的值．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
逆用同底数幂的乘法与幂的乘方的运算性质，即可得出结果．
解答：
解：
∵an=3，am=2，
∴a2n+3m=a2n•a3m，
=（an）2•（am）3，
=32×23，
=9×8，
=72．
点评：
本题考查同底数幂的乘法与幂的乘方的运算性质．同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘．
19．比较3555，4444，5333的大小．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
由于3个幂的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111，所以逆用幂的乘方的运算性质，可将3个幂都转化为指数是111的幂的形式，然后只需比较它们的底数即可．
解答：
解：
∵3555=35×111=（35）111=243111，
4444=44×111=（44）111=256111，
5333=53×111=（53）111=125111，
又∵256＞243＞125，
∴256111＞243111＞125111，
即4444＞3555＞5333．
点评：
本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．
20．已知|a﹣b+2|+（a﹣2b）2=0，求（﹣2a）2b的值是 ﹣128 ．
考点：
幂的乘方与积的乘方；非负数的性质：
绝对值；非负数的性质：
偶次方；解二元一次方程组。
分析：
根据非负数的性质，由题意先列出方程，即解得a、b的值，代入（﹣2a）2b即求得答案．
解答：
解：
由题意可得
，
解得
，
∴（﹣2a）2b=[（﹣2）×（﹣4）]2×（﹣2）=﹣128，
即（﹣2a）2b的值是﹣128．
点评：
本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
21．已知9n+1﹣32n=72，求n的值．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
由于72=9×8，而9n+1﹣32n=9n×8，所以9n=9，从而得出n的值．
解答：
解：
∵9n+1﹣32n=9n+1﹣9n=9n（9﹣1）=9n×8，而72=9×8，
∴当9n+1﹣32n=72时，9n×8=9×8，
∴9n=9，
∴n=1．
点评：
主要考查了幂的乘方的性质以及代数式的恒等变形．本题能够根据已知条件，结合72=9×8，将9n+1﹣32n变形为9n×8，是解决问题的关键．
22．已知a=355，b=444，c=533，试比较a、b、c的大小．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
根据幂的乘方的性质的逆用，把幂都转化成指数为11，然后根据底数的大小进行比较．
解答：
解：
∵a=（35）11=24311，
b=（44）11=25611，
c=（53）11=12511，
而125＜243＜256，
∴c＜a＜b．
点评：
本题主要利用幂的乘方的性质，转化为同指数幂是解本题的关键．
23．已知A=355，B=444，C=533，试比较A，B，C的大小．（用“＜”连接） C＜A＜B ．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
分别根据积的乘方法则把A、B、C化成同指数的幂，再进行比较即可．
解答：
解：
∵A=355=（35）11=24311，
B=444=（44）11=25611，
C=533=（53）11=12511，
125＜243＜256，
∴C＜A＜B．
点评：
解答此题的关键是熟知以下概念：
（1）同底数幂相乘法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；
（2）积的乘方法则，积的乘方等于各因数的乘方的积．
24．计算：
考点：
幂的乘方与积的乘方；立方根。
分析：
根据计算顺序，首先计算开方并转化为同指数的幂相乘，再根据积的乘方的性质的逆用计算，最后计算减法．
解答：
解：
﹣（﹣0.25）2008×42009，
=﹣2﹣（﹣0.25）2008×42008×4，
=﹣2﹣（﹣0.25×4）2008×4，
=﹣2﹣4，
=﹣6．
故答案为：
﹣6．
点评：
本题考查了积的乘方的性质的逆用，转化为同指数的幂相乘是解决本题的关键，也是解题的难点．
25．比较6111，3222，2333的大小．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
由于3个幂的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111，所以逆用幂的乘方的运算性质，可将3个幂都转化为指数是111的幂的形式，然后只需比较它们的底数即可．
解答：
解：
∵3222=（32）111=9111，2333=（23）111=8111，
又∵9111＞8111＞6111，
∴3222＞2333＞6111．
点评：
本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．
26．阅读下列解题过程，试比较2100与375的大小．
解：
∵2100=（24）25=1625，375=（33）25=2725而16＜27
∴2100＜375
请根据上述解答过程解答：
比较255、344、433的大小．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
专题：
阅读型。
分析：
根据幂的乘方的逆运算，把各数化为指数相同、底数不同的形式，再根据底数的大小比较即可．
解答：
解：
∵255=3211，344=8111，433=6411，
且32＜64＜81，
∴255＜433＜344．
点评：
本题考查幂的乘方的逆运算：
amn=（am）n（其中a≠0，m、n为正整数）．
27．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
把带分数化成假分数，再根据积的乘方的性质的逆用计算即可．
解答：
解：
，
=（﹣
）×（﹣
）2006×（
）2006，
=（﹣
）×（﹣
×
）2006，
=﹣
．
点评：
本题主要考查了积的乘方的性质，化成同指数的幂相乘是逆用性质的关键，也是解题的难点．
28．设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小．小明想到了如下方法：
m=2100=（24）25=1625，即25个16相乘的积；n=375=（33）25=2725，即25个27相乘的积，显然m＜n，现在设x=430，y=340，请你用小明的方法比较x与y的大小．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
根据题意先把x、y分别写成（43）10、（34）10，然后比较底数的大小即可．
解答：
解：
由阅读材料知：
x=（43）10=6410，y=（34）10=8110，
又∵64＜81，
∴x＜y．
故答案为x＜y．
点评：
本题考查了幂的乘方的性质的运用，确定指数是关键，两个底数不同，指数相同的数比较大小，底数大的值比底数小的值要大．
29．25•46
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
由于4=22，所以先将46改写成（22）6，再利用幂的乘方与同底数幂的乘法的性质求解．
解答：
解：
25•46=25•（22）6=25•212=217．
点评：
主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法的性质．将46改写成（22）6，是解决本题的关键．
30．已知272=a6=9b，求2a2+2ab的值．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
先把已知条件转化成以3为底数的幂，求出a、b的值，再代入代数式计算即可．
解答：
解：
由272=a6，
得36=a6，
∴a=±3；
由272=9b，
得36=32b，
∴2b=6，
解得b=3；
（1）当a=3，b=3时，
2a2+2ab=2×32+2×3×3=36．
（2）当a=﹣3，b=3时，
2a2+2ab=2×（﹣3）2+2×（﹣3）×3=18﹣18=0．
所以2a2+2ab的值为36或0．
点评：
根据幂的乘方的性质把已知条件转化为以3为底数的幂求出a、b的值是解题的关键；需要注意，a=﹣3容易被同学们漏掉而导致求解不完全．
31．已知272=a6=9b，求2a2+2ab的值．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
先把已知条件转化成以3为底数的幂，求出a、b的值，再代入代数式计算即可．
解答：
解：
由272=a6，
得36=a6，
∴a=±3；
由272=9b，
得36=32b，
∴2b=6，
解得b=3；
（1）当a=3，b=3时，
2a2+2ab=2×32+2×3×3=36．
（2）当a=﹣3，b=3时，
2a2+2ab=2×（﹣3）2+2×（﹣3）×3=18﹣18=0．
所以2a2+2ab的值为36或0．
点评：
根据幂的乘方的性质把已知条件转化为以3为底数的幂求出a、b的值是解题的关键；需要注意，a=﹣3容易被同学们漏掉而导致求解不完全．
32．计算：
考点：
幂的乘方与积的乘方；立方根。
分析：
根据计算顺序，首先计算开方并转化为同指数的幂相乘，再根据积的乘方的性质的逆用计算，最后计算减法．
解答：
解：
﹣（﹣0.25）2008×42009，
=﹣2﹣（﹣0.25）2008×42008×4，
=﹣2﹣（﹣0.25×4）2008×4，
=﹣2﹣4，
=﹣6．
故答案为：
﹣6．
点评：
本题考查了积的乘方的性质的逆用，转化为同指数的幂相乘是解决本题的关键，也是解题的难点．
33．阅读下列解题过程，试比较2100与375的大小．
解：
∵2100=（24）25=1625，375=（33）25=2725而16＜27
∴2100＜375
请根据上述解答过程解答：
比较255、344、433的大小．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
专题：
阅读型。
分析：
根据幂的乘方的逆运算，把各数化为指数相同、底数不同的形式，再根据底数的大小比较即可．
解答：
解：
∵255=3211，344=8111，433=6411，
且32＜64＜81，
∴255＜433＜344．
点评：
本题考查幂的乘方的逆运算：
amn=（am）n（其中a≠0，m、n为正整数）．
34．25•46
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
由于4=22，所以先将46改写成（22）6，再利用幂的乘方与同底数幂的乘法的性质求解．
解答：
解：
25•46=25•（22）6=25•212=217．
点评：
主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法的性质．将46改写成（22）6，是解决本题的关键．
35．设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小．小明想到了如下方法：
m=2100=（24）25=1625，即25个16相乘的积；n=375=（33）25=2725，即25个27相乘的积，显然m＜n，现在设x=430，y=340，请你用小明的方法比较x与y的大小．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
根据题意先把x、y分别写成（43）10、（34）10，然后比较底数的大小即可．
解答：
解：
由阅读材料知：
x=（43）10=6410，y=（34）10=8110，
又∵64＜81，
∴x＜y．
故答案为x＜y．
点评：
本题考查了幂的乘方的性质的运用，确定指数是关键，两个底数不同，指数相同的数比较大小，底数大的值比底数小的值要大．
36．已知n为正整数，且x2n=4，求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
利用幂的乘方及其逆运算，运用整体代入的思想求值．
解答：
解：
∵x2n=4，
∴9（x3n）2﹣13（x2）2n，
=9（x2n）3﹣13（x2n）2，
=9×43﹣13×42，
=368．
故答案为：
368．
点评：
本题主要考查了幂的乘方的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．
37．已知x3n=2，求x6n+x4n•x5n的值．
考点：
幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法。
分析：
首先根据同底数幂的乘法运算性质，可知x4n•x5n=x9n，然后运用幂的乘方的运算性质，将x6n与x9n都表示成x3n的形式，从而得出结果．
解答：
解：
∵x3n=2，
∴x6n+x4n•x5n
=（x3n）2+x9n
=（x3n）2+（x3n）3
=4+8
=12．
点评：
本题主要考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的运算性质．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
38．求x，使x满足
．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
先对
，
进行变形，然后再计算．
解答：
解：
原式=
=
•
=
∴可得：
4x=2x+6
故x=3．
点评：
本题考查幂的乘方和积的乘方，属于中档题．
39．已知a2m=2，b3n=3，求（a3m）2﹣（b2n）3+a2m•b3n的值为 5 ．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则把所求代数式化为已知的形式，再把已知条件代入计算即可．
解答：
解：
（a3m）2﹣（b2n）3+a2m•b3n，
=（a2m）3﹣（b3n）2+a2m•b3n，
=23﹣32+2×3，
=5．
点评：
注意把各种幂运算区别开，同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方法则，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
40．已知x=3﹣q，y﹣1=21﹣p，z=4p•27﹣q，用x，y表示z的代数式．
考点：
幂的乘方与积的乘方。
分析：
由于z=4p•27﹣q=（22）p•（33）﹣q=（2p）2•（3﹣q）3，题目要求用x，y表示z，又x=3﹣q，那么关键是用y的代数式表示2p．由y﹣1=21﹣p，根据负整指数幂的意义，可知2p=2y．
解答：
解：
由y﹣1=21﹣p，
得
，
所以2p=2y．
z=4p•27﹣q=（22）p•（33）﹣q=（2p）2•（3﹣q）3=（2y）2•x3=4x3y2．
点评：
本题综合考查了幂的运算性质、负整指数幂的意义及代数式的恒等变形．本题能够由已知条件y﹣1=21﹣p，得出2p=2y是解题的关键．
41．计算
（1）（﹣2a3b2）3
（2）、
（
）2+20110．
考点：
幂的乘方与积的乘方；立方根；实数的运算；零指数幂；二次根式的性质与化简。
专题：
计算题。
分析：
（1）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
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