第6讲二次函数的图象和性质1.docx

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第6讲二次函数的图象和性质1

第6讲二次函数的图象和性质

第一部分知识梳理

知识点一：

二次函数定义

一般地如果y=（a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数

注意：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的结构特征是：

1、等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是，按、、依次排列

2、强调二次项系数a0

知识点二：

二次函数的表达形式

1、二次函数基本形式：

（1）.

的性质：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（2）.

的性质：

上加下减。

（3）.

的性质：

左加右减。

（4）.

的性质：

2、一般式：

3、顶点式：

4、交点式：

5、平移：

将抛物线解析式转化成顶点式

，确定其顶点坐标

；在原有函数的基础上“

值正右移，负左移；

值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”

知识点三：

二次函数图象与性质

1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条，其顶点坐标为，对称轴式　

2.在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）中：

1.当a>0时，y口向，当x<-

时，y随x的增大而，当x时，y随x的增大而增大

2、当a<0时，开口向，当x<-

时，y随x增大而，当x时，y随x增大而减小

注意：

注意几个特殊形式的抛物线的特点

1.y=ax2,对称轴；顶点坐标

2.y=ax2+k，对称轴；顶点坐标

3.y=a（x－h）2对称轴；顶点坐标

4.y=a（x－h）2+k对称轴；顶点坐标

第二部分考点精讲精练

考点1、二次函数定义

例1、如果y=（a-1）x2-ax+6是关于x的二次函数，则a的取值范围是（）

A．a≠0B．a≠1C．a≠1且a≠0D．无法确定

例2、在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）

A．2xy+x2=1B．y2-ax+2=0C．y+x2-2=0D．x2-y2+4=0

例3、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（）

A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系

B．我国人口的自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系

C．矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系

D．圆的周长与半径之间的关系

例4、若是二次函数，则m的值是    ．

例5、已知正方形的面积为y（cm2），周长为x（cm）．

（1）请写出y与x的函数关系式．

（2）判断y是否为x的二次函数．

例6、已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

举一反三：

1、下列各式中，y是x的二次函数的是（）

A．

B．y=2x+1C．y=x2+x-2D．y2=x2+3

2、二次函数y=2x（x-3）的二次项系数与一次项系数的和为（）

A．2B．－2C．－1D．－4

3、下列函数关系中，是二次函数的是（）

A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系

B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系

C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系

D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系

4、已知抛物线y=（m-1）x2，且直线y=3x+3-m经过一、二、三象限，则m的范围是     ．

5、已知y=（m+1）是二次函数，求m的值．

考点2、二次函数图象

例1、在平面直角坐标系中，与抛物线y=x2关于直线y=x对称的图象是（）

A．B．C．D．

例2、如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（）

例3、如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象，根据图象回答，当ax2+bx+c＜1时，x的取值范围是（）

A．－1＜x＜3B．x＜－1或x＞3C．x＜－1D．x＞3

例4、当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图像大致是（  ）

例5、如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为    ．

例6、如表给出了一个二次函数的一些取值情况：

请在坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象说明：

（1）当y随x的增大而增大时自变量x的取值范围；

（2）当0≤y＜3时x的取值范围．

举一反三：

1、下列为四个二次函数的图形，哪一个函数在x=2时有最大值3（）

A．B．C．D．

2、苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s=gt2（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（）

A．B．C．D．

3、已知函数y=-x2+2x+c的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围是（）

A．－1＜x＜3B．－1≤x≤3C．x＜－1或x＞3D．x≤－1或x≥3

4、已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是（）

5、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）

6、在正方形的网格中，抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，请你观察图象并回答：

当－1＜x＜2时，y1    y2（填“＞”或“＜”或“=”号）．

考点3、二次函数的性质

例1、若是二次函数且图象开口向下，则m的值是（）

A．－2B．1C．1或－2D．2或－1

例2、下列函数中，在全体实数范围内，y随x的增大而增大的是（）

A．y=2x2B．

C．y=-2D．y=-2+

例3、已知一个函数具有以下条件：

①该函数图象经过第二象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象不过原点，请写出一个符合上述条件的函数关系式：

    ．

例4、有一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c的大致图象如图，请根据图中信息回答问题（在横线上直接写上答案）

（1）不等式ax2+bx+c＜0的解集是______；kx+m＞ax2+bx+c的解集是______．

（2）当x=______时，y1=y2．

（3）要使y2随x的增大而增大，x的取值范围应是______．

例5、已知二次函数y=x2+2x-3，解答下列问题：

（1）用配方法将该函数解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；

（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况．

例6、将二次函数y=2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的图象解析式为y=a（x-h）2+k．

（1）求出a，h，k的值．

（2）对于函数y=a（x-h）2+k，当x取何值时，y随x的增大而减小？

该函数的顶点是什么？

举一反三：

1、下列说法正确的是（）

A．函数y=ax2+bx+c的图象一定是抛物线

B．抛物线y=ax2一定在x轴上方（顶点在x轴上）

C．二次函数图象的对称轴是y轴

D．二次函数图象的顶点一定在其对称轴上

2、已知函数y=-ax+b（a≠0）的图象经过一、三、四象限，则函数y=-ax2+bx的图象不经过的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3、二次函数y=2（x+2）2的开口向    ，顶点坐标为    ，对称轴为    ，当x    时，y随x的增大而增大．

4、已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＞0），关于这个二次函数的图象有如下说法：

①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的是    ．

5、已知函数y=3x2-6x-24．

（1）通过配方，写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）利用对称性作出这个函数的图象；

（3）分别求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标．

第三部分课堂小测

1、下列函数中，是二次函数的为（）

A．y=2x+1B．y=（x-2）2-x2C．

D．y=2x（x+1）

2、二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是（）

A．3B．5C．－3和5D．3和－5

3、已知函数y=x2-2x-2的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得y≤1时，x的取值范围是（）

A．x≥－3B．－3≤x≤1C．－1≤x≤3D．x≤－1或x≥3

4、抛物线y=x2与y=-x2的图象的关系是（）

A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同

B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同

C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同

D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同

5、如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）

A．y的最大值小于0B．当x=0时，y的值大于1

C．当x=-1时，y的值大于1D．当x=-3时，y的值小于0

6、函数y=ax和y=ax2+b同一坐标系中的大致图象是（）

A．B．C．D．

7、如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A，B的坐标分别为（1，-3），（6，1），当y1＞y2时，x的取值范围是（）

A．1＜x＜6B．x＜1或x＞6C．-3＜x＜1D．x＜-3或x＞1

8、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：

①a＞0．②该函数的图象关于直线x=1对称．③方程ax2+bx+c=0的两根是－1和3．④x＜1时，y随x的增大而增大．其中正确结论的个数是（）

A．3B．2C．1D．0

9、当a    时，函数y=（a－1）x2+bx+c是二次函数．

10、已知y=是y关于x的二次函数，则m=    ，此函数图象与x轴的交点坐标是    ，其图象的对称轴是    ．

11、如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是    ．

12、把函数y=3-4x-2x2写成y=a（x+m）2+k的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．

13、抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点．

（1）求出m的值并画出这条抛物线；

（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；

（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？

（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？

14、函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：

（1）满足条件的m值；

（2）m为何值时，抛物线有最低点？

求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？

（3）m为何值时，函数有最大值？

最大值是多少？

这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．

第四部分提高训练

1、如图，是一次函数y=kx+b与二次函数y=的图象，则关于x的方程kx+b=的解为（）

A．xl=-1，x2=2B．xl=1，x2=-2

C．xl=0，x2=2D．xl=0，x2=-2

2、如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　）

第五部分课后作业

1、若y=（m-1）+mx+3是二次函数，则m的值是（）

A．1B．－1C．±1D．2

2、在平面直角坐标系中，函数y=-x+1与y=－（x-1）2的图象大致是（）

A．B．C．D．

3、根据图象判断下列说法错误的是（）

A．函数y2的最大值等于4B．x＞2时，y1＞y2

C．当-1＜x＜2，y2＞y1D．当x为-1或2时，y1≠y2

4、已知y=（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是    ．

5、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则当y＞0时x的取值范围是    ．

6、二次函数y=x2-2x-3的开口方向向    ，对称轴为    ，顶点坐标为    ，与x轴的交点坐标为    ，与y轴的交点坐标为    ．

7、根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：

（1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；

（2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；

（3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．

8、已知函数y=

x2+2x+1，解答下列问题：

（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴；

（2）作出函数图象，并观察图象，写出x为何值时，y随x的增大而增大？

x为何值时，y随x的增大而减小？

（3）函数的最值是多少？