数学《等差数列》教学设计.docx

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数学《等差数列》教学设计

数学《等差数列》教学设计

【教学目标】

1.知识与技能

（1）理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列：

（2）账务等差数列的通项公式及其推导过程：

（3）会应用等差数列通项公式解决简单问题。

2.过程与方法

在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。

3.情感、态度与价值观

通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。

在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。

【教学重点】

①等差数列的概念； ②等差数列的通项公式

【教学难点】

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义； ②等差数列的通项公式的推导过程.

【学情分析】

我所教学的学生是我校高一（7）班的学生（平行班学生），经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展.

【设计思路】

1.教法

①启发引导法：

这种方法有利于学生对知识进行主动建构； 有利于突出重点，突破难点； 有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性.

②分组讨论法：

有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性.

③讲练结合法：

可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点.

2.学法

引导学生首先从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念； 接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式； 可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法.

【教学过程】

一：

创设情境，引入新课

1.从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么

2.水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位：

m）组成一个什么数列

3.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：

本利和=本金某（1+利率某存期）.按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：

元）组成一个什么数列

教师：

以上三个问题中的数蕴涵着三列数.

学生：

1：

0，5，10，15，20，25，….

2：

18，15.5，13，10.5，8，5.5.

3:

10072，10144，10216，10288，10360.

（设置意图：

从实例引入，实质是给出了等差数列的现实背景，目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.通过分析，由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力.

二：

观察归纳，形成定义

①0，5，10，15，20，25，….

②18，15.5，13，10.5，8，5.5.

③10072，10144，10216，10288，10360.

思考1上述数列有什么共同特点

思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗

思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗

教师：

引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念.

学生：

分组讨论，可能会有不同的答案：

前数和后数的差符合一定规律； 这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定.

教师引导归纳出：

等差数列的定义； 另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义.

（设计意图：

通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性； 使学生体会到等差数列的规律和共同特点； 一开始抓住：

“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达.）

三：

举一反三，巩固定义

1.判定下列数列是否为等差数列若是，指出公差d.

（1）1，1，1，1，1；

（2）1，0，1，0，1；

（3）2，1，0，-1，-2；

（4）4，7，10，13，16.

教师出示题目，学生思考回答.教师订正并强调求公差应注意的问题.

注意：

公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.

（设计意图：

强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用）.

2思考4:

设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗为什么

（设计意图：

强化等差数列的证明定义法）

四：

利用定义，导出通项

1.已知等差数列：

8，5，2，…，求第200项

2.已知一个等差数列{an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢

教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示.根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法； 让学生初步尝试处理数列问题的常用方法.

（设计意图：

引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力.学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识.鼓励学生自主解答，培养学生运算能力）

五：

应用通项，解决问题

1判断100是不是等差数列2，9，16，…的项如果是，是第几项

2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

3求等差数列3，7，11，…的第4项和第10项

教师：

给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况.

学生：

教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：

已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式

六：

反馈练习：

教材13页练习1

七：

归纳总结：

1.一个定义：

等差数列的定义及定义表达式

2.一个公式：

等差数列的通项公式

3.二个应用：

定义和通项公式的应用

教师：

让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充

【设计反思】

本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣.在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率.

[教学目标]

1.知识与技能目标：

掌握等差数列的概念； 理解等差数列的通项公式的推导过程； 了解等差数列的函数特征； 能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。

2.过程与方法目标：

让学生亲身经历“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。

通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：

通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神； 使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。

[教学重难点]感

1.教学重点：

等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用。

2.教学难点：

（1）对等差数列中“等差”两字的把握；

（2）等差数列通项公式的推导。

[教学过程]

一.课题引入

创设情境引入课题：

（这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子）

（1）、在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：

1682，1758，1834，1910，1986，（）

你能预测出下次观测到哈雷慧星的大致时间吗判断的依据是什么呢

（2）、通常情况下，从地面到11km的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。

思考:

依据前面的规律，填写（3）、（4）:

（3）1，4，7，10，（），16，…

（4）2，0，-2，-4，-6，（），…

它们共同的规律是

从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。

我们把有这一特点的数列叫做等差数列。

二、新课探究

（一）等差数列的定义

1、等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

（1）定义中的关健词有哪些

（2）公差d是哪两个数的差

2、等差数列定义的数学表达式：

试一试：

它们是等差数列吗

（1）1，3，5，7，9，2，4，6，8，10…

（2）5，5，5，5，5，5，…

（3）-1，-3，-5，-7，-9，…

（4）数列{an}，若an+1-an=3

3、等差中顶定义

在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：

（1）、2，（），4

（2）、-12，（），0（3）a，（），b

如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。

（二）等差数列的通项公式

探究1:

等差数列的通项公式（求法一）

如果等差数列首项是，公差是，那么这个等差数列如何表示呢

根据等差数列的定义可得：

所以：

由此得，

因此等差数列的通项公式就是:

，

探究2:

等差数列的通项公式（求法二）

根据等差数列的定义可得：

……

将以上-1个式子相加得等差数列的通项公式就是:

，

三、应用与探索

例1、

（1）求等差数列8，5，2，…，的第20项。

（2）等差数列-5，-9，-13，…，的第几项是–401

（2）、分析：

要判断-401是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得成立，实质上是要求方程的正整数解。

例2、在等差数列中，已知=10，=31，求首项与公差d.

解：

由，得。

在应用等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d过程中，对an，a1，n，d这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量，这是一种方程的思想。

巩固练习

1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a=（）。

A.1B.-1C.-2D.2

2.一张梯子一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。

求公差d。

四、小结

1.等差数列的通项公式:

公差；

2.等差数列的计算问题，通常知道其中三个量就可以利用通项公式an=a1+（n-1）d，求余下的一个量；

3.判断一个数列是否为等差数列只需看是否为常数即可；

4.利用从特殊到一般的思维去发现数学系规律或解决数学问题.

五、作业：

1、必做题：

课本第40页习题2.2第1，3，5题

2、选做题：

如何以最快的速度求：

1+2+3+•••+100=

读一下完全没有损失。