《二次函数和反比例函数》常考题集22.docx

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《二次函数和反比例函数》常考题集22

第20章《二次函数和反比例函数》常考题集（22）

20.5二次函数的一些应用

解答题

241．（2009•德城区）如图所示，已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？

若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

242．（2009•崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：

抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？

若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

243．（2009•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）2+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx﹣3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=

．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？

向下最多可平移多少个单位长度？

244．（2009•长春）如图，抛物线y=ax2﹣x﹣

与x轴正半轴交于点A（3，0），以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．

（1）求a的值；

（2）求点F的坐标．

245．（2009•北京）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在

（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：

当直线y=

x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

246．（2009•安顺）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3）△AOB与△DBE是否相似？

如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．

247．（2008•资阳）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD，求直线BD的解析式；

（3）在

（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？

如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

第三问改成，在

（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的三分之一，求此时点P的坐标．

248．（2008•镇江）如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=

x2在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，﹣1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连接AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R．

（1）求证：

H点为线段AQ的中点；

（2）求证：

①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；

（3）除P点外，直线PH与抛物线y=

x2有无其它公共点并说明理由．

249．（2008•枣庄）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB=6．

（1）求点A与点B的坐标；

（2）求此二次函数的解析式；

（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

250．（2008•益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．

（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？

试试看；

（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．

251．（2008•义乌市）如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上．过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．

（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部分）为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．

①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积，

②当2＜t＜4时，求S关于t的函数解析式；

（2）在第

（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形？

若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

252．（2008•宜宾）已知：

如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E．求四边形ABDE的面积；

（3）△AOB与△BDE是否相似？

如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由．

（注：

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为

）

253．（2008•盐城）如图，直线y=

x+b经过点B（﹣

，2），且与x轴交于点A，将抛物线y=

x2沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．

（1）求∠BAO的度数；

（2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；

（3）在抛物线y=

x2平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？

如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．

254．（2008•孝感）锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）

（1）△ABC中边BC上高AD=；

（2）当x=时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；

（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？

255．（2008•湘潭）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5，0）、B（6，﹣6）和原点．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点B的直线y=kx+b与抛物线交于点C（2，m），请求出△OBC的面积S的值；

（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E．直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED，是否存在点P，使得△OCD与△CPE相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

256．（2008•厦门）已知：

抛物线y=x2+（b﹣1）x+c经过点P（﹣1，﹣2b）．

（1）求b+c的值；

（2）若b=3，求这条抛物线的顶点坐标；

（3）若b＞3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：

请画示意图思考）

257．（2008•西宁）如图，已知半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，OM为⊙O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A，B两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求切线OM的函数解析式；

（3）线段OM上存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO1M相似．请问有几个符合条件的点P并分别求出它们的坐标．

258．（2008•乌鲁木齐）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；

（2）写出A，B两点的坐标；

（3）试确定此抛物线的解析式；

（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

259．（2008•威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）求四边形MEFN面积的最大值；

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形？

若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

260．（2008•泰州）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点（1，0），（﹣3，0），（0，﹣

）．

（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象；

（2）若反比例函数y2=

（x＞0）的图象与二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内交于点A（x0，y0），x0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象，写出这两个相邻的正整数；

（3）若反比例函数y2=

（x＞0，k＞0）的图象与二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内的交点A，点A的横坐标x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．

261．（2008•双柏县）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=﹣2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值？

若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

262．（2008•十堰）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的正半轴交于点C．

（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；

（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和

（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

263．（2008•绍兴）定义[p，q]为一次函数y=px+q的特征数．

（1）若特征数是[2，k﹣2]的一次函数为正比例函数，求k的值；

（2）设点A，B分别为抛物线y=（x+m）（x﹣2）与x，y轴的交点，其中m＞0，且△OAB的面积为4，O为原点，求图象过A，B两点的一次函数的特征数．

264．（2008•山西）如图，已知直线l1的解析式为y=3x+6，直线l1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，直线l2经过B，C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2从点C向点B移动．点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t＜10）．

（1）求直线l2的解析式；

（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；

（3）试探究：

当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

265．（2008•三明）如图，抛物线y=

x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

[注：

抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣

，

）．]．

266．（2008•青岛）已知：

如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC；

（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？

若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？

若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

267．（2008•莆田）如图：

抛物线经过A（﹣3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

（3）在

（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC有最小值？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（注：

抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=﹣

）

268．（2008•宁德）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．

（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；

（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；

（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点0＜OG＜6，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2的图象于点E、F．

①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；

②当0＜x＜6时，求线段EF长的最大值．

269．（2008•南平）如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m，

）（其中m＞0），在BC边上选取适当的点E和点F，将△OCE沿OE翻折，得到△OGE；再将△ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到△AGF，且∠OGA=90度．

（1）求m的值；

（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△OPG是等腰三角形？

若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）．

270．（2008•南充）如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，AB∥x轴，B（3，

），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，∠OAD=30度．折叠后，点O落在点O1，点C落在线段AB点C1处，并且DO1与DC1在同一直线上．

（1）求折痕AD所在直线的解析式；

（2）求经过三点O，C1，C的抛物线的解析式；

（3）若⊙P的半径为R，圆心P在

（2）的抛物线上运动，⊙P与两坐标轴都相切时，求⊙P半径R的值．

第20章《二次函数和反比例函数》常考题集（22）：

20.5二次函数的一些应用

参考答案

解答题

241．242．243．244．245．246．247．248．249．250．251．252．253．254．42.4255．256．257．258．259．260．261．262．263．264．265．266．267．268．269．270．