高中数学选修4-4-简单曲线的极坐标方程.ppt

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33、极坐标与直角坐标的互化公式极坐标与直角坐标的互化公式复习复习1、极坐标系的四要素、极坐标系的四要素22、点与其极坐标一一对应的条件、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向及它的正方向。

曲线的极坐标方程一定义：

如果曲线上的点与方程f（,）=0有如下关系（）曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（,）=0；（）以方程f（,）=0的所有解为坐标的点都在曲线上。

则曲线的方程是f（,）=0。

二求曲线的极坐标方程的步骤：

与直角坐标系里的情况一样建系建系（适当的极坐标系）（适当的极坐标系）设点设点（设（设MM（，）为要求方程的曲线上任意一点）为要求方程的曲线上任意一点）列等式（构造列等式（构造，利用三角形边角关系的定理列关于，利用三角形边角关系的定理列关于MM的等式）的等式）将等式坐标化将等式坐标化化简化简（此方程此方程f（,）=0即为曲线的方程）即为曲线的方程）例1.半径为a的圆的圆心坐标为（a,0）（a0），极坐标方程：

xC（a,0）OMA（,）2acosOC（a,0）AxM（,）例例2.已知圆已知圆O的半径为的半径为r，极坐标方程？

，极坐标方程？

xOrMa例例3.半径为半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为（a,/2）（a0）求圆的极坐标方程。

求圆的极坐标方程。

OxMA2asin例例4.如图，半径为如图，半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为a0），圆的极坐标方程，圆的极坐标方程？

xOMA（,）例例5.如图，如图，（1,1），半径为，半径为r圆的极坐标圆的极坐标方程方程？

解解:

设设P（,）为圆周上任意一点为圆周上任意一点,如下图所示如下图所示,在在OCP中中,CP=r,OC=1,OP=.根据余弦定理根据余弦定理,得得CP2=OC2+OP2-2OCOPcos（-1）,即即r2=12+2-21cos（-1）.也就是也就是2-21cos（-1）+（12-r2）=0.即：

即：

2+12-21cos（-1）=r2这就是圆在极坐标系中的一般方程这就是圆在极坐标系中的一般方程.

（1）中心在极点，半径为中心在极点，半径为a；

（2）中心在中心在（a,0），半径为，半径为a；（3）中心在中心在（a,/2），半径为，半径为a；（4）中心在中心在（a,1），半径为，半径为a；（5）中心在中心在（1,1），半径为，半径为r。

a2acos2asin2+12-21cos（-1）=r2圆的几种极坐标方程圆的几种极坐标方程你可以用极坐标方程直接来求吗？

你可以用极坐标方程直接来求吗？

练习21.以极坐标系中的点以极坐标系中的点（1,1）为圆心，为圆心，1为为半径的圆的方程是半径的圆的方程是（）（）A、双曲线、双曲线B、椭圆、椭圆C、抛物线、抛物线D、圆、圆D（）C思考：

思考：

在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中过点过点（3,0）且与且与x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为;过点过点（2,3）且与且与y轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为x=3y=3四四直线的极坐标方程：

直线的极坐标方程：

例例1：

求过极点，倾斜角为求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。

的射线的极坐标方程。

oMx

（2）求过极点，倾斜角为）求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。

的射线的极坐标方程。

（3）求过极点，倾斜角为）求过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程。

的直线的极坐标方程。

和和和前面的直角坐标系里直线方程的表示形和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。

原因在哪？

方便，要用两条射线组合而成。

原因在哪？

为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。

则上面的直线的极坐标方程可取全体实数。

则上面的直线的极坐标方程可以表示为以表示为或或例例2、求过点求过点A（a,0）（a0），且垂直于极轴的直，且垂直于极轴的直线线L的极坐标方程。

（学生们先自己尝试做）的极坐标方程。

（学生们先自己尝试做）解：

如图，建立极坐标系，设点解：

如图，建立极坐标系，设点oxAM在在中有中有即即可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。

的坐标也满足上式。

为直线为直线L上除点上除点A外的任意一点，外的任意一点，连接连接OM交流做题心得归纳解题步骤：

求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；、据题意画出草图；2、设点、设点是直线上任意一点；是直线上任意一点；3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于的方的方程，程，并化简；并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。

、检验并确认所得的方程即为所求。

练习练习1求过点求过点A（a,/2）（a0），且平行于，且平行于极轴的直线极轴的直线L的极坐标方程。

的极坐标方程。

解：

如图，建立极坐标系，解：

如图，建立极坐标系，设点设点为直线为直线L上除点上除点A外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM在在中有中有即即可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。

的坐标也满足上式。

MoxAsinaIOMIsinAMO=IOAI课堂练习课堂练习2设点设点A的极坐标为的极坐标为，直线，直线过点过点解：

如图，建立极坐标系，设点解：

如图，建立极坐标系，设点为直线为直线上异于上异于A点的任意一点，连接点的任意一点，连接OM，在在中，由正弦定理中，由正弦定理得得即即显然显然A点也满足上方程点也满足上方程A且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为,求直线求直线的极坐标方程。

的极坐标方程。

化简得化简得oMxA例例3：

设点设点P的极坐标为的极坐标为，直线，直线过点过点P且与且与极轴所成的角为极轴所成的角为,求直线求直线的极坐标方程。

的极坐标方程。

oxMPA解：

如图，设点解：

如图，设点的任意一点，连接的任意一点，连接OM，则，则为直线上除点为直线上除点P外外由点由点P的极坐标知的极坐标知设直线设直线L与极轴交于点与极轴交于点A。

则在。

则在中中由正弦定理得由正弦定理得显然点显然点P的坐标也是上式的解。

的坐标也是上式的解。

即即练习练习3求过点求过点P（4,/3）且与极轴夹角为且与极轴夹角为/6的直线的直线的的方程。

方程。

直线的几种极坐标方程直线的几种极坐标方程1、过极点，倾斜角为、过极点，倾斜角为2、过点、过点垂直于极轴垂直于极轴4、过点、过点，且与极轴成的角度，且与极轴成的角度3、过点、过点A（a,/2）（a0）平行于极平行于极轴轴oxAMMoxAooxMPAsinaA（a,0）（a0）小结：

（）曲线的极坐标方程概念（）求曲线的极坐标方程的步骤（3）会求圆的极坐标方程（3）会求直线的极坐标方程