江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳数学应试笔记.doc

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第20讲函数与方程

一．课标要求：

1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．命题走向

函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。

高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计高考对本讲的要求是：

以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；

（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲

1．方程的根与函数的零点

（1）函数零点

概念：

对于，把使成立的实数叫做函数的零点。

函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

二次函数的零点：

１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；

２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。

既存在，使得，这个也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：

（1）确定区间，，验证·，给定精度；

（2）求区间，的中点；

（3）计算：

①若=，则就是函数的零点；

②若·<，则令=（此时零点）；

③若·<，则令=（此时零点）；

（4）判断是否达到精度；

即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。

注：

函数零点的性质

从“数”的角度看：

即是使的实数；

从“形”的角度看：

即是函数的图象与轴交点的横坐标；

若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；

若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。

注：

用二分法求函数的变号零点：

二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

3．二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法：

y=ax2+bx+c；y=a（x－x1）（x－x2）；y=a（x－x0）2+n。

（2）当a>0，f（x）在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=（p+q）。

若－

若x0≤－

（3）二次方程f（x）=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。

①方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f（r）<0；

②二次方程f（x）=0的两根都大于r

③二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根

④二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根f（p）·f（q）<0，或f（p）=0（检验）或f（q）=0（检验）检验另一根若在（p，q）内成立。

四．典例解析

题型1：

方程的根与函数零点

例1．方程lgx+x=3的解所在区间为（）

A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）

题型2：

零点存在性定理

例2．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）

A．若，不存在实数使得；

B．若，存在且只存在一个实数使得；

C．若，有可能存在实数使得；

D．若，有可能不存在实数使得；

题型3：

二分法的概念

例3．方程在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到达到精确度要求。

那么所取误差限是（）

A．0.05B．0.005C．0.0005D．0.00005

解析：

由四舍五入的原则知道，当时，精度达到。

此时差限是0.0005，选项为C。

点评：

该题考察了差限的定义，以及它对精度的影响。

题型4：

应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解

例4．借助计算器，用二分法求出在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）。

解析：

原方程即。

令，

用计算器做出如下对应值表

x

－2

－1

0

1

2

f（x）

2.5820

3.0530

27918

1.0794

－4.6974

观察上表，可知零点在（1，2）内

取区间中点=1.5，且，从而，可知零点在（1，1.5）内；

再取区间中点=1.25，且，从而，可知零点在（1.25，1.5）内；

同理取区间中点=1.375，且，从而，可知零点在（1.25，1.375）内；

由于区间（1.25，1.375）内任一值精确到0.1后都是1.3。

故结果是1.3。

点评：

该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。

题型5：

一元二次方程的根与一元二次函数的零点

例5．设，方程的两个根满足.当时，证明。

证明：

由题意可知，

∴,

∴当时，。

又,

∴,

综上可知，所给问题获证。

变式．已知二次函数，设方程的两个实数根为和.

（1）如果，设函数的对称轴为，求证：

；

（2）如果，，求的取值范围.

题型6：

二次函数的图像与性质

例6．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）

题型7：

二次函数的综合问题

例7．已知函数和的图象关于原点对称，且。

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）解不等式；

（Ⅲ）若在上是增函数，求实数的取值范围。

解析：

（Ⅰ）设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

（Ⅱ）由

当时，，此时不等式无解。

当时，，解得。

因此，原不等式的解集为。

（Ⅲ）

①

②

ⅰ）

ⅱ）

点评：

本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。

五．思维总结

1．函数零点的求法：

①（代数法）求方程的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

2．学习二次函数，可以从两个方面入手：

一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。

由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。

（1）二次函数的一般式中有三个参数.解题的关键在于：

通过三个独立条件“确定”这三个参数。

（2）数形结合：

二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。

结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。

因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。

【课后提高】

1、设方程的根为,则（）

A．（0,1）　　　B．（1,2）　　　C．（2,3）　　　D．（3,4）

2、方程的实数解的个数为（）　

A．2B．3C．1D．4

3、函数的零点一定位于下列哪个区间（）

A.B.C.D.

4、若方程2ax2－x－1=0在x∈（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是 （）

A．a<－1 B．a>1 C．－1

5、成立的 （）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6、函数的零点所在的一个区间是（　　）

　A．　　B．　　　C．　　　D．

7、若存在负实数使得方程成立，则实数的取值范围是（）

A．B.C.D.

8、如果函数没有零点，则的取值范围为（　　）

A．B．C．D．

9、若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为______________.

10、已知二次函数．

（1）判断命题：

“对于任意的R（R为实数集），方程必有实数根”的真假，并写出判断过程

（2），若在区间及内各有一个零点．求实数a的范围

11、如图是一个二次函数的图象.

（1）写出这个二次函数的零点；

（2）写出这个二次函数的解析式及时函数的值域。

12、已知二次函数不等式的解集为（1，3）.

（Ⅰ）若方程有两个相等的实根，求的解析式；

（Ⅱ）若的最大值为正数，求实数a的取值范围.

第21讲函数模型及其应用

一．课标要求：

1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；

2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

二．命题走向

函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。

高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。

出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。

预测高考将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。

（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；

（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。

三．要点精讲

1．解决实际问题的解题过程

（1）对实际问题进行抽象概括：

研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；

（2）建立函数模型：

将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；

（3）求解函数模型：

根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.

这些步骤用框图表示：

实际问题

函数模型

实际问题的解

函数模型的解

抽象概括

还原说明

运用函数性质