思维训练.docx

思维训练.docx

《思维训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《思维训练.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

思维训练

数学思维训练

第一讲：

数学小知识

1、分数的资料：

早在人类文化发展的初期，由于度量和均分的实际需要，就引入并使用分数，我国古代把分数叫做“命分”。

人类认识分数，也经历了一个漫长的历史过程，开始只使用具体的分数，如一半、一半的一半多，后来逐渐出现三分之一、三分之二等分数，最初分数的表示法跟现在不一样，例如没有分数线，阿拉伯人发明了分数线。

我国最早的数学著作《周髀算经》记载了分数算法，我国古代另一部著作《九章算术》里面，已经有完整的分数四则运算

2、集合思想：

一年级在学习认数和分类知识中，已经有所接触，高年级的公因数和公倍数、三角形和四边形的分类，数的分类（正数、0、负数）

3、指南针是用来指示方向的，早在2000年前，我们的祖先就先用磁石制作了指示方向的仪器——司南，后来又发明了罗盘，指南针是我国古代四大发明（造纸术、印刷术、火药、指南针）之一。

4、除号“÷”是三百多年前一个瑞士人首先使用的，用一条横线把两个圆点分开，恰好表示了平均分的意思。

5、我们居住的地球总是绕着太阳旋转的。

地球绕太阳转一圈需要365天5时48分46秒。

为了方便，将一年定为365天，叫做平年。

这样，每过4年差不多就要多出1天来，把这1天加在2月里，这一年就有366天，叫做闰年。

我国古代就知道一年有365天零天。

地球在绕太阳转的同时，自己还不停的旋转。

地球自己旋转一圈的时间就定为一日。

一日是24时

6、早在2000多年前，我国劳动人民就会计算土地的面积。

当时用亩做单位。

先用走步量出长方形土地的长和宽的步数（一步=5尺），计算出它们的积，然后除以240，就得亩数。

亩这个单位现在已经废除，一亩约等于667平方米。

7、我国古代用小棒表示小数，就把小数点后面的数放低一格。

例如。

把3.12摆成，这是世界上最早的小数表示方法。

在西方，小数出现很晚。

最早使用小圆点作为小数点的是德国数学家克拉维斯。

现在，有一部分国家用小圆点“。

”表示小数点，还有一部分国家用逗号“，”表示小数点。

8、大约在3世纪时，印度人发明了一种特殊的数字，大约12世纪时，阿拉伯人把印度数字带到欧洲。

欧洲人称它们为“阿拉伯数字”

第二讲：

数学小知识

9、求近似数的方法：

1四舍五入法2进一法3去尾法

10、莫比乌斯带又叫莫比乌斯圈，是德国数学家莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现的，它属于拓扑学的内容。

它在生活中和生产中都有应用。

例如，机器上的传动带就可以做出“莫比乌斯带”状，这样传动带就不会只磨损一面了。

11、“规”和“矩”是我国古代劳动人民创造和使用的两种测量和画图的工具。

规是用来画圆的，相当于现在的圆规；矩是用来画长方形、正方形、直角等工具，相当于现在的角尺。

公元前2000年（大禹治水年代），我国劳动人民就开始使用规和矩这些工具了。

12、人们经过研究发现，长和宽的比大约是1：

0.618的长方形看起来美观、漂亮。

这个比叫做黄金比，这样的长方形被称为黄金矩形。

黄金比被广泛应用于绘画、摄影、建筑等许多领域中，为我们的生活创造了美。

13、中华人民共和国国旗长和宽的比是3：

2

14、最早研究圆的周长与直径关系的数学家是刘徽

15、约2000年前，在中国古代的数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法，约1500年前，中国的一位伟大的科学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926.1415927之间，他用两个分数（）与（）近似表示圆周率。

成为世界上第一次把圆周率的值精确到7位小数的人。

他的这项伟大成就比欧洲数学家的计算结果至少要早1000年。

现在人们已经能用计算器算出圆周率的小数点后面上亿位。

16、早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。

在我国古代，大约两千年前成书的《九章算术》中，就记载了用一组方程解决实际问题的史料。

一直到三百多年前，法国的数学家笛卡儿第一个提倡用x、y、z等字母代表未知数，才形成了现在的方程。

第三讲：

数学小知识

17、大约在两千年前，我国数学名著《九章算术》中的“方天章”就论述了平面图形面积的算法。

书中说：

“方田数曰，广从步数相乘得积步。

”其中“方田”是指长方形田地，“广”和“从”是指长和宽。

也就是说：

长方形面积=长×宽。

还说：

“圭田术曰，半广以乘正从。

”就是说：

三角形面积=底×高÷2。

18、我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平行四边形的面积。

出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变。

来计算出它的面积。

19、完全数：

6的因数有1,2,3,6，这几个因数的关系是：

1+2+3=6.像6这样的数，叫做完全数（也叫做完美数）。

28也是完全数，而8则不是，因为1+2+4≠8.完全数非常稀少，到2013年，人们在无穷无尽的自然数里，一共找出了48个完全数，其中较小的有6,28,496,8128等。

20、两人一组，一人给出大于2的偶数，另一人找出和为此数的两个质数。

从上面的游戏我们看到：

4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=7+3,12=7+5,14=11+3……那么，是不是所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和呢？

这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。

哥德巴赫猜想看似简单，要证明却非常困难，成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。

世界各国的数学家都想攻克这一难题，但至今还未解决。

我国数学家陈景润在这一领域取得了举世瞩目的成果。

21、几何学和欧几里得：

几何学是数学学科的一个重要分支，它源于土地测量等实际需要。

古希腊数学家欧几里得被称为“几何之父”，他的著作《原本》在数学发展史上有着深远的影响。

该书从17世纪初开始传入我国。

22、人们很早就得出了长方体、圆柱等形体的体积计算公式。

因为它们是河堤、谷仓等的常见形状，而且还有计算体积的需要。

我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确地给出了立体图形的体积计算公式。

书中在求底面是正方形的长方体体积时，是这样说的：

“方自乘，以高乘之即积尺。

”就是说先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积。

23、化简一个分数时，用2约了两次，用3约了一次，得。

原来的分数是多少？

24、我国古代的数学著作《九章算术》就介绍了“约分术”：

“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。

以等数约之。

”意思是说：

如果分子、分母全是偶数，就先除以2；否则以较大的数减去较小的数，把所得到的差与上一步中的减数比较，并再以大数减去小数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，用这个等数约分。

这种方法被后人称为“更相减损术”。

第四讲：

一般应用题

（一）

例题解析：

例题：

有两筐苹果，甲筐重42千克，乙筐重36千克。

从甲筐中取出多少千克苹果放入乙筐，才能使两筐苹果重量相等？

思路分析：

由条件可知，甲筐比乙筐多42-36=6（千克）。

要使两筐的重量相等，只要把甲筐比乙筐多的6千克平均分成两份，取其中的1份放入乙筐中就行了。

所以从甲筐中取6÷2=3（千克）放入乙筐，才能使两筐的苹果重量相等。

解：

（42-36）÷2=3（千克）

答：

从甲筐中取出3千克放入乙筐，才能使两筐苹果的重量相等。

对应练习

1、妈妈去买水果，她所带的钱正好能买18千克苹果或25千克梨。

已知每千克梨比每千克苹果便宜0.7元，妈妈一共带了多少钱？

2、光华机械厂加工2100个零件，计划平均每天加工75个，6天后改进了技术，平均每天加工150个。

这样完成这批零件共需几天？

3、加工一批零件，师傅单独做需要10小时，徒弟单独做需要15小时，已知师傅比徒弟多加工了20个。

问师徒两人共同加工这批零件需要几小时？

第五讲：

一般应用题

（二）

例题解析：

例题：

甲组的图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。

原来甲组有图书多少本？

思路分析：

甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应地也拿出6×3=18本，则甲组仍是乙组的3倍。

事实上甲组不但没拿出18本，反而接受了乙组的6本，（18+6）就正好对应着后来乙组的（5-3）倍。

因此，后来乙组有图书（18+6）÷（5-3）=12（本），乙组原来有12+6=18本，甲组原来有18×3=54本。

解：

（6×3+6）÷（5-3）=12本

（12+6）×3=54本

答：

原来甲组有图书54本。

对应练习

1、有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。

已知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克。

甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克？

第六讲：

做图法解应用题

例题解析：

例题：

两个数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数之和等于415，则余数是多少？

思路分析：

根据题意：

被除数÷除数=4……8，那么，根据除法各部分之间的关系。

被除数=除数×4+8，被除数是除数的4倍还多8，就可以用线段图表示出它们之间的关系，如果把除数设为X,则被除数是4X+8.

解法一：

设除数为X,，则被除数4X+8.，列方程得：

X+4X+8+4+8=415

X=79

解法二：

用算术方法解

（415-8-4-8）÷（1+4）

=395÷5

79答：

除数是79.

对应练习：

1、两个数相除，商4余1，被除数、除数、商和余数的和是156，除数是多少？

2、一个长方形如果宽不变，长增加6米，面积就增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，面积就增加24平方米，这个长方形原来有多少平方米？

变式练习

1、五

（1）班的男生人数和女生人数同样多，选派18名男生和26名女生参加实践活动，剩下的男生是女生的3倍。

五

（1）班原来有男女生各多少人？

第七讲：

排列与组合

例题解析：

例题：

有三张数字卡片，分别0、1、2。

从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位数？

思路分析：

排列时要注意“0”不能排在最高位。

（1）个位数排1，个位数有两个数字可选，这样的数共有两个10、12.

（2）个位上排2，个位上也有两个数字可选，这样的数字也有两个，20、21.从以上列举容易发现，一共可以排成2×2=4（个）两位数。

对应练习：

1、在一次羽毛球比赛中：

（1）5个队进行单循环赛，需比赛多少场？

（每两个队之间比赛1次称为1场）

（2）40名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军，共要打几场球？

2、用数字0、5、8、9可以组成多少个没有重复数字的四位数？

第八讲：

数的整除

例题解析：

例题：

最高上数字是1，并且能同时被2、3、5整除的最小四位数是多少？

思路分析：

能同时被2、5整除，个位上数字只能为0，为使这四位数最小，百位数字取0，进而由3的倍数的特征知十位数字为2、5、8，从而最小四位数是1020.

对应练习

1、用一个数去除35、98、112都能整除，这个数最大是多少？

2、一个数用12、18、30除都能整除，这个数最小是多少？

3、一张长方形纸长60厘米，宽45厘米，把它剪成若干个同样大的正方形，使边长是整厘米数且不能有剩余，最少能剪多少个？

变式练习

1、一个两位数，被9除余7，被7除余5，被3除余1，求这个两位数。

第九讲：

长方体和正方体

例题解析：

例题：

有甲、乙两个长方体容器，甲长10厘米。

宽8厘米，高5厘米；乙长5厘米，宽4厘米，高6厘米。

现在甲容器中装满水，而乙容器是空的。

要将甲容器中的一部分水倒入乙容器中，使得甲、乙两容器中的水一样深，这时，两容器中的水深多少厘米？

思路分析：

原来甲容器中的水一共是10×8×5=400（立方厘米）。

而此时两容器的底面积和是10×8+5×4=100（平方厘米），我们用体积除以底面积和就可以得到此时的水深。

解：

10×8×5÷（10×8+5×4）=4厘米

答：

这时，两容器中的水深4厘米。

对应练习

1、一个长方体的底面是边长为5厘米的正方形，它的侧面积是160平方厘米，它的体积是多少立方厘米？

2、一个长方体，如果高增加2厘米，就变成一个正方体，这时便面积比原来增加56平方厘米。

原来长方体的体积是多少立方厘米？

（180页图）

第十讲：

包含与排除问题

例题解析：

例题：

一个班有学生45人，参加语文小组的有25人，参加数学小组的有35人，并且每人至少参加一个小组，这个班两个小组都参加的有多少人？

语文

数学

解析：

如图，左边的椭圆表示参加语文小组的人数，右边的椭圆表示参加数学小组的人数，两个椭圆重叠部分表示两个组都参加的人数，如果我们把25+35合起来，总数就是60人，这样就比班级总人数多了15人，问什么会这样呢？

就是因为两个小组都参加的人数被计算了两次。

所以这样计算：

25+35-45=15人

对应练习

1、40人参加数学测试，答对1题的有30人，答对2题的有21人，两题都答对的有15人，两题都没有答对的有多少人？

2、某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，三项都会的至少有多少人？

3、某班再一次测验中有26人语文得优，有30人数学得优，其中语文数学双优的12人，另外还有8人语文，数学均未得优，这个班共有学生多少人？

第十一讲：

《圆柱和圆锥》

例题解析：

例题：

一只9分米的无盖圆柱型铁桶，体面底面周长1.57米，做这只桶需要多少铁皮？

思路分析：

这是一只无盖的圆柱铁桶，因此，求做这只桶需要多少铁皮只要求这只桶的侧面积和底面积，题目中已经告诉我们圆柱的底面周长和高，直接用底面周长乘高就可以求出侧面积。

再求底面积，题目中没有直接告诉我们底面半径，已知的是底面周长，先要根据底面周长，求出底面半径，再求底面积，最后用侧面积加上一个底面积就是做这只桶需要的铁皮数。

对应练习

1、把一段长30分米的圆柱形木头沿底面直径剖成相同的两块，表面积增加了360平方分米，原来这段圆柱形木头的表面积是

多少平方分米？

2、下图是个柱体，高30厘米，底面是一个半径为10厘米的圆心角为270的扇形。

求这个柱体的表面积和体积。

3、一个圆柱和一个圆锥的体积和高都相等，已知圆柱的底面周长是12.56米，求圆锥的底面积是多少？

4、一块长方形铁皮长24厘米，四角各剪去一个边长3厘米的正方形后，通过折叠焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。

求原来长方形铁皮的面积

5、有两个水桶，小水桶能盛水4千克，大水桶能盛水11千克。

不用秤称，应该怎样使用这两个水桶盛出5千克水来？

第十二讲：

和差倍问题

例题解析：

例题：

甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

分析与解答:

上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。

解：

①乙班的本数：

80÷（3-1）=40（本）

②甲班的本数：

40×3=120（本）

或40＋80=120（本）。

验算：

120-40＝80（本）

120÷40=3（倍）

答：

甲班有图书120本，乙班有图书40本。

对应练习：

1、某车间共有工人77名，其中女工人数比徒工人数的2倍还多4人，男工人数比徒工和女工人数之和的2倍少7人，问：

这个车间徒工，女工，男工各多少人？

2、四年级甲班为筹办红领巾图书室号召同学捐送书籍，共收到科技书和故事书320笨，其中科技书是故事书的3倍，四年级甲班同学捐送的科技书和故事书各是多少本？

3、在书架上摆放着三层书共275本，第三层比第二层的书的3倍多2本，第一层比第二层的2倍少3本，三层上个摆放着多少本书？

4、甲、乙两个仓库共有大米80吨。

如果从甲仓库调15吨大米到乙仓库，两个仓库的大米正好相等。

求原来两个仓库各有大米多少吨？

5、两筐水果共重50千克，如果从第一筐取出5千克放入第二筐中，那么第一筐还比第二筐多4千克。

两筐原有水果各多少千克？

第十三讲：

列方程解应用题

例题解析：

例题：

3年前爸爸的岁数是小强的5倍，今年爸爸43岁。

小强今年多少岁？

思路分析：

先求出3年前爸爸的岁数。

要设小强三年前的岁数为未知数。

学生弄清原因。

设小强三年前X岁

5X-X=43-3

X=10

小强今年10+3=13（岁）

对应练习：

1、甲、乙两数的和是148，甲数比乙数的2倍多4，求甲、乙两个数各是多少？

2、人民大道小学六

（1）班的同学合买一件生日礼物送给班主任。

如果每人出8元，就多84元，如果每人出6元，那么就少12元，人民大道小学六

（1）班有多少名学生？

3、小华从家走到学校，又从学校原路回到家里，共用了52分钟，去时每分钟走70米，回来时每分钟走60米。

他家到学校有多远

第十四讲：

相遇问题

例题解析：

例题：

小红每分钟走60米，小芳每分钟走40米，3分钟后两人在校门口相遇，两家相距多少米？

例题解析：

第一种方法是先分别求出每人所走的路程，再加起来。

40×3+60×3

第二种方法是先求出两人每分钟所走的路程的和（速度和），再乘以两人同时走的时间3分钟。

（40+60）×3

从算式来看之，两个算式之间恰好符合乘法分配律。

计算的方法不同，但结果相同，第二种方法简便。

对应练习：

1、两辆轮船现时从天津和上海相对开出，25小时两船相遇。

天津到上海的航线长多少千米？

2、小明和小芳同时从自己家出发相向而行，小明每分钟走42米，小芳每分钟走48米。

经过4分钟两人在学校相遇，两家相距多少米？

第十五讲：

简算与巧算

例题解析：

计算1-2+3-4+5-6+…-2004+2005。

解法一：

观察算式特点：

题中一共有2005个数字，去掉第一个数字1，后面是2004个连续自然数加减交错进行。

相邻两步计算，如“-2+3”、“-4+5”等等，就相当于加1。

根据题中相邻两步计算的结果，可以使用结合律解题。

1-2+3-4+5-6+…-2004+2005

=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）…+（2005-2004）

=1+1×（2004÷2）

=1+1002

=1003

解法二：

题中一共有2005个连续自然数，加减运算交错进行。

可以先带符号移动，把题目转化为下面第一步计算后的形式，再使用结合律解题。

1-2+3-4+5-6+…-2004+2005

=2005-2004+2003-2002+2001-2000+…-2+1

=（2005-2004）+（2003-2002）+（2001-2000）+…+（3-2）+1

=1×（2004÷2）+1

=1002+1

=1003

对应练习：

52.8-2.65+47.2-7.3568.3-（24.2-11.7）

0.23×10.27.5×99.8327×2.8+17.3×28

38.6-8.3+11.4-1.764×12.5×0.25×0.05

20.36-7.98-5.02-4.36-2.17.85-（2.31+2.85+0.69）

327×2.8+17.3×285.75÷1.25÷0.4÷2