实际问题与二元一次方程组典例全析+知识点.docx

1、实际问题与二元一次方程组典例全析+知识点实际问题与二元一次方程组典例全析知识要点梳理知识点一：列方程组解应用题的根本思想列方程组解应用题是把 “未知转化为“的重要方法,它的关键是把量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系.一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足：1方程两边表示的是同类量；2同类量的单位要统一；3方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的根本等量关系1.行程问题：1追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行.这类问题比拟直观,画线段,用图便于理解与分析.其等量关系式是：两者的行程差=开始时两者相距的路程；速度=照时见述路程二速度乂

2、时间.附间. 速度2相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行.这类问题也比拟直观, 因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程.3航行问题：船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；顺水速度逆水速度=2 X水速.注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.2.工程问题：工作效率X工作时间 =工作量.3.商品销售利润问题：利周率=售介xiao%i利润=售价本钱进彳；2进仰；3利润=本钱进价x利润率；4标价=本钱进价X 1 +利润率；5实际售价=标价X打折率；注

3、意：“商品利润=售价一本钱中的右边为正时,是盈利；为负时,就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十4.储蓄问题：1根本概念本金：顾客存入银行的钱叫做本金.利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.本息和：本金与利息的和叫做本息和.期数：存入银行的时间叫做期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率.利息税：利息的税款叫做利息税.2根本关系式利息=本金X利率X期数1 +利率X期数本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期数=本金X利息税=利息X利息税率=本金X利率X期数X利息税率.月利率年利率K J_税后利息=利息x (1 利息税率)年利

4、率=月利率X 1212.注意：免税利息=利息5.配套问题：解这类问题的根本等量关系是：总量各局部之间的比例=每一套各局部之间的比例.6.增长率问题：解这类问题的根本等量关系式是：原量x(1 +增长率)=增长后的量；原量x (1 减少率)=减少后的量.7.和差倍分问题：解这类问题的根本等量关系是：较大量=较小量十多余量,总量=倍数X倍量8.数字问题：解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶数可表示为2n等,有关两位数的根本等量关系式为： 两位数二十位数字乂 10+个位数字9.浓度问题：溶液质量x浓度=溶质质量.

5、10.几何问题：解决这类问题的根本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11.年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的12.优化方案问题：在解决问题时,常常需合理安排.需要从几种方案中,选择最正确方案,如网络的使用、到不同旅行社 购票等,一般都要运用方程解答,得出最正确方案.注意：方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比拟几种方案得出最正确方案.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤：1.审题：弄清题意及题目中的数量关系；2.设未知数：可直接设元,也可间接设元；

6、3.找出题目中的等量关系；4.列出方程组：根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组成方程组；5.解所列的方程组,并检验解的正确性；6.写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去；(2)“设、“答两步,都要写清单位名称；(3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组分析抽第一一求解一五解答步骤简记为：问题 万程组与解答(4)列方程组解应用题应注意的问题弄清各种题型中根本量之间的关系；审题时,注意从文字,图表中获得有关信息；注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带

7、单位,列方程组与解方程组时,不要带单位；正确书写速度单位,防止与路程单位混淆；在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件；列方程组解应用题一定要注意检验.经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题分相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回, 在汽车再次出发半小 时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米思路点拨：画直线型示意图理解题意:这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程 有两个等量关系：设汽车的速度为每小时行 X千米,拖拉机的速度为每小时 ?千米.4三0/中二1叩I 白 =3480f 解得1例答：甲组单独做一天商店应付300元,乙组单独做

8、一天商店应付140元.2单独请甲组做,需付款 300X 12= 3600元,单独请乙组做,需付款 24X 140 = 3360元, 故请乙组单独做费用最少.答：请乙组单独做费用最少.总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将工作总 量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析.举一反三：【变式】小明家准备装修一套新住房,假设甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱万元；假设甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱万元.假设只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司请你

9、说明理由解：设甲、乙两公司每周完成总工程的 工和炉,由题意得：1r=4+5-!解得：*=正所以甲、乙单独完成这项工程分别需要10周、15周.设需要付甲、乙每周的工钱分别是 厘万元,8万元,根据题意得:故甲公司单独完成需工钱：1=6 万元；乙公司单独完成需工钱：15由=4 万元.答：甲公司单独完成需 6万元,乙公司单独完成需 4万元,故从节约的角度考虑,应选乙公司单独完成.类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题AM 3.有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价风格整后,甲商品的利润率为 4%,乙商品的利润率为 5%共可获利44元,那么两件商品的进

10、价分别是多少元思路点拨：做此题的关键要知道：禾1润=进价X禾IJ润率解：甲商品的进价为 x元,乙商品的进价为 y元,由题意得：5%+4% = 46 p= 6001幅正如=44,解得：答：两件商品的进价分别为600元和400元.举一反三：【变式1】2021湖南衡阳李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利 18000元,其中甲种蔬菜每亩获利 2000元,乙种蔬菜每亩获利 1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩解：设李大叔去年甲种蔬菜种植了H亩,乙种蔬菜种植了 T亩,那么：x y = 10.x =叫解得1答：李大叔去年甲种蔬菜 种植了 6亩,乙种蔬菜种植了 4亩.【变式2】某商

11、场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利 6万元,其进价和售价如下表:AB进价元/件12001000售价元/件13801200注：获利=售价一进价求该商场购进A、B两种商品各多少件；解：设购进A种商品元件,B种商品7件,根据题意得：1200x+1000j/ 360000.tl3g0-1200x+1200- 1000V = 600006升“二涮0,200,化简得：N+10a = 3000解得：V=12-答：该商场购进 A、B两种商品分别为200件和120件.类型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题AM 4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000兀钱

12、,一种是年利率为的教育储蓄,另一种是年利率为的一年定期存款,一年后可取出元,问这两种储蓄各存了多少钱利息所得税=利息金额x20%教育储蓄没有利息所得税思路点拨： 设教育储蓄存了 x元,一年定期存了 y元,我们可以根据题意可列出表格：教育绪蓄1年定期台讨现在F一年后行黑福.了十r小22潞嗡品Z042.75解：设存一年教育储蓄的钱为x元,存一年定期存款的钱为y元,那么列方程：y - 2000 - jjl - 15004r411 +.必如+帅+.35.-0342万,解得：一二00答：存教育储蓄的钱为 1500元,存一年定期的钱为 500元.总结升华：我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际

13、问题时,有时候不容易找出其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之浮现出来.举一反三：【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息元.两种储蓄年利率的和为 %问这两种储蓄的年利率各是百分之几注：公民应缴利息所得税=利息金额X 20%思路点拨：扣税的情况：本金X年利率X1-20% X年数=利息其中,利息所得税 =利息金额 X20% .不扣税时：利息=本金X年利率X年数.解：设第一种储蓄的年利率为xx ,第二种储蓄的年利率为y,根据题意得：Z 十A = 二24%卜二 2.25%期 +10.叼= 4392

14、 ,解得：0.99%答：第一种储蓄的年利率为 %第二种储蓄的年利率为 %.【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息%第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为 .三年后同时取出共得利息元 不计利息税,问小敏的爸爸两种存款各存 入了多少元解：设第一种存款数为 X元,那么第二种存款数为 y元,根据题意得：y - 4000a - 1500艮42%+好3乂2.70%=3不,解得：230.答：第一种存款数为 1500元,第二种存款数为 2500元.类型五：列二元一次方程组解决一

15、一生产中的配套问题剑 5.某服装厂生产一批某种款式的秋装,每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现方案用132米这种布料生产这批秋装不考虑布料的损耗,应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰 好配套思路点拨：此题的第一个相等关系比拟容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍注意：别把2倍的关系写反了 .解：设用K米布料做衣身,用 尸米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套,根据题意,得：x+y - 1323 、 31y = 72xX2 = y122尸答：用60米布料做衣身,用 72米布料做衣袖才能使做的衣身

16、和衣袖恰好配套总结升华：生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、 衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例, 依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出 来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键举一反三：【变式1现有190张铁皮做盒子,每张铁皮做 8个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一 个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子思路点拨：两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数,两个相等关系是：制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190;制盒身个数的 2倍=制盒底个数.解：设x张铁皮制盒身,y张

17、铁皮制盒底,由题意得:答：用110张制盒身,80张制盒底,正好制成一批完整的盒子.【变式2】某工厂有工人 60人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.x人,生产螺母的有 y人,解：由一个螺栓套两个螺母的配套产品,可设生产螺栓的有父二25那么：工其14K啊,解得:Lv-35答：生产螺栓的有 25人,生产螺母的有 35人.【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面 50个,或做桌腿300条.现有5立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿

18、,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌能配多少张方桌解：设用x立方米的木料做桌面,用y立方米的木料做桌腿,根据题意,得：或十 y=53解得：,可做50X 3= 150张方桌.答：用3立方米的木料做桌面,用2立方米的木料做桌腿,可做成150张方桌.类型六：列二元一次方程组解决一一增长率问题V 6.某工厂去年的利润总产值一总支出为 200万元,今年总产值比去年增加了20%总支出比去年减少了 10%今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元思路点拨：设去年的总产值为 x万元,总支出为y万元,那么有总产值万元总支出万元利润力兀去年xy200今年120%x90%y780根据题意知道去年的利润和今

19、年的利润,由利润=总产值一总支出和表格里的量和未知量,可以列出两个等式.解：设去年的总产值为 x万元,总支出为y万元,根据题意得：x-y = 200x - 2000一一了-9 陷尸=780,解之得：L答：去年的总产值为 2000万元,总支出为1800万元总结升华：当题的条件较多时,可以借助图表或图形进行分析.举一反三：【变式1】假设条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元解：设今年的总产值为 x万元,总支出为y万元,由题意得：x-y = 780k vfx = 2400-=200120% 90%,解得：卜=1磔答：今年的总产值为 2000万元,总支出为1800万元思考：本问题还有没有其它的设

20、法【变式2】某城市现有人口 42万,估计一年后城镇人口增加 %农村人口增加 %这样全市人口增加 1%求这个城市的城镇人口与农村人口.思路点拨：由题意得两个等式关系,两个相等关系为：(1)城镇人口 +农村人口 =42万；(2)城镇人口 X (1+%)+农村人口 X ( 1+%)=42X (1+1%解：设现在城镇人口为 x万,农村人口为y万,由题意得：公十二42+0 += 42(1+1%)解得a = 14 , = 28答：现在城镇人口 14万人,农村人口为 28万人 类型七：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题V 7. (2021年北京丰台区中考一摸试题)“爱心帐篷厂和“温暖帐篷厂原方案每周生产帐

21、篷 共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点,“爱心帐篷厂和“温暖帐篷厂一周内制作的帐篷数分别到达了原来的倍、倍,恰好按时完成了这 项任务.求在赶制帐篷的一周内,“爱心帐篷厂和“温暖帐篷厂各生产帐篷多少千顶思路点拨：找出量和未知量,根据题意知未知量有两个,所以列两个方程,根据方案前后,倍数 关系由量和未知量列出两个等式,即是两个方程组成的方程组.解：设原方案“爱心帐篷厂生产帐篷x千顶,“温暖帐篷厂生产帐篷 y千顶,由题意得：式十 y = 9(x= 511r,解得：1y4所以：=8,=父=6答：“爱心帐篷厂生产帐篷8千顶,“温暖帐篷厂

22、生产帐篷 6千顶.举一反三：【变式1】(2021年北京门头沟区中考一模试题 )“地球一小时是世界自然基金会在2007年提出的一项建议.号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六 20时30分一21时30分熄灯一小时,旨在通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化,倡导低碳生活.中国内地去年和 今年共有119个城市参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个,问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.解：设中国内地去年有 x个城市参加了此项活动,今年有y个城市参加了此项活动.依题意得,解得：除答：去年有33个城市参加了此项活动,今年有86个城市参加了

23、此项活动【变式2】 游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽.如果每位男孩看到蓝 色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍,你知道男孩与女孩各有多少人吗思路点拨：此题关键之一是：小孩子看游泳帽时只看到别人的,没看到自己的帽子.关键之二是：两个等式,列等式要看到重点语句,第一句：每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多；第二句：每位女 孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍.找到量和未知量根据这两句话列两个方程.解：设男孩x人,女孩y人,根据题意得：2(v -1) = a 名曰v = 3L ,解得：答：男孩4人和女孩有3人.类型八：列二元一次方程组解决一一数字问题C

24、8,两个两位数的和是 68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数；在 较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数. 思路点拨：设较大的两位数为 x,较小的两位数为 V.问题1:在较大的两位数的右边写上较小的两位数,所写的数可表示为：100x + y问题2：在较大数的左边写上较小的数,所写的数可表示为：100y +x解：设较大的两位数为 x,较小的两位数为 V.依题意可得：k 十y - 687 45100.工川-(100? + 力=21 .解得：答：这两个两位数分别为 45, 23.举一反三：【变式1】一个两位数,

25、减去它的各位数字之和的3倍,结果是23;这个两位数除以它的各位数字之和,商是5,余数是1,这个两位数是多少解：设十位数为x,个位数为V,那么：10 五十 a 3G 十力=23|二5,解得：3=6答：这两位数为56【变式2】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数解：设个位数字为x,十位数字为V,根据题意得：y-x+510 耳十 1y 二?十工)一9x = 2y = 7答：这个两位数为 72.【变式3】某三位数,中间数字为 0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位数字减1,个位数字加1,那么所

26、得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数.解：设原三位数的百位数字为x ,个位数字为y,由题意得：1.0(1)+卬+1) = 1孙+天五二5解得,二日答：所求三位数是 504.类型九：列二元一次方程组解决一一浓度问题 9.现有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是3 ： 7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是4 ： 1,今要得到酒精与水的比为 3 : 2的酒精溶液50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少思路点拨：此题欲求两个未知量,可直接设出两个未知数,然后列出二元一次方程组解决,题中有以下几个相等关系：(1)甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和=50; (2)混合前两种溶液所含纯

27、酒精质量之和=混合后的溶液所含纯酒精的质量；3混合前两种溶液所含水的质量之和=混合后溶液所含水的质量；4混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比=混合后溶液所含纯酒精与水的比.解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取x kg , y kg.依题意得：二十*二5.343 fx - 20解如1055答：甲取20kg,乙取30kg法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10x kg和5y kg ,那么甲种酒精溶液含水 7x kg ,乙种酒精溶液含水 y kg ,根据题意得：70 工+53I 2 x = 2解 H小.,所以 10x=20,5y=30.答：甲取20kg,乙取30kg总结升华：此题的第1个相等关系比拟明显,关键是正确找到另外