高考数学思想方法策略专题数学解题方法之特殊证法.docx

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高考数学思想方法策略专题数学解题方法之特殊证法

高三数学思想、方法、策略专题

—数学解题方法之特殊证法

一．知识探究：

1．定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解决问题。

数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。

定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。

简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。

用定义法解题，是最直接的方法。

2．反证法

反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：

肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

反证法的实质：

“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。

即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。

应用反证法证明的主要三步是：

否定结论→推导出矛盾→结论成立。

实施的具体步骤是：

第一步，反设：

作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：

将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：

说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

一般来讲，反证法常用来证明的题型有：

命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。

具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

3．数学归纳法

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。

它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1（或n

）时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。

这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”。

由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。

运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。

运用数学归纳法，可以证明下列问题：

与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

4．不等式的证明方法

（1）比较法是证明不等式最基本、最常用、最重要的方法之一。

它包括“作差法”与“作商法”，比差法的理论依据是

比商法的理论依据是a，b∈R＋，那么

判断a，b的大小，当a，b∈R时，可以通过判断a－b与0的大小来完成。

当a，b∈R＋时，可以通过判断与1的大小来完成。

比较法这种方法其本质就在于单独讨论“a，b”不等式难以证明时，就“a－b，”整体讨论，使问题迁移“环境”，给问题带来新的结构。

对a－b，变形后与0，1的比较提供可能，这种变形后的式子结构“a－b，”能够和“0，1”比较大小是比较法的精髓。

作差法中，对差“a－b”的变形方法通常有通分、配方（非负数）、因式分解、二次函数的判别式等。

作商法的一般步骤是，求商变形判断与1的大小。

方法的选择：

若不等式两边含有相同的项，或者作差以后能进行因式分解；能用配方法，能写成分式判断其符号，可使用作差法。

若不等式两边是指数形式，能使分子、分母变形得到相同结果的不等式，用作商法比较容易，也就是说，凡适合于求“商”运算，并能比较出商与1的大小的不等式，一般都适合于用作商法证明。

（2）综合法

综合法就是由已知出发，根据不等式性质，基本不等式等，逐步推导得到所要证明的不等式的一种方法，也就是用因果关系书写“从已知出发”借助不等式性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证不等式得证的全过程，其特点可描述为“执因索果”，即从“已知”看“可知”逐步推向“未知”，综合法证明题逻辑性很强，它要求每步推理都要有依据。

（3）分析法

证明不等式，可以从待证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化成为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能断定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法。

分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，概括地说就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知”。

分析法证明“若A则B”的基本模式是

欲证B为真

只需证B1为真

只需证B2为真

…………

只需证A为真，

今已知A为真，故B必真

其逻辑关系是

（4）放缩法

在证明不等式A＞B时，可以构造出数学式C，使A＞C，且C＞B，则A＞B得证。

其中数学式C常常通过将A缩小或将B放大而构成，它的依据是不等式的传递性，这种证明方法叫做放缩法，用放缩法证明不等式，在高中数学中占有一定的比重。

二．命题趋势

近几年的高考虽然削弱了在不等式证明方面的要求，但像立体几何中位置关系的认定，数列关系式的认可以及解析几何性质的证明都是频频出现的考试形式。

在高考中所占的分值大约在30分左右。

这类考题的特点是：

（1）立体几何证明多以线、面间垂直或平行关系的证明为主，解决此类问题的思路是应用好在该部分学习的判定定理和性质定理即可；

（2）数列题可能是与等差等比数列定义或性质有关的结论的证明问题（譬如证明数列是否为等差或等比数列，这类题目要应用好定义和性质公式，技巧性很强）、也可能是复合不等式知识的或单纯等式形式的与自然数有关的结论的证明问题（解题思路是可能应用数学归纳法或放缩法）；

（3）解析几何中的解答题经常与平面几何图形相结合，经常判断一些位置关系，此类题目的证明多要结合几何特征，应用好代数关系式说明；

预测高考的趋势为：

题型、题量以及出题点还和往年一样，基本保持不变；

三．例题点评

题型1：

定义法

例1．（06湖南卷）如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4，证明PQ⊥平面ABCD。

证明1：

连结AC、BD，设.由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD。

证明2：

取AD的中点M，连结PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM.从而AD⊥平面PQM。

又平面PQM，所以PQ⊥AD。

同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。

点评：

空间几何体内的点线面的位置关系的认识是解题的关键，同时我们学习过的定理、定义要能够巧妙的应用好。

例2．（06福建卷）已知数列满足

（I）证明：

数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（II）若数列满足证明是等差数列。

解析：

（I）证明：

是以为首项，2为公比的等比数列。

（II）解：

由（I）得

（III）证明：

　　　　　　　　①

　　②

②－①，得即③

④

④－③，得

即是等差数列。

点评：

本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查如何根据数列的概念判断结论。

题型2：

反证法

例3．设是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。

证明：

假设是等比数列，则有。

又设的公比分别是p、q，

即

，即

，这与题设的公比不相等矛盾，故数列不是等比数列。

点评：

本题证明推出的结果是与题设矛盾。

S

C

AO

B

例4．如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。

求证：

AC与平面SOB不垂直。

分析：

结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。

证明：

假设AC⊥平面SOB，∵直线SO在平面SOB内，∴AC⊥SO；

∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB，∴SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圆O，

这显然出现矛盾，所以假设不成立。

即AC与平面SOB不垂直。

点评：

否定性的问题常用反证法。

例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。

题型3：

数学归纳法

例5．（06全国II）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…，（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式。

解析：

（Ⅰ）当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，

于是（a1－1）2－a1（a1－1）－a1＝0，解得a1＝．

当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，

于是（a2－）2－a2（a2－）－a2＝0，解得a1＝．

（Ⅱ）由题设（Sn－1）2－an（Sn－1）－an＝0，　Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　①

由（Ⅰ）知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝。

由①可得S3＝。

由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…。

下面用数学归纳法证明这个结论．

（i）n＝1时已知结论成立．

（ii）假设n＝k时结论成立，即Sk＝，

当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，

故n＝k＋1时结论也成立．

综上，由（i）、（ii）可知Sn＝对所有正整数n都成立。

于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，

又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…。

点评：

本题看起来与函数并无关系，但推证时，，利用性质，才使得的假设条件得以应用，从而突破了难关。

以下只要目标明确，分析变形即可

例6．（2004年辽宁卷）已知函数，设，，，证明。

证明：

（1）当时，由题设，又，

所以成立。

当时，。

而，

所以，不等式也成立。

（2）假设时，不等式成立，而，的对称轴是，则f（x）在上是增函数。

由

得

即

注意到结论右边的目标式，凑式变形，有

可见时，不等式也成立。

由

（1）和

（2）知，时，恒成立。

点评：

上述证明中，把数列值的大小变化与函数值的大小联系起来，再用函数的单调性渡过关卡，充分体现了数列与函数的紧密关系。

实际上，数列就是函数的特例。

另外，上面第一步中，验证后，又验证，是为了能够对假设应用上函数的单调性，而之后的变形，只要明确目标式，就顺理成章了。

题型4：

放缩法在证明不等式中的妙用

例7．（06江西）已知数列｛an｝满足：

a1＝，且an＝

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）证明：

对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！

。

解析：

（1）将条件变为：

1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，

从而1－＝，据此得an＝（n1）…………1

（2）证：

据1得，a1a2…an＝

为证a1a2……an2n！

只要证nN时有…………2

显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN，有

1－（）…………3

用数学归纳法证明3式：

（i）n＝1时，3式显然成立，

（ii）设n＝k时，3式成立，

即1－（）

则当n＝k＋1时，

〔1－（）〕（）

＝1－（）－＋（）

1－（＋）即当n＝k＋1时，3式也成立。

故对一切nN，3式都成立。

利用3得，1－（）＝1－＝1－

故2式成立，从而结论成立。

点评：

有效的放缩可把要证明的问题简化，可起到事半功倍的效果，但这类问题技巧性比较强。

例8．

（1）已知△ABC的三边长为a、b、c，求证：

证明：

由，

及余弦定理有：

，

∴，同理可得：

，

∴。

（2）设a，b，c，d都是正数，ab＋bc＋ca＝1，证明：

。

证明：

，

∴，当且仅当时取等号。

点评：

综上可知，用扩大或缩小分式的分母或分子的方法，用添项或合项的方法，用某些函数的单调性和函数值的有界性等方法进行放缩来推理有关不等式，都是一些常用的放缩手段，难点在于放缩程序的调控，应多思、多想、多练、多总结。

题型5：

典例不等式证明

例9．若，，求证：

，。

证法一：

综合法

又

证法二：

换元法、判别式法

设为方程的两根，则

（2）

将

（2）代入

（1），得，即，

，即

由，得

又

，即

。

点评：

换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。

如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。

证法三：

放缩法

于是有

从而

所以

（下略）。

点评：

放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。

证法四：

比较法

，

对任意非负实数，有

，即

（以下略）。

点评：

比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。

证法五：

反证法

假设，则

又

因此，前后矛盾，故。

（以下略）

点评：

有些不等式，如果不易从正面证明，可以考虑反证法。

凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。

四．思维总结

1．反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。

再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。

所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

2．归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。

归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。

不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。

完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。

3．综合法有时正好是分析过程的逆推，证法2虽然用综合法表述，但若不先用分析法思考，显然用综合法是无从下手的，多数情况下综合法的表述正是建立在分析法的基础之上，由此可见分析法这种思想，可以运用到几乎所有问题的解答之中。

分析法的优点是利于思考，它方向明确思路自然，易于掌握，而综合法宜于表述，条理清晰，形式简捷，因而证明不等式时，常用分析法寻找思路，再用综合法来表述。

分析法一般用于“证明不等式，综合法难以实施”的时候。