实际问题与二元一次方程组典例全析+知识点.docx
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实际问题与二元一次方程组典例全析+知识点
实际问题与二元一次方程组典例全析
知识要点梳理
知识点一：
列方程组解应用题的根本思想
列方程组解应用题是把“未知〞转化为“〞的重要方法,它的关键是把量和未知量联系起来,
找出题目中的相等关系.一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足：
〔1〕方程两边表
示的是同类量；〔2〕同类量的单位要统一；〔3〕方程两边的数值要相等.
知识点二：
列方程组解应用题中常用的根本等量关系
1.行程问题：
〔1〕追击问题：
追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行.这类问题比拟直观,画线
段,用图便于理解与分析.其等量关系式是：
两者的行程差=开始时两者相距的路程；
速度=照时见述
路程二速度乂时间.附间.速度
〔2〕相遇问题：
相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行.这类问题也比拟直观,因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：
双方所走的路程之和=总路程.
〔3〕航行问题：
①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；
②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；
③顺水速度—逆水速度=2X水速.
注意：
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.
2.工程问题：
工作效率X工作时间=工作量.
3.商品销售利润问题：
利周率=售］—介xiao%
〔i〕利润=售价—本钱〔进彳^〕；〔2〕进仰；〔3〕利润=本钱〔进价〕x利润率；
〔4〕标价=本钱〔进价〕X〔1+利润率〕；〔5〕实际售价=标价X打折率；
注意：
“商品利润=售价一本钱〞中的右边为正时,是盈利；为负时,就是亏损.打几折就是按标价
的十分之几或百分之几十销售.〔例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十〕
4.储蓄问题：
〔1〕根本概念
①本金：
顾客存入银行的钱叫做本金.②利息：
银行付给顾客的酬金叫做利息.
③本息和：
本金与利息的和叫做本息和.④期数：
存入银行的时间叫做期数.
⑤利率：
每个期数内的利息与本金的比叫做利率.⑥利息税：
利息的税款叫做利息税.
〔2〕根本关系式
①利息=本金X利率X期数
〔1+利率X期数〕
②本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期数=本金X
③利息税=利息X利息税率=本金X利率X期数X利息税率.
月利率年利率KJ_
④税后利息=利息x（1—利息税率）⑤年利率=月利率X12⑥12.
注意：
免税利息=利息
5.配套问题：
解这类问题的根本等量关系是：
总量各局部之间的比例=每一套各局部之间的比例.
6.增长率问题：
解这类问题的根本等量关系式是：
原量x（1+增长率）=增长后的量；
原量x（1—减少率）=减少后的量.
7.和差倍分问题：
解这类问题的根本等量关系是：
较大量=较小量十多余量,总量=倍数X倍量^
8.数字问题：
解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n为整数时,
奇数可表示为2n+1（或2n-1）,偶数可表示为2n等,有关两位数的根本等量关系式为：
两位数二十位数字乂10+个位数字
9.浓度问题：
溶液质量x浓度=溶质质量.
10.几何问题：
解决这类问题的根本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式
11.年龄问题：
解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的
12.优化方案问题：
在解决问题时,常常需合理安排.需要从几种方案中,选择最正确方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最正确方案.
注意：
方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比拟几种方案得出最正确方案.
知识点三：
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤：
1.审题：
弄清题意及题目中的数量关系；2.设未知数：
可直接设元,也可间接设元；
3.找出题目中的等量关系；4.列出方程组：
根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组
成方程组；5.解所列的方程组,并检验解的正确性；6.写出答案.
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答〞,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否
合理,不符合题意的解应该舍去；
（2）“设〞、“答〞两步,都要写清单位名称；
（3）一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组^
……分析抽第一一求解一五
解答步骤简记为：
问题>万程组与解答
（4）列方程组解应用题应注意的问题
①弄清各种题型中根本量之间的关系；②审题时,注意从文字,图表中获得有关信息；③注意用
方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列方程组与解方程组时,不要带
单位；④正确书写速度单位,防止与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件；⑥
列方程组解应用题一定要注意检验.
经典例题透析
类型一：
列二元一次方程组解决一一行程问题
分相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米
思路点拨：
画直线型示意图理解题意:
这里有两个未知数：
①汽车的行程；②拖拉机的行程有两个等量关系：
设汽车的速度为每小时行X千米,拖拉机的速度为每小时?
千米.
4
三0/中二1叩
I白<
根据题意,列方程组
［小.+/
p=90
解这个方程组,得：
J--
90x（11+1）=165（千米＞千米）
3232
答：
汽车行驶了165千米,拖拉机行驶了85千米.
总结升华：
根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略.
举一反三：
【变式1】甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发小时后
相遇；如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米
解：
设甲、乙两人每小时分别行走工千米、炉千米.根据题意可得：
45z+25^=36
[3:
+5y-36
[支=6解得：
---：
L
答：
甲每小时走6千米,乙每小时走千米.
【变式2】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度.
分析：
船顺流速度=静水中的速度+水速
船逆流速度=静水中的速度—水速
解：
设船在静水中的速度为x千米/时,水速为y千米/时,
那么上.0-加西口,解得：
1尸3
答：
船在静水中的速度为17千米/时,水速3千米/时.类型二：
列二元一次方程组解决一一工程问题
V2.一家商店要进行装修,假设请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元；假设先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问：
〔1〕甲、乙两
组工作一天,商店应各彳多少元〔2〕甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少
思路点拨：
此题有两层含义,各自隐含两个等式,第一层含义：
假设请甲、乙两个装修组同时施工,8
天可以完成,需付两组费用共3520元；第二层含义：
假设先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完
成,需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,由第一
层含义可得方程8〔x+y〕=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.
解：
〔1〕设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,依题意得：
/5+/〕=3520,①]_6x+12>=3480f②
解得"1例
答：
甲组单独做一天商店应付300元,乙组单独做一天商店应付140元.
〔2〕单独请甲组做,需付款300X12=3600元,单独请乙组做,需付款24X140=3360元,故请乙组单独做费用最少.
答：
请乙组单独做费用最少.
总结升华：
工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析.
举一反三：
【变式】小明家准备装修一套新住房,假设甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱万元；假设甲公司单
独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱万元.假设只选一个公司单独完成,从节约开支
的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司请你说明理由^
解：
设甲、乙两公司每周完成总工程的工和炉,由题意得：
■1r^=—
4^+5^-!
解得：
〔*=正
所以甲、乙单独完成这项工程分别需要10周、15周.
设需要付甲、乙每周的工钱分别是厘万元,8万元,根据题意得:
故甲公司单独完成需工钱：
1^=6〔万元〕；乙公司单独完成需工钱：
15由=4〔万元〕.
答：
甲公司单独完成需6万元,乙公司单独完成需4万元,故从节约的角度考虑,应选乙公司单独完
成.
类型三：
列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题
AM
▼3.有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价风格整
后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%共可获利44元,那么两件商品的进价分别是多少元
思路点拨：
做此题的关键要知道：
禾1］润=进价X禾IJ润率
解：
甲商品的进价为x元,乙商品的进价为y元,由题意得：
5%^+4%>=46p=600
1幅正如=44,解得：
答：
两件商品的进价分别为600元和400元.
举一反三：
【变式1】〔2021湖南衡阳〕李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其
中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩
解：
设李大叔去年甲种蔬菜种植了H亩,乙种蔬菜种植了T亩,那么：
xy=10.x=
…叫解得1…
答：
李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩,乙种蔬菜种植了4亩.
【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:
A
B
进价〔元/件〕
1200
1000
售价〔元/件〕
1380
1200
〔注：
获利=售价一进价〕
求该商场购进A、B两种商品各多少件；
解：
设购进A种商品元件,B种商品7件,根据题意得：
1200x+1000j/^360000.
\tl3g0-1200〕x+〔1200-1000V=60000
]6升“二涮0,200,
化简得：
N+10a=3000
解得：
V=12°-
答：
该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件.
类型四：
列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题
AM…―
▼4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000兀钱,
一种是年利率为％的教育储蓄,另一种是年利率为％的一年定期存款,一年后可取出元,问这两种储蓄各
存了多少钱〔利息所得税=利息金额x20%教育储蓄没有利息所得税〕
思路点拨：
设教育储蓄存了x元,一年定期存了y元,我们可以根据题意可列出表格：
教育绪蓄
1年定期
台讨
现在
F
一年后
行黑福.
了十r小22潞嗡品
Z042.75
解：
设存一年教育储蓄的钱为x元,存一年定期存款的钱为y元,那么列方程：
y-2000-j[jl-1500
4r[4
1〔1+.必如+帅+.35.-0②"342万,解得：
一二00
答：
存教育储蓄的钱为1500元,存一年定期的钱为500元.
总结升华：
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不容易找出其等
量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之浮现出来.
举一反三：
【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利
息元.两种储蓄年利率的和为%问这两种储蓄的年利率各是百分之几〔注：
公民应缴利息所得税=利
息金额X20%
思路点拨：
扣税的情况：
本金X年利率X〔1-20%〕X年数=利息〔其中,利息所得税=利息
金额X20%.不扣税时：
利息=本金X年利率X年数.
解：
设第一种储蓄的年利率为xx,第二种储蓄的年利率为y,根据题意得：
Z十A=二24%卜二2.25%
⑷期+10.叼=4392,解得：
[〞0.99%
答：
第一种储蓄的年利率为%第二种储蓄的年利率为%.
【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,
一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息%第二种,三年期整
存整取,这种存款银行年利率为％.三年后同时取出共得利息元〔不计利息税〕,问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元
解：
设第一种存款数为X元,那么第二种存款数为y元,根据题意得：
y-4000a-1500
艮42%+好3乂2.70%=3〞不,解得：
［〞230.
答：
第一种存款数为1500元,第二种存款数为2500元.
类型五：
列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题
剑
▼5.某服装厂生产一批某种款式的秋装,每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.
现方案用132米这种布料生产这批秋装〔不考虑布料的损耗〕,应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套
思路点拨：
此题的第一个相等关系比拟容易得出：
衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关
系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍〔注意：
别把2倍的关
系写反了〕.
解：
设用K米布料做衣身,用尸米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套,根据题意,得：
x+y-132
3、3
1y=72
—xX2=—y
122尸
答：
用60米布料做衣身,用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套^
总结升华：
生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键^
举一反三：
【变式1］现有190张铁皮做盒子,每张铁皮做8个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子
思路点拨：
两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数,两个相等关系是：
①制盒身铁皮张数+制盒底铁
皮张数=190;②制盒身个数的2倍=制盒底个数.
解：
设x张铁皮制盒身,y张铁皮制盒底,由题意得:
答：
用110张制盒身,80张制盒底,正好制成一批完整的盒子.
【变式2】某工厂有工人60人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓14
个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.
x人,生产螺母的有y人,
解：
由一个螺栓套两个螺母的配套产品,可设生产螺栓的有
「父二25
那么：
〔工其14K・啊,解得:
Lv-35
答：
生产螺栓的有25人,生产螺母的有35人.
【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面50个,或做桌腿300
条.现有5立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,
恰好配成方桌能配多少张方桌
解：
设用x立方米的木料做桌面,用y立方米的木料做桌腿,根据题意,得：
「或十y=5
3解得：
可做50X3=150张方桌.
答：
用3立方米的木料做桌面,用2立方米的木料做桌腿,可做成150张方桌.
类型六：
列二元一次方程组解决一一增长率问题
V6.某工厂去年的利润〔总产值一总支出〕为200万元,今年总产值比去年增加了20%总支出
比去年减少了10%今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元
思路点拨：
设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,那么有
总产值〔万元〕
总支出〔万元〕
利润〔力兀〕
去年
x
y
200
今年
120%x
90%y
780
根据题意知道去年的利润和今年的利润,由利润=总产值一总支出和表格里
的量和未知量,可以列出两个等式.
解：
设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,根据题意得：
x-y=200x-2000
一一了-9陷尸=780,
解之得：
L
答：
去年的总产值为2000万元,总支出为1800万元
总结升华：
当题的条件较多时,可以借助图表或图形进行分析.
举一反三：
【变式1】假设条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元
解：
设今年的总产值为x万元,总支出为y万元,由题意得：
x-y=780
[kvfx=2400
-^-^—=200
〔120%90%,解得：
卜=1磔
答：
今年的总产值为2000万元,总支出为1800万元
思考：
本问题还有没有其它的设法
【变式2】某城市现有人口42万,估计一年后城镇人口增加%农村人口增加%这样全市人口增加1%求这个城市的城镇人口与农村人口.
思路点拨：
由题意得两个等式关系,两个相等关系为：
（1）城镇人口+农村人口=42万；
（2）城镇人口X（1+%）+农村人口X（1+%）=42X（1+1%
解：
设现在城镇人口为x万,农村人口为y万,由题意得：
公十二42
+0+=42（1+1%）
解得
"a=14,=28
答：
现在城镇人口14万人,农村人口为28万人类型七：
列二元一次方程组解决一一和差倍分问题
V7.（2021年北京丰台区中考一摸试题）“爱心〞帐篷厂和“温暖〞帐篷厂原方案每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加
点,“爱心〞帐篷厂和“温暖〞帐篷厂一周内制作的帐篷数分别到达了原来的倍、倍,恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内,“爱心〞帐篷厂和“温暖〞帐篷厂各生产帐篷多少千顶
思路点拨：
找出量和未知量,根据题意知未知量有两个,所以列两个方程,根据方案前后,倍数关系由量和未知量列出两个等式,即是两个方程组成的方程组.
解：
设原方案“爱心〞帐篷厂生产帐篷x千顶,“温暖〞帐篷厂生产帐篷y千顶,由题意得：
式十y=9（x=5
11'・14,解得：
1y4
所以：
='=8,=父=6
答：
“爱心〞帐篷厂生产帐篷8千顶,“温暖〞帐篷厂生产帐篷6千顶.
举一反三：
【变式1】（2021年北京门头沟区中考一模试题）“地球一小时〞是世界自然基金会在2007年提出
的一项建议.号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分一21时30分熄灯一小
时,旨在通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化,倡导低碳生活.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个,问中国内地去
年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.
解：
设中国内地去年有x个城市参加了此项活动,今年有y个城市参加了此项活动.
依题意得,解得：
■除
答：
去年有33个城市参加了此项活动,今年有86个城市参加了此项活动
【变式2】游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽.如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍,你知道男孩与女孩各有多少人
吗
思路点拨：
此题关键之一是：
小孩子看游泳帽时只看到别人的,没看到自己的帽子.关键之二是：
两个等式,列等式要看到重点语句,第一句：
每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多；第二句：
每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍.找到量和未知量根据这两句话列两个方程.
解：
设男孩x人,女孩y人,根据题意得：
2（v-1）=a名"曰v=3
L'',解得：
答：
男孩4人和女孩有3人.
类型八：
列二元一次方程组解决一一数字问题
C8,两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,前一个四位数比后一个四位数大2178,
求这两个两位数.思路点拨：
设较大的两位数为x,较小的两位数为V.
问题1:
在较大的两位数的右边写上较小的两位数,所写的数可表示为：
100x+y
问题2：
在较大数的左边写上较小的数,所写的数可表示为：
100y+x
解：
设较大的两位数为x,较小的两位数为V.依题意可得：
k十y-687—45
100.工川-（100?
+力=21.解得：
答：
这两个两位数分别为45,23.
举一反三：
【变式1】一个两位数,减去它的各位数字之和的3倍,结果是23;这个两位数除以它的各位数字之
和,商是5,余数是1,这个两位数是多少
解：
设十位数为x,个位数为V,那么：
10五十a—3G十力=23|\二5
解得：
3=6
答：
这两位数为56
【变式2】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交
换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数
解：
设个位数字为x,十位数字为V,根据题意得：
y-x+5
10耳十1y二?
十工）一9
x=2
y=7
答：
这个两位数为72.
【变式3】某三位数,中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位数字减1,个位数字加
1,那么所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数.
解：
设原三位数的百位数字为x,个位数字为y,由题意得：
[1.0
（1）+卬+1）=1孙+天
五二5
解得,,二日
答：
所求三位数是504.
类型九：
列二元一次方程组解决一一浓度问题
◊
▼9.现有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是3：
7,乙种酒精溶液的酒精与水的比
是4：
1,今要得到酒精与水的比为3:
2的酒精溶液50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少
思路点拨：
此题欲求两个未知量,可直接设出两个未知数,然后列出二元一次方程组解决,题中有以
下几个相等关系：
（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和=50;
（2）混合前两种溶液所含纯酒精
质量之和=混合后的溶液所含纯酒精的质量；〔3〕混合前两种溶液所含水的质量之和=混合后溶液所含
水的质量；〔4〕混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比=混合后溶液所含纯酒精与水的比.
解：
法一：
设甲、乙两种酒精溶液分别取xkg,ykg.依题意得：
〞二十*二5.
[343fx-20
解如[105』5
答：
甲取20kg,乙取30kg
法二：
设甲、乙两种酒精溶液分别取10xkg和5ykg,
那么甲种酒精溶液含水7xkg,乙种酒精溶液含水ykg,根据题意得：
70工+5〕3
I2\x=2
解H"小.,
所以10x=20,5y=30.
答：
甲取20kg,乙取30kg
总结升华：
此题的第〔1〕个相等关系比拟明显,关键是正确找到另外
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