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1、菱形讲义经典 第一章特殊的平行四边形 一、菱形： 【知识梳理】 1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半 3菱形的判定 判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定：四边相等的四边形是菱形

2、 【例题精讲】板块一、菱形的性质 例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm （1）求菱形ABCD的边长； （2）求菱形ABCD的高DM 例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H 求证：（1）求BGD的度数。（2） 求证：DG+BG=CG . ABCD例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形 (1)求证：四边形ABCD是菱形的周长是否存在最大值或最小(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD 值？如果存在，请求出来；如果不存在，

3、请简要说明理由 ，求的度数上的点，若中，4.已知，菱形、分别是、例AB?AF?EFAE?FECBC?CDABCDABDFEC 跟踪练习：) 的长为( BC,AE垂足为E,则AE,AB=5,1.如图,在菱形ABCD中对角线AC=6.若过点A作D.5 C.4.8 A.4 B.2.4 CD和BCE、分别是FAB=22.如图，在菱形ABCD中，B=60， ） AEF、的中点，连接AE、EFAF，则的周长为（342333D.3. C. B. A.剪口的菱形,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为1203.如图所示) 与第二次折痕所成角的度数应为( 30 B.30或45A.15或

4、C.45或60 D.30或60 4如图1138，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下： 图1138 甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形 乙：分别作A，B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形 根据两人的作法可判断( ) A甲正确，乙错误 B甲错误，乙正确 C甲、乙均正确 D甲、乙均错误 5. (1) 如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是_,对角线BD的长是_. (2) 如图：菱形AB

5、CD中，AB=2，B=120，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 _ 6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ADE和BCE都是等边三角形，AB、 BC、CD、DA 为怎样的四边形，并证明你的结论PQMN，试判断四边形N、M、Q、P的中点分别为 7.如图所示，在菱形ABCD中，ABC=60，DEAC交BC的延长线于点E DE=BE 求证： EAB，垂足为的中点，过，O为对角线BDO点作OE中，8.如图，在菱形ABCDA=60，AB=4 的长2）求线段BE （1）求ABD的度数；（ FCD，垂足分别为E、9.如图，四边形ABCD是菱形，BEADBF BE=B

6、F；（1）求证： 的长，BD=6时，求BE（2）当菱形ABCD的对角线AC=8 连EAC于、B重合），连接DP交对角线AP10.如图，在菱形ABCD中，是AB上的一个动点（不与 BE接 ；APD=CBE）证明：（1 为什么？，面积的ABCD的面积等于菱形ADP点运动到什么位置时，P试问，DAB=60若）2（ BQA运动，同时点从点11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点 的速度都是1cm/s出发向点C运动，点P、Q 是AQCP（1）在运动过程中，四边形可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 菱形？ （2）分别求出菱形AQCP的周长、面积

7、 【作业】 一. 选择题： ）中，1.在菱形ABCDAB=5cm，则此菱形的周长为（.A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm _ 的周长是BAD=60，BD=4，则菱形ABCD如图，在菱形2.ABCD中， ）和已知菱形3.ABCD的对角线AC、BD的长度是68，则这个菱形的周长是（ 24 A 、20 B、14 CD、28 4.的长度为（BD ），如图，菱形ABCD的周长是16A=60，则对角线4332 CA2 BD4 5.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BAD=120，AC=4，则该菱形的面积是（ ） 33 D8、8 16 A 、16 B、C、6. 如图所示

8、，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标 ） 分别是（ 8，4）B N（8，4） 、M（4，0），N（），A 、M（5，0 ），4D ），C、M（5，0N（7，4） 、M（4，0）， N（7 二、填空题2 丄是AB的中点，且DEAB，则菱形ABCD cm的面积为2cm7. 如图，菱形ABCD的边长是，E 9题第 第8题 题第7丄AB，垂足为作OHH，8，BD6，过点O如图，8. 菱形ABCD的对角线AC、相交于点BDO，且AC则点O到边AB的距离 9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，2 cm ，则四

9、边形ABCD的面积等于ABC=60三、解答题 12. 如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。 求证：ACEACF。 F A D AD E B C E BC 0），），（如图，四边形13.ABCD为菱形，已知A0，4B（3 的坐标；（1）求点D （2的一次函数解析式）求经过点AB 1 ，中，如图所示，在菱形14.ABCDABC 60DEACDE求证：的延长线于点BC交EBE2 15. 如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，ACB=30，AB=2 （1）求AC的长 （2）求AOB的度数 （3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积 板块

10、二、菱形的判定 例1.已知:如图1-3,在ABCD中,对角线AC与BD交于点O,ACBD. 求证: ABCD是菱形 例2.已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 四边形ABCD:求证是菱形 例3.已知:如图,在ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F. 求证: 四边形AECF是菱形 EAD OBCF 课堂练习：AD成为一个菱形，需要添加一个条件，1.如图，如果要使平行四边形ABCD 那么你添加的条件是 CB . 、 已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于2.FEBCACABCDAD. 求证：四边形是菱形AFCEEA D

11、O B CF 落在 的直线折叠，使点，将纸片沿过点，3.如图，在梯形纸片中，CDBC?ADAD/DCABCDAD 是菱形.交于点，连结求证：四边形处，折痕上的点?CEECBCECDCDEDCACBE 于，于，于，4.如图，在中，是的中点分别作ACDFME?AC?AB?MDDEBCABC?MACAB?是菱形相交于点求证：四边形 ，于ABEG?FGPEGDF、DMEP A GFP DE CM B 【作业】 的四边形是菱形。有一组邻边相等的1 是菱形，对角线 2，则另一条对角线长为， cm边长为 cm6cm24cm2菱形的面积为，一条对角线的长为 。高为 cm 1:2，相邻两角的比为菱形周长为320

12、 ，则菱形的两对角线的长为。 。BD= 中，4如图1所示，菱形ABCDAEBC，BE=EC，AE=2，如图2所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA5，C= 。 A A D C B D B D F E F C E B A E C 1 图3 图2 图 6菱形对角线的平方和等于一边平方的（ ） A2倍 B3倍 C4倍 D8倍 7菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A对角线互相平分 B邻角互补 C对角相等 D每条对角线平分一组对角 8如图3所示，菱形ABCD中，DEAB，DFBC，E、F为垂足，AE=EB，则EDF等于（ ） A75 B60 C50 D45 9下列条件中不能确定菱形的形

13、状和大小的是（ ） A已知菱形的两条对角线 B已知菱形的一边和一个内角 C已知菱形的四条边 D已知菱形的周长和面积 10下列命题正确的是（ ） A有两组邻角相等的四边形是菱形 B有一组邻边相等的四边形是菱形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ahh，则另一对角线的长可示为： 。，高为，一条对角线长为 11菱形的周长为12如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF/BE交AD于F，连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。 13如图，ABC中，ACB=90，B的平分线交高CD于E，交AC于F，FGAB，G为垂足，求证：四边形CEGF

14、是菱形。 14. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明； （2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形（写出你添加的条件，不要求证明） 15.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合 （1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF； 和AECFCD上滑动时，分别探讨四边形、F在BC、（2）当点E的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果CEF 变化，求出最大（或最小）值 A

15、E+CF=2AD，CD上的两个动点，且满足BD=2的边长为2，E、F分别是边16.如图，菱形ABCD BCF；）求证：BDE（1 BEF的形状，并说明理由；2）判断（ 的取值范围S，求S（3）设BEF的面积为 BEAE、AC和BCAC=6，ECD是ABC沿方向平移得到的，连接ABC如图171，在中，AB=BC=5 相交于点O ）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（1，BDQRAE连接PO并延长交线段于点Q，CB，2上一动点是线段，如图2（）2PBC（图）（不与点、重合）的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积是否随点P四边形垂足为点R 的面积PQED ，

16、BC与AB，AB与CE交于F，EDDCE=90 如图1，在ABC和EDC中，AC=CE=CB=CD；ACB=，18. M，H分别交于 ；1）求证：CF=CH（是什么四边形？并证BCE=45时，试判断四边形ACDM不动，将EDC绕点C旋转到ABC（2）如图2， 明你的结论 在第一，DC，始终在x轴的正半轴上，BxOy中，RtOAB和RtOCD的直角顶点A19. 如图，在直角坐标系位置变化时，当点B与OD相交于E，上方，OC=CD，OD=2M为OD的中点，AB象限内，点B在直线OD RtOAB的面积恒为 试解决下列问题：坐标为 _ ； （1）填空：点D（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t

17、的函数关系式，并化简； 个单位长的速2CA方向以每秒点D从点C出发沿中，20. 如图，在RtABCB=90，BC=5，C=30匀速运动，当其中一个点个单位长的速度向点B出发沿AB方向以每秒1A度向点匀速运动，同时点E从点AD作DFBC0）过点于点F，连运动的时间是到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、Et秒（t接DE、EF （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由 （3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由 21如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF

18、与GH的位置关系，并证明你的结论 是等边三ACE是BD延长线上的点，且AC，BD交于点O，E中，对角线21. 如图1，已知平行四边形ABCD 角形 是菱形；1）求证：四边形ABCD（ 的长AC=6求DE，若AED=2EAD，）如图（22 、BE延长线上一点，且CF=AE，连接上一点，ABC=60，E是对角线ACF是线段BC在菱形22. ABCD中， EF BE=EF（不需证明）；是线段EAC的中点，如图1，易证：（1）若有怎样的数量关、EF，线段延长线上的任意一点，其它条件不变，如图AC或AC2、图3BE是线段）若（2E 系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明 23. 如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作APC和BPD，使PC=PA，PD=PB，APC=BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H （1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由； （2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在APB的外部作APC和BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）如果（2）中，APC=BPD=90，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由