空间中的平行关系.docx
《空间中的平行关系.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间中的平行关系.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
空间中的平行关系
空间的平行关系
1．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中（ ）
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
2．（2009年高考福建卷）设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）
A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2
3．（2010年启东中学质检）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若
＝
，则直线MN与平面BDC的位置关系是__________．
5．（原创题）棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是__________．
6．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D点为棱AB的中点．
求证：
AC1∥平面CDB1.
1．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线只和这个平面内的（ ）
A．一条直线不相交B．两条相交直线不相交
C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交
2．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中是真命题的是（ ）
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊂α，n∥α，则m∥n
D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n
3．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为（ ）
A．3B．2
C．1D．0
4.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
5.
如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值．
A．①B．①②
C．①②③D．②③
6.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）
A．①③B．①④
C．②③D．②④
7．考察下列三个命题，在“__________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l、m为直线，α、β为平面），则此条件为__________．
①
⇒l∥α；②
⇒l∥α；③
⇒l∥α.
8.
空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是 .
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件 时，
有MN∥平面B1BDD1.
10.如图，四棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：
CD∥平面EFGH.
11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、F为棱B1C1，C1D1和B1B的中点，试过E、M作一平面与平面A1FC平行．
12.已知如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D、D1分别为AC、A1C1上的点．
（1）当
等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求
的值．
空间的平行关系
1．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中（ ）
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：
选D.B点与a确定一平面γ与β相交，设交线为b，则a∥b.
2．（2009年高考福建卷）设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）
A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2
解析：
选B.∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面．故选B.
3．（2010年启东中学质检）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
答案：
B
4.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若
＝
，则直线MN与平面BDC的位置关系是__________．
解析：
在平面ABD中，
＝
，
∴MN∥BD.
又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴MN∥平面BCD.
答案：
平行
5．（原创题）棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是__________．
解析：
由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为
.
答案：
6．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D点为棱AB的中点．
求证：
AC1∥平面CDB1.
证明：
连结BC1，交B1C于点E，连结DE，则BC1与B1C互相平分．
∴BE＝C1E，又AD＝BD，
∴DE为△ABC1的中位线，
∴AC1∥DE.
又DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
练习
1．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线只和这个平面内的（ ）
A．一条直线不相交B．两条相交直线不相交
C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交
解析：
选D.由线面平行的定义易知，应选D.
2．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中是真命题的是（ ）
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊂α，n∥α，则m∥n
D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n
答案：
C
3．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为（ ）
A．3B．2
C．1D．0
解析：
选C.①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m.
②中l与m也可能异面．
③中
⇒l∥m，
同理l∥n，则m∥n，正确．
4.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
解析：
选D.对于选项D，∵BC∥AD，∴∠B1CB即为AD与CB1所成角，此角为45°，故D错．
5.
如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（ ）
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值．
A．①B．①②
C．①②③D．②③
解析：
选C.①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，
∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上．
②BC∥DE，∴BC∥平面A′DE.
③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′－FDE的体积达到最大．
6.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）
A．①③B．①④
C．②③D．②④
解析：
选B.对图①，可通过面面平行得到线面平行．对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP，故选B.
7．考察下列三个命题，在“__________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l、m为直线，α、β为平面），则此条件为__________．
①
⇒l∥α；②
⇒l∥α；③
⇒l∥α.
解析：
①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l为平面α外的直线”即“l⊄α”，它同样也适合②③，故填l⊄α.
答案：
l⊄α
8.
空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是 .
解析：
设
＝
＝k，∴
＝
＝1－k，
∴GH＝5k，EH＝4（1－k），∴周长＝8＋2k.
又∵0＜k＜1，∴周长的范围为（8,10）．
答案：
（8,10）
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件 时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：
∵HN∥DB，FH∥D1D，
∴面FHN∥面B1BDD1.
故M∈FH.
答案：
M∈FH
10.如图，四棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：
CD∥平面EFGH.
证明：
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，
∴EF∥CD.
而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、F为棱B1C1，C1D1和B1B的中点，试过E、M作一平面与平面A1FC平行．
解：
如图，取CC1中点G，
连结B1G，取C1G中点H，连结EH.
则EH∥B1G∥FC.
同理，连结MH.
则MH∥A1F.
连结EM，又MH∩EH=H，
∴面EMH∥面A1FC，
即面EHM为所求平面．
12.已知如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D、D1分别为AC、A1C1上的点．
（1）当
等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求
的值．
解：
（1）如图，取D1为线段A1C1的中点，此时
＝1，
连结A1B交AB1于点O，连结OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O、D1分别为A1B、A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴
＝1时，BC1∥平面AB1D1，
（2）由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.
因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.
∴
＝
，
＝
.
又∵
＝1，
∴
＝1，即
＝1.
升级会员 