沪教版八年级上册数学全册知识点考点梳理重点题型分类巩固练习基础版家教补习复习用.docx
《沪教版八年级上册数学全册知识点考点梳理重点题型分类巩固练习基础版家教补习复习用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《沪教版八年级上册数学全册知识点考点梳理重点题型分类巩固练习基础版家教补习复习用.docx（218页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
沪教版八年级上册数学全册知识点考点梳理重点题型分类巩固练习基础版家教补习复习用
沪教版初二数学上册
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
二次根式的概念和性质（基础）知识讲解
【学习目标】
1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.
2、理解并掌握下列结论：
，，，并利用它们进行计算和化简.
3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
【要点梳理】
要点一、二次根式及代数式的概念
1.二次根式：
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
要点诠释：
二次根式的两个要素：
①根指数为2；②被开方数为非负数.
2.代数式：
形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
要点二、二次根式的性质
1、；
2.；
3..
要点诠释：
1.二次根式（a≥0）的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即.
2.与要注意区别与联系：
1）.的取值范围不同，中≥0，中为任意值。
2）.≥0时，==；<0时，无意义，=.
要点三、最简二次根式
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：
二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1）被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
要点四、同类二次根式
1.定义：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式
要点诠释：
（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；
（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
2.合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.（合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似）
要点诠释：
（1）根号外面的因式就是这个根式的系数；
（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式
【典型例题】
类型一、二次根式的概念
1.当为实数时，下列各式，，，属二次根式的有____个.
【答案】3
【解析】这三个式子满足无论取何值，被开方数都大于等于零.
【总结升华】二次根式应满足两个条件：
第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
举一反三：
【变式】下列式子中二次根式的个数有（）
（1）；
（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（）
A．2B.3C.4D.5
【答案】B
【：
高清：
381279
：
二次根式及其乘除法（上）经典例题1】
2.x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？
（1）；
（2）y=－；
【答案与解析】
（1）≥0，所以x≥1.
（2）≥0,≥0,所以≤x≤；
【总结升华】重点考查二次根式的概念：
被开方数是正数或零.
举一反三：
【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（）
A.B.C.D.
【答案】B.
类型二、二次根式的性质
3.计算下列各式：
（1）
（2）
【答案与解析】
（1）.
（2）.
【总结升华】二次根式性质的运用.
举一反三
【：
高清：
381279
：
二次根式及其乘除法（上）经典例题3】
【变式】
（1）=_____________
（2）=_____________
【答案】
（1）10;
（2）0.
4.（2015•蓬溪县校级模拟）已知：
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
﹣|a﹣b|．
【答案与解析】解：
从数轴上a、b的位置关系可知：
﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，且b＞a，
故a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
原式=|a+1|+2|b﹣1|﹣|a﹣b|
=﹣（a+1）+2（b﹣1）+（a﹣b）
=b﹣3．
【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题.
举一反三
【变式】若整数满足条件则的值是___________.
【答案】=0或=-1.
类型三、最简二次根式
5.下列各式中，哪些是最简二次根式？
哪些不是？
请说明理由.
（1）；
（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.
【答案与解析】和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：
的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；
和的被开方数中都含有分母；
和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.
【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.
举一反三
【变式】（2015•东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D.2
【答案】C.
类型四：
同类二次根式
6.（2016•巴中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
故选B.
【总结升华】同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.
举一反三：
【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么、的值是（）A.=2，=1 B.=1，=2C.=1，=-1 D.=1，=1
【答案】D.
根据题意，得
解之，得，故选D.
沪教版初二数学上册
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
一元二次方程及其解法
（一）
特殊的一元二次方程的解法—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1.若是关于x的一元二次方程，则（）
A．p≠1B．p≠0且p≠1C．p≠0D．p≠0且p≠1
2．（2016·重庆模拟）关于的方程的解与的解相同，则的值为（）
A．2B．3C．1D．4
3.（2015•科左中旗校级一模）下面关于x的方程中：
①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1③x2++5=0；④x2﹣2+5x3﹣6=0；⑤3x2=3（x﹣2）2；⑥12x﹣10=0是一元二次方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．方程（x-5）（x-6）＝x-5的解是（）
A．x＝5B．x＝5或x＝6C．x＝7D．x＝5或x＝7
5．若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何?
（）
A．5B．6C．D．
6．已知方程有一个根是-a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）
A．abB．C．a+bD．a-b
二、填空题
7.（2016秋·曲阜市校级月考）方程化为一元二次方程得一般形式是 ，它的一次项系数是 ．
8．
（1）关于x的方程是一元二次方程，则m；
（2）关于x的方程是一元一次方程，则m.
9．下列关于x的方程中是一元二次方程的是________（只填序号）．
（1）x2+1＝0；
（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）（x-2）（x-3）＝5.
10．下列哪些数是方程的根?
答案：
.
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．
11．方程（x-1）（x+2）（x-3）＝0的根是________．
12．方程的解为________．
三、解答题
13．方程．
（1）如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项；
（2）如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值．
14.（2015•泗洪县校级模拟）用恰当的方法解下列方程：
（1）x2﹣10x+25=7
（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．
15．教材或资料会出现这样的题目：
把方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
（1）下列式子中，有哪几个是方程所化的一元二次方程的一般形式?
（答案只写序号）________．
①；②；③；
④；⑤.
（2）方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系?
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】方程是一元二次方程的条件是a≠0，b、c可以是任意实数．
2.【答案】B；
【解析】∵方程，所以，由题意可知，将代入方程得.
3.【答案】A；
【解析】解：
①ax2+bx+c=0当a=0是一元一次方程，故本小题错误；
②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1是一元二次方程，故本小题正确；
③x2++5=0是分式方程，故本小题错误；
④x2﹣2+5x3﹣6=0是一元三次方程，故本小题错误；
⑤3x2=3（x﹣2）2是一元一次方程，故本小题错误；
⑥12x﹣10=0是一元一次方程，故本小题错误．
故选A．
4.【答案】D；
【解析】此方程左右两边含有相同的因式（x-5），应移项后用因式分解法求解．即（x-5）（x-6）-（x-5）0．
∴（x-5）（x-6-1）＝0，∴，
5.【答案】B；
【解析】由得，∴，，
又是正数且是此方程的根，
∴．同理，
∴．
6.【答案】D；
【解析】将代入方程得．∴，又a≠0．
方程两边同除以a得a-b+1＝0，∴a-b＝-1，即a-b的值恒为常数．
二、填空题
7．【答案】，4．
【解析】解：
去分母得，去括号得，移项及合并得，∴一次项系数为4.
8．【答案】
（1）；
（2）.
【解析】
（1）因为关于x的方程是一元二次方程，
所以
（2）因为关于x的方程是一元一次方程，
所以.
9．【答案】
（1），（6）.
【解析】根据一元二次方程的定义，要判断一个方程是否是一元二次方程要看它是否符合定义的三个必备条件：
①只含一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程．当然对有些方程必须先整理后再看．
（1）是；
（2）含有分式；（3）含有两个未知数；（4）未知数最高次数为3；（5）方程整理得-10x-4＝0，不是一元二次方程；（6）方程整理得x2-5x+1＝0是一元二次方程，所以
（1）、（6）是一元二次方程．
10．【答案】2，4．
【解析】把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x2-6x+8＝0，发现当x＝2和x＝4时，方程x2-6x+8＝0左右两边相等，所以x＝2，x＝4是方程x2-6x+8＝0的根．
11．【答案】x1＝1，x2＝-2，x3＝3.
【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解．
12．【答案】，；
【解析】，∴，．
三、解答题
13.【答案与解析】
（1）由题意∴m=4．方程为，
二次项系数是2，一次项系数是5，常数项是11．
（2）由题意得或解得m＝3或m＝2．
14.【答案与解析】
解：
（1）x2﹣10x+25=7，
（x﹣5）2=7，
x﹣5=±，
x1=5+，x2=5﹣．
（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．
方程变形得：
3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0，
分解因式得：
（x﹣1）（3x+2）=0，
可得x﹣1=0，3x+2=0，
解得：
x1=1，x2=﹣．
15.【答案与解析】
（1）观察可知方程①、②、③、④、⑤的各项系数分别是原方程各项系数
乘以1，-1，2，-2，得到的，其中①、②、④、⑤是一般形式，③不是一般形式．
（2）二次项系数、一次项系数与常数项之比为，即，
若设二次项系数为，则一次项系数为，常数项为．
沪教版初二数学上册
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
二次根式的概念和性质（基础）巩固练习
【巩固练习】
一．选择题
1.（2016•宁波）使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＞1C．x≤1D．x≥1
2.若,化简（）.
A.B.C.D.
3.下面说法正确的是（）
A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
B.与是同类二次根式.
C.与不是同类二次根式
D.同类二次根式是根指数为2的根式
4.（2015•蓬溪县校级模拟）下列各式中正确的是（ ）
A.=aB.=±aC.=﹣aD.=|a|
5.下列根式是最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
6.已知，化简二次根式的正确结果为（）
A. B. C. D.
二.填空题
7.（2016•营山县一模）使式子有意义的x的取值范围是 ．
8.=____________.若，则____________.
9．
（1）=_____________.
（2）（a>0）=__________________________.
10.若=0，则=_______________.
11.当x≤0时，化简=________________________.
12.计算=__________________.
三综合题
13.当为何值时，下列式子有意义？
（1）
（2）
（3）；（4）；
14.（北京市海淀区）已知实数x，y满足，求代数式的值.
15.（2015春•江夏区期中）已知实数x，y满足y=+﹣65，求．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D.
【解析】由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1.
2．【答案】D.
【解析】因为原式=.
3．【答案】A.
4．【答案】D.
【解析】解：
A、当a＜0时，=﹣a，故选项错误；
B、表示算术平方根，故选项错误；
C、当a＞0时，=a，故选项错误；
D、正确．
故选D．
5．【答案】B.
【解析】根据最简二次根式的性质，A,D选项都含有能开方的项，C选项含有分母，所以选B.
6．【答案】D.
【解析】因为，是被开方数，所以y<0,x<0,
所以原式===.
二、填空题
7.【答案】x≥﹣3且x≠5．
【解析】由题意得，x+3≥0，x﹣5≠0，解得x≥﹣3且x≠5．
8【答案】
9.【答案】
（1）45;
（2）-3
10.【答案】-1
【解析】因为=0，所以2-x≥0，x-2≥0，所以x=2;则原式=.
11.【答案】1
12.【答案】
【解析】.
三.解答题
13.【解析】
（1）≥0，即为任意实数；
（2）≥0，即≤0，即=0.
（3）
（4）.
14.【解析】因为.，所以x=5，y=-4.
则==1
15.【解析】解：
∵实数x，y满足y=+﹣65，
∴x-1≥0，且1-x≥0，
∴x=1，y=﹣65，
∴==—4.
沪教版初二数学上册
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
《几何证明》全章复习与巩固—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.理解命题、逆命题、定理、逆定理等的含义；
2.掌握证明真命题正确性的方法步骤，会举反例说明假命题的错误；掌握证明线段相等 角度相等的基本方法和思路；
3.理解轨迹的定义，掌握三种基本轨迹；
4.能判断直角三角形全等，能应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、几何证明
1．命题和证明
（1）命题
定义：
判断一件事情的句子.
判断为正确的命题，叫做真命题；
判断为错误的命题，叫做假命题.
（2）演绎证明（简称证明）
从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程.
要点诠释：
命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.
2.公理和定理
（1）公理：
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.
（2）定理：
从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
3.逆命题与逆定理
（1）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题.其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题.
（2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理.
4.证明真命题的一般步骤
（1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证）
（2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号
（3）结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”
（4）分析题意，探索证明思路（由“因”导“果”，执“果”索“因”）
（5）依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程
（6）检查表达过程是否正确、完善
要点诠释：
（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个；
（2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系.
要点二、线段的垂直平分线和角的平分线
1.线段的垂直平分线
（1）线段垂直平分线的定义
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
（2）线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
如图：
∵MN垂直平分线段AB
∴PA=PB
（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释：
线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等
的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用.
2.角的平分线
（1）角的平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
（2）角的平分线有下面的性质定理：
①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
如图：
∵OP平分∠AOB，
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.
3.垂线的性质
性质1：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：
垂线段最短.
要点诠释：
（1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系；
（2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：
一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题.
要点三、轨迹
1.轨迹的定义
把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.
要点诠释：
轨迹定义包含以下两层含义：
其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的纯粹性）；
其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（也称图形的完备性）；
所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义.
2.三条基本轨迹
轨迹1：
和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
轨迹2：
到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
轨迹3：
到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆.
3.交轨法作图
利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.
如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A的轨迹，然后再作出满足条件B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件A和条件B.
交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用了交轨法.
要点诠释：
“尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种：
（1）作一条线段等于已知线段；
（2）作一个角等于已知角；
（3）作已知角的平分线；
（4）经过一点作已知直线的垂线；
（5）作线段的垂直平分线.
要点四、直角三角形
1.直角三角形全等的判定
（1）直角三角形全等一般判定定理：
直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即（SAS、ASA、SSS、AAS）
（2）直角三角形全等的HL判定定理：
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：
HL）
综上：
直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.
2.直角三角形的性质
定理：
直角三角形的两个锐角互余；
定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
推论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；
推论：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
3.勾股定理
定理：
在直角三角形中，斜边大于直角边；
勾股定理：
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；
勾股定理的逆定理：
如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；
勾股定理证明思路：
面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：
三角形全等）
勾股数组：
如果正整数满足，那么叫做勾股数组，常见的勾股数组有：
3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.
4.两点之间的距离公式
如果直角坐标平面内有两点，那么A、B两点的距离为：
.
两种特殊情况：
（1）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：
（2）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：
要点诠释：
几何证明的分析思路：
（1）从结论出发，即：
根据所要证明的结论→去寻找条件.例如：
要证线段相等，则需先证：
①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等角对等边（前提：
在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论；
要证角相等，则需先证：
①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利用等边对等角（前提：
在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论；
要证垂直，则需先证：
①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：
在同一个三角形中）；
要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找.
（2）从已知出发，即：
根据所给条件、利用相关定理→直接可得的结论.例如：
已知线段的垂直平分线→线段相等；
已知角平分线→到角的两边距离相等或角相等；
已知直线平行→角相等；
已知边相等→角相等（前提：
在同一三角形中）.
【典型例题】
类型一、命题与证明
1.下列语句不是命题的是（）
A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点
C、x与y的和等于0吗？
D、对顶角不相等。
【答案】C；
【解析
升级会员 