菱形讲义经典.docx
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菱形讲义经典
第一章特殊的平行四边形一、菱形：
【知识梳理】1．菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?
还具有自己独特的性质：
边的性质：
对边平行且四边相等．①
②角的性质：
邻角互补，对角相等．
③对角线性质：
对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．
④对称性：
菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．
菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．
点评：
其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．
3．菱形的判定
判定①：
一组邻边相等的平行四边形是菱形．
判定②：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
判定③：
四边相等的四边形是菱形．
【例题精讲】板块一、菱形的性质
例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm．
（1）求菱形ABCD的边长；
（2）求菱形ABCD的高DM．
例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．
求证：
（1）求∠BGD的度数。
（2）求证：
DG+BG=CG
.
ABCD例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形
（1）求证：
四边形ABCD是菱形．的周长是否存在最大值或最小
（2）如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD值？
如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．
，求的度数．上的点，若中，4.已知，菱形、分别是、例AB?
AF?
EFAE?
FECBC?
CDABCDABDFEC跟踪练习：
）的长为（BC,AE⊥垂足为E,则AE,AB=5,1.如图,在菱形ABCD中对角线AC=6.若过点A作D.5C.4.8A.4B.2.4
CD和BCE、分别是FAB=22.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，，）AEF、的中点，连接AE、EFAF，则△的周长为（342333D.3.
C.B.A.
剪口的菱形,,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°3.如图所示）与第二次折痕所成角的度数应为（
30°B.30°或45°A.15°或
C.45°或60°D.30°或60°
4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
图1－1－38
甲：
连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：
分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（）
A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
5.
（1）如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4cm.那么,菱形ABCD的面积是________,对角线BD的长是________.
（2）如图：
菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．
6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA为怎样的四边形，并证明你的结论．PQMN，试判断四边形N、M、Q、P的中点分别为
7.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．
DE=BE．求证：
E．⊥AB，垂足为的中点，过，O为对角线BDO点作OE中，∠8.如图，在菱形ABCDA=60°，AB=4的长．2）求线段BE
（1）求∠ABD的度数；（
F．⊥CD，垂足分别为E、、9.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥ADBFBE=BF；
（1）求证：
的长．，BD=6时，求BE
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8
连EAC于、B重合），连接DP交对角线AP10.如图，在菱形ABCD中，是AB上的一个动点（不与BE．接；APD=∠CBE）证明：
∠（1
为什么？
，面积的ABCD的面积等于菱形ADP△点运动到什么位置时，P试问°，DAB=60若∠）2（．
BQA运动，同时点从点11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点的速度都是1cm/s．出发向点C运动，点P、Q
是AQCP
（1）在运动过程中，四边形可能是菱形吗？
如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．
【作业】一.选择题：
）中，1.在菱形ABCDAB=5cm，则此菱形的周长为（.A.5cmB.15cmC.20cmD.25cm
____的周长是BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD如图，在菱形2.ABCD中，∠
）和已知菱形3.ABCD的对角线AC、BD的长度是68，则这个菱形的周长是（
24
A、20B、14CD、、28
4.的长度为（BD），∠如图，菱形ABCD的周长是16A=60°，则对角线4332．CA．2B．D．4
5.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）
33D8、8
16A、16B、C、6.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标）分别是（．
8，4）BN（8，4）、M（4，0），N（），A、M（5，0），4D），C、M（5，0N（7，4）、M（4，0），N（7
二、填空题2丄是AB的中点，且DEAB，则菱形ABCDcm．的面积为2cm7.如图，菱形ABCD的边长是，E
9题第第8题题第7丄AB，垂足为作OHH，＝8，BD＝6，过点O如图，8.菱形ABCD的对角线AC、相交于点BDO，且AC则点O到边AB的距离
9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠2．cm°，则四边形ABCD的面积等于ABC=60三、解答题
12.如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。
求证：
△ACE≌△ACF。
F
AD
ADE
B
C
EBC0）．，），（如图，四边形13.ABCD为菱形，已知A0，4B（﹣3的坐标；
（1）求点D（2的一次函数解析式．）求经过点AB
1∥°，＝中，∠如图所示，在菱形14.ABCDABC60DEAC＝DE．求证：
的延长线于点BC交EBE．2
15.如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．
（1）求AC的长．
（2）求∠AOB的度数．
（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．
板块二、菱形的判定
例1.已知:
如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.
求证:
□ABCD是菱形
例2.已知:
如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
四边形ABCD:
求证是菱形
例3.已知:
如图,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.
求证:
四边形AECF是菱形
EAD
OBCF．
课堂练习：
AD成为一个菱形，需要添加一个条件，1.如图，如果要使平行四边形ABCD．那么你添加的条件是
CB
.、已知：
如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于2.FEBCACABCDAD.
求证：
四边形是菱形AFCEEADO
BCF
落在的直线折叠，使点，将纸片沿过点，3.如图，在梯形纸片中，CDBC?
ADAD//DCABCDAD是菱形．.交于点，连结求证：
四边形处，折痕上的点?
?
CEECBCECDCDEDC'ACBE
于，于，于，4.如图，在中，是的中点．分别作ACDFME?
AC?
AB?
MDDEBCABC?
MACAB?
是菱形．相交于点．．求证：
四边形，于ABEG?
FGPEGDF、DMEPA
GFP
DE
CMB【作业】的四边形是菱形。
．有一组邻边相等的1是菱形，对角线
2，，则另一条对角线长为，cm边长为cm6cm24cm2．菱形的面积为，一条对角线的长为
。
高为cm
1:
2，相邻两角的比为．菱形周长为320，则菱形的两对角线的长为。
。
BD=中，4．如图1所示，菱形ABCDAE⊥BC，BE=EC，AE=2，．如图2所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA5，∠C=。
A
A
D
C
B
D
B
D
FE
F
CE
B
A
EC1图3
图2
图
6．菱形对角线的平方和等于一边平方的（）
A．2倍B．3倍C．4倍D．8倍
7．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）
A．对角线互相平分B．邻角互补C．对角相等D．每条对角线平分一组对角
8．如图3所示，菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，AE=EB，则∠EDF等于（）
A．75°B．60°C．50°D．45°
9．下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（）
A．已知菱形的两条对角线B．已知菱形的一边和一个内角
C．已知菱形的四条边D．已知菱形的周长和面积
10．下列命题正确的是（）
A．有两组邻角相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
ahh，则另一对角线的长可示为：
。
，高为，一条对角线长为11．菱形的周长为12．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连结BF、CE，求证：
四边形BECF是菱形。
13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B的平分线交高CD于E，交AC于F，FG⊥AB，G为垂足，求证：
四边形CEGF是菱形。
14.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．
（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）
15.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
和AECFCD上滑动时，分别探讨四边形、F在BC、
（2）当点E的面积是否发生变化？
如果不变，求出这个定值；如果CEF△变化，求出最大（或最小）值．
AE+CF=2．AD，CD上的两个动点，且满足BD=2的边长为2，，E、F分别是边16.如图，菱形ABCDBCF；）求证：
△BDE≌△（1BEF的形状，并说明理由；2）判断△（的取值范围．S，求S△（3）设BEF的面积为
BEAE、AC和BCAC=6，．△ECD是△ABC沿方向平移得到的，连接ABC．如图171，在△中，AB=BC=5相交于点O．）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（1，BDQRAE连接PO并延长交线段于点Q，⊥，CB，2上一动点是线段，如图2（）2PBC（图）（不与点、重合）的运动而发生变化？
若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积是否随点P．四边形垂足为点R的面积．PQED
，BC与AB，AB与CE交于F，EDDCE=90°如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠，18.．M，H分别交于；1）求证：
CF=CH（是什么四边形？
并证BCE=45°时，试判断四边形ACDM不动，将△EDC绕点C旋转到∠ABC
（2）如图2，△明你的结论．
在第一，DC，始终在x轴的正半轴上，BxOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A19.如图，在直角坐标系位置变化时，，当点B与OD相交于E，上方，OC=CD，OD=2M为OD的中点，AB象限内，点B在直线OD
．Rt△OAB的面积恒为试解决下列问题：
坐标为_________；
（1）填空：
点D
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
个单位长的速2CA方向以每秒．点D从点C出发沿中，∠20.如图，在Rt△ABCB=90°，BC=5，∠C=30°匀速运动，当其中一个点个单位长的速度向点B出发沿AB方向以每秒1A度向点匀速运动，同时点E从点AD作DF⊥BC0）．过点于点F，连＞运动的时间是到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、Et秒（t接DE、EF．
（1）求证：
AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？
如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？
请说明理由．
21．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．
是等边三△ACE是BD延长线上的点，且AC，BD交于点O，E中，对角线21.如图1，已知平行四边形ABCD角形．是菱形；1）求证：
四边形ABCD（的长．AC=6．求DE，若∠AED=2∠EAD，）如图（22
、BE延长线上一点，且CF=AE，连接上一点，ABC=60°，E是对角线ACF是线段BC在菱形22.ABCD中，∠EF．BE=EF（不需证明）；是线段EAC的中点，如图1，易证：
（1）若有怎样的数量关、EF，线段延长线上的任意一点，其它条件不变，如图AC或AC2、图3BE是线段）若（2E系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．
23.如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，
（1）中的结论还成立吗？
说明理由；
（3）如果
（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
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