第6讲二次函数的图象和性质1.docx
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第6讲二次函数的图象和性质1
第6讲二次函数的图象和性质
第一部分知识梳理
知识点一:
二次函数定义
一般地如果y=(a、b、c是常数a≠0)那么y叫做x的二次函数
注意:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的结构特征是:
1、等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是,按、、依次排列
2、强调二次项系数a0
知识点二:
二次函数的表达形式
1、二次函数基本形式:
(1).
的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
(2).
的性质:
上加下减。
(3).
的性质:
左加右减。
(4).
的性质:
2、一般式:
3、顶点式:
4、交点式:
5、平移:
将抛物线解析式转化成顶点式
,确定其顶点坐标
;在原有函数的基础上“
值正右移,负左移;
值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”
知识点三:
二次函数图象与性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条,其顶点坐标为,对称轴式
2.在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中:
1.当a>0时,y口向,当x<-
时,y随x的增大而,当x时,y随x的增大而增大
2、当a<0时,开口向,当x<-
时,y随x增大而,当x时,y随x增大而减小
注意:
注意几个特殊形式的抛物线的特点
1.y=ax2,对称轴;顶点坐标
2.y=ax2+k,对称轴;顶点坐标
3.y=a(x-h)2对称轴;顶点坐标
4.y=a(x-h)2+k对称轴;顶点坐标
第二部分考点精讲精练
考点1、二次函数定义
例1、如果y=(a-1)x2-ax+6是关于x的二次函数,则a的取值范围是()
A.a≠0B.a≠1C.a≠1且a≠0D.无法确定
例2、在下列关系式中,y是x的二次函数的关系式是()
A.2xy+x2=1B.y2-ax+2=0C.y+x2-2=0D.x2-y2+4=0
例3、下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是()
A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B.我国人口的自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系
C.矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系
D.圆的周长与半径之间的关系
例4、若是二次函数,则m的值是 .
例5、已知正方形的面积为y(cm2),周长为x(cm).
(1)请写出y与x的函数关系式.
(2)判断y是否为x的二次函数.
例6、已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?
举一反三:
1、下列各式中,y是x的二次函数的是()
A.
B.y=2x+1C.y=x2+x-2D.y2=x2+3
2、二次函数y=2x(x-3)的二次项系数与一次项系数的和为()
A.2B.-2C.-1D.-4
3、下列函数关系中,是二次函数的是()
A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B.当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
4、已知抛物线y=(m-1)x2,且直线y=3x+3-m经过一、二、三象限,则m的范围是 .
5、已知y=(m+1)是二次函数,求m的值.
考点2、二次函数图象
例1、在平面直角坐标系中,与抛物线y=x2关于直线y=x对称的图象是()
A.B.C.D.
例2、如图,平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为()
例3、如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象,根据图象回答,当ax2+bx+c<1时,x的取值范围是()
A.-1<x<3B.x<-1或x>3C.x<-1D.x>3
例4、当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图像大致是( )
例5、如图所示四个二次函数的图象中,分别对应的是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.则a、b、c、d的大小关系为 .
例6、如表给出了一个二次函数的一些取值情况:
请在坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象说明:
(1)当y随x的增大而增大时自变量x的取值范围;
(2)当0≤y<3时x的取值范围.
举一反三:
1、下列为四个二次函数的图形,哪一个函数在x=2时有最大值3()
A.B.C.D.
2、苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s=gt2(g是不为0的常数),则s与t的函数图象大致是()
A.B.C.D.
3、已知函数y=-x2+2x+c的部分图象如图所示,若y≤0,则x的取值范围是()
A.-1<x<3B.-1≤x≤3C.x<-1或x>3D.x≤-1或x≥3
4、已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数y=ax+b的图象是()
5、在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是()
6、在正方形的网格中,抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示,请你观察图象并回答:
当-1<x<2时,y1 y2(填“>”或“<”或“=”号).
考点3、二次函数的性质
例1、若是二次函数且图象开口向下,则m的值是()
A.-2B.1C.1或-2D.2或-1
例2、下列函数中,在全体实数范围内,y随x的增大而增大的是()
A.y=2x2B.
C.y=-2D.y=-2+
例3、已知一个函数具有以下条件:
①该函数图象经过第二象限;②当x<0时,y随x的增大而增大;③该函数图象不过原点,请写出一个符合上述条件的函数关系式:
.
例4、有一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c的大致图象如图,请根据图中信息回答问题(在横线上直接写上答案)
(1)不等式ax2+bx+c<0的解集是______;kx+m>ax2+bx+c的解集是______.
(2)当x=______时,y1=y2.
(3)要使y2随x的增大而增大,x的取值范围应是______.
例5、已知二次函数y=x2+2x-3,解答下列问题:
(1)用配方法将该函数解析式化为y=a(x+m)2+k的形式;
(2)指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴,以及它的变化情况.
例6、将二次函数y=2x2的图象向下平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,所得到的图象解析式为y=a(x-h)2+k.
(1)求出a,h,k的值.
(2)对于函数y=a(x-h)2+k,当x取何值时,y随x的增大而减小?
该函数的顶点是什么?
举一反三:
1、下列说法正确的是()
A.函数y=ax2+bx+c的图象一定是抛物线
B.抛物线y=ax2一定在x轴上方(顶点在x轴上)
C.二次函数图象的对称轴是y轴
D.二次函数图象的顶点一定在其对称轴上
2、已知函数y=-ax+b(a≠0)的图象经过一、三、四象限,则函数y=-ax2+bx的图象不经过的象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、二次函数y=2(x+2)2的开口向 ,顶点坐标为 ,对称轴为 ,当x 时,y随x的增大而增大.
4、已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a>0,b>0,c>0),关于这个二次函数的图象有如下说法:
①图象的开口一定向上;②图象的顶点一定在第四象限;③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧.以上说法正确的是 .
5、已知函数y=3x2-6x-24.
(1)通过配方,写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)利用对称性作出这个函数的图象;
(3)分别求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标.
第三部分课堂小测
1、下列函数中,是二次函数的为()
A.y=2x+1B.y=(x-2)2-x2C.
D.y=2x(x+1)
2、二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是()
A.3B.5C.-3和5D.3和-5
3、已知函数y=x2-2x-2的图象如图所示,根据图象提供的信息,可得y≤1时,x的取值范围是()
A.x≥-3B.-3≤x≤1C.-1≤x≤3D.x≤-1或x≥3
4、抛物线y=x2与y=-x2的图象的关系是()
A.开口方向不同,顶点相同,对称轴相同
B.开口方向不同,顶点不同,对称轴相同
C.开口方向相同,顶点相同,对称轴相同
D.开口方向相同,顶点不同,对称轴不同
5、如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是()
A.y的最大值小于0B.当x=0时,y的值大于1
C.当x=-1时,y的值大于1D.当x=-3时,y的值小于0
6、函数y=ax和y=ax2+b同一坐标系中的大致图象是()
A.B.C.D.
7、如图,二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A,B的坐标分别为(1,-3),(6,1),当y1>y2时,x的取值范围是()
A.1<x<6B.x<1或x>6C.-3<x<1D.x<-3或x>1
8、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:
①a>0.②该函数的图象关于直线x=1对称.③方程ax2+bx+c=0的两根是-1和3.④x<1时,y随x的增大而增大.其中正确结论的个数是()
A.3B.2C.1D.0
9、当a 时,函数y=(a-1)x2+bx+c是二次函数.
10、已知y=是y关于x的二次函数,则m= ,此函数图象与x轴的交点坐标是 ,其图象的对称轴是 .
11、如图是二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=mx+n(m≠0)的图象,当y2>y1,x的取值范围是 .
12、把函数y=3-4x-2x2写成y=a(x+m)2+k的形式,并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
13、抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点.
(1)求出m的值并画出这条抛物线;
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;
(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?
(4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?
14、函数y=(m+2)是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点?
求出这个最低点.这时,当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有最大值?
最大值是多少?
这时,当x为何值时,y随x的增大而减小.
第四部分提高训练
1、如图,是一次函数y=kx+b与二次函数y=的图象,则关于x的方程kx+b=的解为()
A.xl=-1,x2=2B.xl=1,x2=-2
C.xl=0,x2=2D.xl=0,x2=-2
2、如图,Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的( )
第五部分课后作业
1、若y=(m-1)+mx+3是二次函数,则m的值是()
A.1B.-1C.±1D.2
2、在平面直角坐标系中,函数y=-x+1与y=-(x-1)2的图象大致是()
A.B.C.D.
3、根据图象判断下列说法错误的是()
A.函数y2的最大值等于4B.x>2时,y1>y2
C.当-1<x<2,y2>y1D.当x为-1或2时,y1≠y2
4、已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是 .
5、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则当y>0时x的取值范围是 .
6、二次函数y=x2-2x-3的开口方向向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 ,与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为 .
7、根据下面的条件列出函数解析式,并判断列出的函数是否为二次函数:
(1)如果两个数中,一个比另一个大5,那么,这两个数的乘积p是较大的数m的函数;
(2)一个半径为10cm的圆上,挖掉4个大小相同的正方形孔,剩余的面积S(cm2)是方孔边长x(cm)的函数;
(3)有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地,计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草,中间种郁金香,那么郁金香的种植面积S(cm2)是草坪宽度a(m)的函数.
8、已知函数y=
x2+2x+1,解答下列问题:
(1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标及对称轴;
(2)作出函数图象,并观察图象,写出x为何值时,y随x的增大而增大?
x为何值时,y随x的增大而减小?
(3)函数的最值是多少?