高二数学等差数列前n项和.ppt

高二数学等差数列前n项和.ppt

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课前热身（3）等差数列的性质等差数列的性质.

（1）等差数列的定义等差数列的定义.一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第第2项项起，每一项与它的前起，每一项与它的前一项的差等于一项的差等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做，那么这个数列就叫做等差数列等差数列

（2）等差数列通项公式等差数列通项公式若若aa、bb、cc成等差数列，则成等差数列，则2b=a+c2b=a+c（引申）若若mm、nn、pp、qqN*N*且且m+n=p+q,m+n=p+q,则则aamm+a+ann=a=app+a+aqq风向标风向标教学目标重点难点教学知识点教学知识点等差数列前n项和公式推导及应用能力训练要求能力训练要求1.理解等差数列前n项和公式推导方法（倒序相加法）2.掌握等差数列前n项和公式3.会用等差数列前n项和公式解决数学问题德育目标德育目标1.提高学生推理能力2.增强学生应用意识重点重点:

等差数列前n项和公式推导及应用难点难点:

灵活运用等差数列前n项和公式解决一些简单的数学问题3.3.1等差数列前n项和著名数学家高斯的一个小故事著名数学家高斯的一个小故事在高斯10岁的时候，他的老师出了一道数学题：

1+2+3+4+100=？

在别的同学都在忙着计算的时候，高斯很快得出了正确答案，你知道高斯是怎么计算的吗？

高斯（Gauss,C.F.,1777年1855年）德国著名数学家高斯的算法其实给出了求等差数列前n项和的方法-倒序相加法设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为SnSn=a1+a2+a3+an-2+an-1+anSn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1两式对应相加得两式对应相加得2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+（an-2+a3）+（an-1+a2）+（an+a1）在等差数列在等差数列an中中,若若m+n=p+q,则则am+an=ap+aq故故a1+an=a2+an-1=a3+an-2=2Sn=n（a1+an）Sn=探究探究等差数列前等差数列前n项和公式项和公式根据下列条件,求出等差数列an的前n项和Sn

（1）a1=5,an=95,n=10

（2）a1=100,d=-2,n=50SSnn=SSnn=na=na11+例例1:

如图如图一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V形架，最下面第一形架，最下面第一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，层放一支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就这样一层一层地往上放。

最上面一层放就这样一层一层地往上放。

最上面一层放120支。

求支。

求这个这个V形架上共放着多少支铅笔？

形架上共放着多少支铅笔？

分析分析：

由题意知，这个V形架上共120层铅笔，各层的铅笔数自下上成等差数列,记为an，a1=1,an=120,n=120,d=1.代入等差数列前n项和公式可求得结果应用提升应用提升解：

依题知，各层铅笔数自下而上成等差数列，设为解：

依题知，各层铅笔数自下而上成等差数列，设为aann则则aa11=1,a=1,ann=120,n=120,d=1=120,n=120,d=1代入公式得代入公式得SSnn=7260答：

这个答：

这个VV形架上共放了形架上共放了72607260支铅笔支铅笔某7天里每天的训练量（单位:

m）是：

这位长跑运动员7天共跑了多少米？

心动不如行动想一想想一想通过文字语言挖掘数学条件是求解应用题的关键，本题重点是通过文字语言挖掘数学条件是求解应用题的关键，本题重点是通过已知条件判断该问题是等差数列问题，由此可确定首项、公差、通过已知条件判断该问题是等差数列问题，由此可确定首项、公差、项数、末项项数、末项等基本量，然后代入相关公式可直接求得等基本量，然后代入相关公式可直接求得。

SSnn=na=na11+例例22:

等差数列-10,-6,-2,2，前多少项和是54?

分析分析:

等差数列首项为-10,前n项和为54,由前几项可知公差为4,依前n项和公式可得关于n的方程,解之可得n.解解:

设等差数列设等差数列an首项首项a1=-10,前前n项和项和Sn=54,公差公差d=4,代入公式得代入公式得-10n+4=54整理得整理得n2-6n-27=0解得解得n1=9n2=-3（舍去）舍去）故该等差数列前故该等差数列前9项和是项和是54.等差数列中由前几项可确定首项、公差，再代入前等差数列中由前几项可确定首项、公差，再代入前n项和公式项和公式第二公式可得关于第二公式可得关于n的二次方程，求解时应注意的二次方程，求解时应注意n为正整数为正整数做一做做一做等差数列5，4，3，2，前多少项和是-30能力能力提升提升SSnn=例例3:

（1）在等差数列an中,已知a3+a99=200.求S101?

（2）在等差数列an中,已知a15+a12+a9+a6=20,求S20?

分析分析:

等差数列中已知某几项和，求前n项和，充分利用通项或等差数列性质（如若m+n=p+q则am+an=ap+aq）进行整体代换解:

（1）a3+a99=200a3+a99=2a1+100d即a1+50d=100S101=101a1+=101（a1+50d）=10100

（2）1+20=6+15=9+12a1+a20=a6+a15=a9+a2又a15+a12+a9+a6=20a1+a20=10S20=100已知等差数列若干项和已知等差数列若干项和,求前求前n项和是常见题型项和是常见题型,方法方法灵活灵活,利用通项公式或等差数列性质进行整体代换是基本利用通项公式或等差数列性质进行整体代换是基本方法方法。

Sn=na1+灵灵活活变变通通

（1）一种求和方法一种求和方法-倒序相加法倒序相加法.

（2）等差数列前等差数列前n项和的两个公式项和的两个公式.（3）已知等差数列中首项、公差、末项、前已知等差数列中首项、公差、末项、前n项和中项和中某几项求他量。

某几项求他量。

在等差数列an中.

（1）已知a2+a5+a12+a15=36求S16.

（2）已知a6=20求S11.做一做做一做练习与作业：

练习与作业：

（1）复习内容：

数列、等差数列定义、数列图象、二次函数图象。

（2）书面作业：

P132习题3.3第1,2,3,4题。

祝你成功祝你成功！