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1、思维训练数学思维训练第一讲：数学小知识1、 分数的资料：早在人类文化发展的初期，由于度量和均分的实际需要，就引入并使用分数，我国古代把分数叫做“命分”。人类认识分数，也经历了一个漫长的历史过程，开始只使用具体的分数，如一半、一半的一半多，后来逐渐出现三分之一、三分之二等分数，最初分数的表示法跟现在不一样，例如没有分数线，阿拉伯人发明了分数线。我国最早的数学著作周髀算经记载了分数算法，我国古代另一部著作九章算术里面，已经有完整的分数四则运算2、 集合思想：一年级在学习认数和分类知识中，已经有所接触，高年级的公因数和公倍数、三角形和四边形的分类，数的分类（正数、0、负数）3、指南针是用来指示方向的

2、，早在2000年前，我们的祖先就先用磁石制作了指示方向的仪器司南，后来又发明了罗盘，指南针是我国古代四大发明（造纸术、印刷术、火药、指南针）之一。4、除号“”是三百多年前一个瑞士人首先使用的，用一条横线把两个圆点分开，恰好表示了平均分的意思。5、我们居住的地球总是绕着太阳旋转的。地球绕太阳转一圈需要365天5时48分46秒。为了方便，将一年定为365天，叫做平年。这样，每过4年差不多就要多出1天来，把这1天加在2月里，这一年就有366天，叫做闰年。我国古代就知道一年有365天零 天。地球在绕太阳转的同时，自己还不停的旋转。地球自己旋转一圈的时间就定为一日。一日是24时6、 早在2000多年前，

3、我国劳动人民就会计算土地的面积。当时用亩做单位。先用走步量出长方形土地的长和宽的步数（一步=5尺），计算出它们的积，然后除以240，就得亩数。亩这个单位现在已经废除，一亩约等于667平方米。7、 我国古代用小棒表示小数，就把小数点后面的数放低一格。例如。把3.12摆成 ，这是世界上最早的小数表示方法。在西方，小数出现很晚。最早使用小圆点作为小数点的是德国数学家克拉维斯。现在，有一部分国家用小圆点“。”表示小数点，还有一部分国家用逗号“，”表示小数点。8、 大约在3世纪时，印度人发明了一种特殊的数字，大约12世纪时，阿拉伯人把印度数字带到欧洲。欧洲人称它们为“阿拉伯数字”第二讲：数学小知识9、

4、求近似数的方法：1四舍五入法 2进一法 3去尾法10、 莫比乌斯带又叫莫比乌斯圈，是德国数学家莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现的，它属于拓扑学的内容。它在生活中和生产中都有应用。例如，机器上的传动带就可以做出“莫比乌斯带”状，这样传动带就不会只磨损一面了。11、 “规”和“矩”是我国古代劳动人民创造和使用的两种测量和画图的工具。规是用来画圆的，相当于现在的圆规；矩是用来画长方形、正方形、直角等工具，相当于现在的角尺。公元前2000年（大禹治水年代），我国劳动人民就开始使用规和矩这些工具了。12、 人们经过研究发现，长和宽的比大约是1：0.618的长方形看起来美观、漂亮。这个比叫做

5、黄金比，这样的长方形被称为黄金矩形。黄金比被广泛应用于绘画、摄影、建筑等许多领域中，为我们的生活创造了美。13、 中华人民共和国国旗长和宽的比是3：214、 最早研究圆的周长与直径关系的数学家是刘徽15、 约2000年前，在中国古代的数学著作周髀算经中就有“周三径一”的说法，约1500年前，中国的一位伟大的科学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926.1415927之间，他用两个分数（ ）与（ ）近似表示圆周率。成为世界上第一次把圆周率的值精确到7位小数的人。他的这项伟大成就比欧洲数学家的计算结果至少要早1000年。现在人们已经能用计算器算出圆周率的小数点后面上亿位。16、早在三千六百多年前

6、，埃及人就会用方程解决数学问题了。在我国古代，大约两千年前成书的九章算术中，就记载了用一组方程解决实际问题的史料。一直到三百多年前，法国的数学家笛卡儿第一个提倡用x、y、z等字母代表未知数，才形成了现在的方程。第三讲：数学小知识17、大约在两千年前，我国数学名著九章算术中的“方天章”就论述了平面图形面积的算法。书中说：“方田数曰，广从步数相乘得积步。”其中“方田”是指长方形田地，“广”和“从”是指长和宽。也就是说：长方形面积=长宽。还说：“圭田术曰，半广以乘正从。”就是说：三角形面积=底高2。18、我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平行四边形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，

7、而面积保持不变。来计算出它的面积。19、完全数：6的因数有1,2,3,6，这几个因数的关系是：1+2+3=6.像6这样的数，叫做完全数（也叫做完美数）。28也是完全数，而8则不是，因为1+2+48.完全数非常稀少，到2013年，人们在无穷无尽的自然数里，一共找出了48个完全数，其中较小的有6,28,496,8128等。20、两人一组，一人给出大于2的偶数，另一人找出和为此数的两个质数。从上面的游戏我们看到：4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=7+3,12=7+5,14=11+3那么，是不是所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和呢？这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，所以被称作哥德

8、巴赫猜想。哥德巴赫猜想看似简单，要证明却非常困难，成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。世界各国的数学家都想攻克这一难题，但至今还未解决。我国数学家陈景润在这一领域取得了举世瞩目的成果。21、几何学和欧几里得：几何学是数学学科的一个重要分支，它源于土地测量等实际需要。古希腊数学家欧几里得被称为“几何之父”，他的著作原本在数学发展史上有着深远的影响。该书从17世纪初开始传入我国。22、人们很早就得出了长方体、圆柱等形体的体积计算公式。因为它们是河堤、谷仓等的常见形状，而且还有计算体积的需要。我国古代数学名著九章算术中，集中而正确地给出了立体图形的体积计算公式。书中在求底面是正方形

9、的长方体体积时，是这样说的：“方自乘，以高乘之即积尺。”就是说先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积。23、化简一个分数时，用2约了两次，用3约了一次，得 。原来的分数是多少？24、我国古代的数学著作九章算术就介绍了“约分术”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”意思是说：如果分子、分母全是偶数，就先除以2；否则以较大的数减去较小的数，把所得到的差与上一步中的减数比较，并再以大数减去小数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，用这个等数约分。这种方法被后人称为“更相减损术”。第四讲：一般应用题（一）例题解析：例题：有两筐苹

10、果，甲筐重42千克，乙筐重36千克。从甲筐中取出多少千克苹果放入乙筐，才能使两筐苹果重量相等？思路分析：由条件可知，甲筐比乙筐多42-36=6（千克）。要使两筐的重量相等，只要把甲筐比乙筐多的6千克平均分成两份，取其中的1份放入乙筐中就行了。所以从甲筐中取62=3（千克）放入乙筐，才能使两筐的苹果重量相等。解：（42-36）2=3（千克）答：从甲筐中取出3千克放入乙筐，才能使两筐苹果的重量相等。对应练习1、妈妈去买水果，她所带的钱正好能买18千克苹果或25千克梨。已知每千克梨比每千克苹果便宜0.7元，妈妈一共带了多少钱？2、光华机械厂加工2100个零件，计划平均每天加工75个，6天后改进了技术

11、，平均每天加工150个。这样完成这批零件共需几天？3、加工一批零件，师傅单独做需要10小时，徒弟单独做需要15小时，已知师傅比徒弟多加工了20个。问师徒两人共同加工这批零件需要几小时？第五讲：一般应用题（二）例题解析：例题： 甲组的图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。原来甲组有图书多少本？思路分析：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应地也拿出63=18本，则甲组仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没拿出18本，反而接受了乙组的6本，（18+6）就正好对应着后来乙组的（5-3）倍。因此，后来乙组有图书（18+6）（5-3）=12（本），乙组原来有12+6=18本，

12、甲组原来有183=54本。解：（63+6）（5-3）=12本（12+6）3=54本答：原来甲组有图书54本。对应练习1、有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。已知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克。甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克？第六讲：做图法解应用题例题解析：例题：两个数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数之和等于415，则余数是多少？思路分析：根据题意：被除数除数=48，那么，根据除法各部分之间的关系。被除数=除数4+8，被除数是除数的4倍还多8，就可以用线段图表示出它们之间的关系，如果把除数设为X,则被除数是4X+8.解法一：设除数为X,，则被除数4X

13、+8.，列方程得：X+4X+8+4+8=415 X=79解法二：用算术方法解 （415-8-4-8）（1+4） =3955 79 答：除数是79.对应练习：1、 两个数相除，商4余1，被除数、除数、商和余数的和是156，除数是多少？2、一个长方形如果宽不变，长增加6米，面积就增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，面积就增加24平方米，这个长方形原来有多少平方米？变式练习1、五（1）班的男生人数和女生人数同样多，选派18名男生和26名女生参加实践活动，剩下的男生是女生的3倍。五（1）班原来有男女生各多少人？第七讲：排列与组合例题解析：例题：有三张数字卡片，分别0、1、2。从中挑出两张排成一个两

14、位数，一共可以排成多少个两位数？思路分析：排列时要注意“0”不能排在最高位。（1）个位数排1，个位数有两个数字可选，这样的数共有两个10、12.（2）个位上排2，个位上也有两个数字可选，这样的数字也有两个，20、21.从以上列举容易发现，一共可以排成22=4（个）两位数。对应练习：1、在一次羽毛球比赛中：（1）5个队进行单循环赛，需比赛多少场？（每两个队之间比赛1次称为1场）（2）40名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军，共要打几场球？2、用数字0、5、8、9可以组成多少个没有重复数字的四位数？第八讲：数的整除例题解析：例题：最高上数字是1，并且能同时被2、3、5整除的最小四位数是多少？思路分析：

15、能同时被2、5整除，个位上数字只能为0，为使这四位数最小，百位数字取0，进而由3的倍数的特征知十位数字为2、5、8，从而最小四位数是1020.对应练习1、用一个数去除35、98、112都能整除，这个数最大是多少？2、一个数用12、18、30除都能整除，这个数最小是多少？3、一张长方形纸长60厘米，宽45厘米，把它剪成若干个同样大的正方形，使边长是整厘米数且不能有剩余，最少能剪多少个？变式练习1、一个两位数，被9除余7，被7除余5，被3除余1，求这个两位数。第九讲：长方体和正方体例题解析：例题：有甲、乙两个长方体容器，甲长10厘米。宽8厘米，高5厘米；乙长5厘米，宽4厘米，高6厘米。现在甲容器中

16、装满水，而乙容器是空的。要将甲容器中的一部分水倒入乙容器中，使得甲、乙两容器中的水一样深，这时，两容器中的水深多少厘米？思路分析：原来甲容器中的水一共是1085=400（立方厘米）。而此时两容器的底面积和是108+54=100（平方厘米），我们用体积除以底面积和就可以得到此时的水深。解：1085（108+54）=4厘米答：这时，两容器中的水深4厘米。对应练习1、一个长方体的底面是边长为5厘米的正方形，它的侧面积是160平方厘米，它的体积是多少立方厘米？2、一个长方体，如果高增加2厘米，就变成一个正方体，这时便面积比原来增加56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？（180页图）第十讲：包含

17、与排除问题例题解析：例题：一个班有学生45人，参加语文小组的有25人，参加数学小组的有35人，并且每人至少参加一个小组，这个班两个小组都参加的有多少人？语文数学解析：如图，左边的椭圆表示参加语文小组的人数，右边的椭圆表示参加数学小组的人数，两个椭圆重叠部分表示两个组都参加的人数，如果我们把25+35合起来，总数就是60人，这样就比班级总人数多了15人，问什么会这样呢？就是因为两个小组都参加的人数被计算了两次。所以这样计算：25+35-45=15人对应练习1、40人参加数学测试，答对1题的有30人，答对2题的有21人，两题都答对的有15人，两题都没有答对的有多少人？2、某班有52人，其中会下棋的

18、有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，三项都会的至少有多少人？3、某班再一次测验中有26人语文得优，有30人数学得优，其中语文数学双优的12人，另外还有8人语文，数学均未得优，这个班共有学生多少人？第十一讲：圆柱和圆锥例题解析：例题：一只9分米的无盖圆柱型铁桶，体面底面周长1.57米，做这只桶需要多少铁皮？思路分析：这是一只无盖的圆柱铁桶，因此，求做这只桶需要多少铁皮只要求这只桶的侧面积和底面积，题目中已经告诉我们圆柱的底面周长和高，直接用底面周长乘高就可以求出侧面积。再求底面积，题目中没有直接告诉我们底面半径，已知的是底面周长，先要根据底面周长，求出底面半径，再求底面积，最后用侧面积

19、加上一个底面积就是做这只桶需要的铁皮数。对应练习1、把一段长30分米的圆柱形木头沿底面直径剖成相同的两块，表面积增加了360平方分米，原来这段圆柱形木头的表面积是多少平方分米？2、 下图是个柱体，高30厘米，底面是一个半径为10厘米的圆心角为270 的扇形。求这个柱体的表面积和体积。3、 一个圆柱和一个圆锥的体积和高都相等，已知圆柱的底面周长是12.56米，求圆锥的底面积是多少？4、一块长方形铁皮长24厘米，四角各剪去一个边长3厘米的正方形后，通过折叠焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。求原来长方形铁皮的面积5、有两个水桶，小水桶能盛水4千克，大水桶能盛水11千克。不用

20、秤称，应该怎样使用这两个水桶盛出5千克水来？第十二讲：和差倍问题例题解析：例题：甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析与解答: 上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍， 那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。解：乙班的本数： 80（3-1）=40（本） 甲班的本数： 403=120（本） 或4080=120（本）。 验算：120-4080（本） 12040=3（倍） 答：甲班有图书120本，

21、乙班有图书40本。 对应练习：1、 某车间共有工人77名，其中女工人数比徒工人数的2倍还多4人，男工人数比徒工和女工人数之和的2倍少7人，问：这个车间徒工，女工，男工各多少人？ 2、 四年级甲班为筹办红领巾图书室号召同学捐送书籍，共收到科技书和故事书320笨，其中科技书是故事书的3倍，四年级甲班同学捐送的科技书和故事书各是多少本？ 3、 在书架上摆放着三层书共275本，第三层比第二层的书的3倍多2本，第一层比第二层的2倍少3本，三层上个摆放着多少本书？ 4、甲、乙两个仓库共有大米80吨。如果从甲仓库调15吨大米到乙仓库，两个仓库的大米正好相等。求原来两个仓库各有大米多少吨？ 5、 两筐水果共重

22、50千克，如果从第一筐取出5千克放入第二筐中，那么第一筐还比第二筐多4千克。两筐原有水果各多少千克？ 第十三讲：列方程解应用题例题解析：例题：3年前爸爸的岁数是小强的5倍，今年爸爸43岁。小强今年多少岁？思路分析：先求出3年前爸爸的岁数。要设小强三年前的岁数为未知数。学生弄清原因。设小强三年前X岁5X-X=43-3X=10小强今年10+3=13（岁）对应练习：1、 甲、乙两数的和是148，甲数比乙数的2倍多4，求甲、乙两个数各是多少？2、 人民大道小学六（1）班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出8元，就多84元，如果每人出6元，那么就少12元，人民大道小学六（1）班有多少名学生？3、

23、 小华从家走到学校，又从学校原路回到家里，共用了52分钟，去时每分钟走70米，回来时每分钟走60米。他家到学校有多远第十四讲：相遇问题例题解析：例题：小红每分钟走60米，小芳每分钟走40米，3分钟后两人在校门口相遇，两家相距多少米？例题解析：第一种方法是先分别求出每人所走的路程，再加起来。403+603第二种方法是先求出两人每分钟所走的路程的和（速度和），再乘以两人同时走的时间3分钟。（40+60）3从算式来看之，两个算式之间恰好符合乘法分配律。计算的方法不同，但结果相同，第二种方法简便。对应练习：1、两辆轮船现时从天津和上海相对开出，25小时两船相遇。天津到上海的航线长多少千米？2、小明和小

24、芳同时从自己家出发相向而行，小明每分钟走42米，小芳每分钟走48米。经过4分钟两人在学校相遇，两家相距多少米？第十五讲：简算与巧算例题解析：计算1-2+3-4+5-6+-2004+2005。 解法一：观察算式特点：题中一共有2005个数字，去掉第一个数字1，后面是2004个连续自然数加减交错进行。相邻两步计算，如“-2+3”、“ -4+5”等等，就相当于加1。根据题中相邻两步计算的结果，可以使用结合律解题。1-2+3-4+5-6+-2004+2005=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（2005-2004）=1+1（20042）=1+1002=1003解法二：题中一共有2005个连续自然

25、数，加减运算交错进行。可以先带符号移动，把题目转化为下面第一步计算后的形式，再使用结合律解题。1-2+3-4+5-6+-2004+2005=2005-2004+2003-2002+2001-2000+-2+1=（2005-2004）+（2003-2002）+（2001-2000）+（3-2）+1=1（20042）+1=1002+1=1003对应练习：52.8-2.65+47.2-7.35 68.3-（24.2-11.7） 0.2310.2 7.599.8 3272.8+17.32838.6-8.3+11.4-1.7 6412.50.250.0520.36-7.98-5.02-4.36-2.1 7.85-（2.31+2.85+0.69） 3272.8+17.328 5.751.250.42