勾股定理实际应用题.docx
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勾股定理实际应用题
18.如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发
出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
13m
B-
B
A.
图2
20.（2013?
贵阳模拟）请阅读下列材料：
问题：
如图1，圆柱的底面半径为1dm,BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1:
高线AB+底面直径BC,如图1所示•路线2:
侧面展开图中的线段AC,如图2所示.（结果保留n）
BC
Q沿AB剪
开平铺一
（填1或2）较短.
（2）小明把条件改成：
圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm"继续按前面的路线进行计算.此时，路线1：
J=
22.（2013?
盐城模拟）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4
个侧面缠绕一圈到达B（B为棱的中点），那么所用细线最短需要多长？
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到
达点B,那么所用细线最短需要多长？
23.
，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬
如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）
到柜角Ci处.若AB=4,BC=4,CCi=5,
（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长.
一•选择题（共5小题）
二.解答题（共22小题）
6.（2013?
徐州模拟）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B航行，其速
度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30。
方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时.
（1）求港口A到海岛B的距离；
（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？
7.（2012?
古冶区二模）有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心
的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在
A的南偏东60°在B的南偏东30。
方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小
时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？
（V3^l.7）
AC为2米，斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?
&如图，要在高
BC
9.如图，一块三角形铁皮，其中/
B=30°/C=45°AC=12“^cm.求△ABC的面积.
10.如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米.
（1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至Ai处，求点B向外移动的距离BBi的长；
（2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯
子沿墙AC下滑的距离是多少米？
11•如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从
D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB.
1.（2010?
新疆）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他
家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）
2.（2007?
茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部
的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）
A.12弟<13B.12弟W15C.5毛<12D.5毛<13
3.（2012?
乐山模拟）一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°距离为72海里的A处,
上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（）
A.18海里/小时|B.丨；-海里/小时|C.36海里/小时|D.卜-海里/小时
4.
AB=8m，那么油
（2010?
罗湖区模拟）在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽的最大深度是（）
C.3m
D.4m
5•如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）
4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,
A.3vhv4
B.3D.h=4
12.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你
帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？
13.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.
（1）A城是否受到这次台风的影响？
为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
40km的速度向北偏东60°的BF方
14.如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动,
已知城市A到BC的距离AD=100km.
（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？
（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6:
00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
15.中华人民共和国道路交通管理条例”规定：
小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时.一辆小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得小
汽车”位置B与车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆小汽车”超速了吗？
请说明理由.
16.某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形.货车司机小
王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？
请说明你的理由.
B
■>
08米
23米
Ar
护
<
2米一
T
17•勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票•所谓勾股
图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1:
△ABC中，/BAC=90°.
请解答：
（1）如图2,若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积Si、S2、S3之间的数量关系是
（3）如图4,在梯形ABCD中，AD//BC,ZABC+/BCD=90°BC=2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外
作正方形，其面积分别为S2、S3,则$2、S3之间的数量关系式为，请说明理由.
24.如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
最短距离是多少?
25.如图所示，圆柱形的玻璃容器，高18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相
对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径.
26.如图，一正方形的棱长为2,—只蚂蚁在顶点A处，在顶点G处有一米粒.
（1）问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？
（2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少?
27•如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正
在偷吃粮食•此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少米？
（结果不取近似值）
2014年3月352449109的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一•选择题（共5小题）
1.
（2010?
新疆）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他
家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）
A.3m
考点：
勾股定理的应用•
专题：
应用题；压轴题•
分析：
为了不让羊吃到菜，必须V等于点A到圆的最小距离.要确定最小距离，连接OA交半圆于点E,即AE是最短距离.在直角二角形AOB中，因为OB-6,AB-8，所以根据勾股定理得OA-10.那么AE的长即可解答.
解答：
解：
连接OA，交半圆0于E点,
在Rt△OAB中，OB=6,AB=8,
所以OA=■'一比=10；
又OE=OB=6,
所以AE=OA-OE=4.
因此选用的绳子应该不大于4m,
故选A.
点评：
此题确定点到半圆的最短距离是难点•熟练运用勾股定理.
2.（2007?
茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部
的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）
B.12弟<15
D.5<1<3
考点：
勾股定理的应用.
专题：
压轴题.
分析：
最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答.
解答：
解：
a的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理，得：
.「一「二=13.
即a的取值范围是12^<13.
故选A.
点评：
主要是运用勾股定理求得a的最大值，此题比较常见，有一定的难度.
3.（2012?
乐山模拟）一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°距离为72海里的A处,
上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（）
A.18海里/小时|B.海里/小时C.36海里/小时|D.上海里/小时
考点：
勾股定理的应用；方向角.
专题：
应用题.
分析：
首先画图，构造直角三角形，
利用勾股定理求出船
8时到10时航行的距离，再求速度即可解答.
解答：
解：
如图在Rt△ABC中，
/ABC=90°-60°=30°
AB=72海里，
BC
故AC=36海里，BC=J肿-肝=36衍海里，
艘船航行的速度为3^3吃=18衍海里/时.
故选B.
点评：
本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识.解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.
4.
（2010?
罗湖区模拟）在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油
的最大深度是（）
考点：
勾股定理的应用；垂径定理的应用.
分析：
本题是已知圆的直径，弦长求油的最大深度其实就是弧AB的中点到弦AB的距离，可以转化为求弦心距的问题，利用垂径定理来解决.
解：
过点O作OM丄AB交AB与M，交弧AB于点E.连接OA.
根据勾股定理可得OM=3m，则油的最大深度ME为5-3=2m.
故选B.
点评：
考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用，圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定
理转化为解直角三角形的问题.
5.如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,
则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）
A.3vhv4B.3考点：
勾股定理的应用.
分析：
根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为1612=4cm;最短时
与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短.
解答：
解：
①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16-12=4（cm）;
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线直径为5cm，高为12cm,
由勾股定理可得杯里面管长为y-则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化.
故选B.
点评：
本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置，然后计算求解.
二.解答题（共22小题）
6.（2013?
徐州模拟）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B航行，其速
度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30。
方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时.
（1）求港口A到海岛B的距离；
（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？
考点：
勾股定理的应用.
专题：
应用题.
分析：
（1）作BD丄AE于D，构造两个直角三角形并用解直角三角形用BD表示出CD和AD，利用DA和DC
之间的关系列出方程求解.
（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可.
解答：
解：
（1）过点B作BD丄AE于D
在Rt△BCD中，/BCD=60°设CD=x，贝UBD=鹿x,BC=2x
在Rt△ABD中，/BAD=45°
贝UAD=BD=匱，AB=^BD=^h
由AC+CD=AD得20+x=V^x
解得：
x=10丽+10
故AB=30/j+10后
答：
港口A到海岛B的距离为3^^+1旅海里.
所以乙船先看见灯塔.
点评：
此题考查的知识点是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答.
7.（2012?
古冶区二模）有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心
的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在
A的南偏东60°在B的南偏东30。
方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小
时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？
（V3^l.7）
考点：
勾股定理的应用.
分析：
作CD丄AB交AB延长线于D,根据勾股定理分别计算出AB和BC的长度，利用速度、时间、路程之间
的关系求出各自的时间比较大小即可.
解答：
解：
作CD丄AB交AB延长线于D,
由已知得：
/EAC=60°/FBC=30°
•••/1=30°/2=90°-60°30°°
•••/1+/3=72,
•••/3=30°
•••/1=/3,
•••AB=BC=100,
在Rt△BDC中,
BD=2bC=50,
2
•DC=JBC2
-Bd2=5W3，
•/AD=AB+BD=150,
•••在Rt△ACD
中,AC=Jad2+C严=100衍，
•t1号=虫=2^40空、
严.25,
t
2号芒=吏,
303
4.25,
3
•搜救中心应派
2号艘救助轮才能尽早赶到C处救援.
血北
牛北
*
C
点评：
本题考查了勾股定理的运用、等腰三角形的判定和性质以及速度、时间、路程之间的关系.
&如图，要在高AC为2米，斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?
BC
考点：
勾股定理的应用.
分析：
；
根据题意，知还需要求出BC的长，根据勾股定理即可.
解答：
解：
由勾股定理AB2=BC2+AC2,
得BC=广-—4=2■''，
AC+BC=2+2二（米）.
答：
所需地毯的长度为（2+2r）米.
点评：
能够运用数学知识解决生活中的实际问题•熟练运用勾股定理.
9.如图，一块三角形铁皮，其中/B=30°/C=45°AC=12徒cm.求△ABC的面积.
考点：
勾股定理的应用；三角形的面积；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形.
分析：
首先过A作AD丄CB,根据/C=45°可以求出AD=DC，再利用勾股定理求出AD的长，再根据直角三角
形的性质求出AB的长，利用勾股定理求出BD的长，最后根据三角形的面积公式可求出△ABC的面积.
解答：
解：
过A作AD丄CB,
•••/C=45°
•••/DAC=45°
•••AD=DC,
设AD=DC=x,
则x2+x2=（1^2）2,
解得：
x=12,
•••/B=30°
•AB=2AD=24,
•BD=、二'一：
-工=12':
，
•CB=12+127,
•△ABC的面积=CB?
AD=727+72.
2
AD的长.
以及直角三角形的性质，关键是熟练利用直角三角形的性质求出
BD、
10.如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米.
（1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至Ai处，求点B向外移动的距离BBi的长；
（2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯
子沿墙AC下滑的距离是多少米？
考点：
勾股定理的应用.
分析：
（1）根据题意可知/C=90°AB=2.5m,BC=0.7m，根据勾股定理可求出AC的长度，根据梯子顶端B沿墙下滑0.9m，可求出A1C的长度，梯子的长度不变，根据勾股定理可求出B1C的长度，进而求出BB1的
长度.
（2）可设点B向外移动的距离的一半为2x,则梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x,根据勾股定理建
立方程，解方程即可.
解答：
解：
（1）•.•AB=2.5m,BC=O.7m,
•AC=』£5°-CL严=2・4m
•-A1C=AC-AA1=2.4-0.9=1.5m,
•B〔C=~=2m,
•BB1=B1C-BC=0.5m;
（2）梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x，则点B向外移动的距离的一半为2x,
由勾股定理得：
（2.4-x）2+（0.7+2x）2=2.52,
解得：
x==,
2
答：
梯子沿墙AC下滑的距离是；米.
2
点评：
本题考查勾股定理的应用，在直角三角形里根据勾股定理，知道其中两边就可求出第三边，从而可求解.
11•如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从
D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB.
12•如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你
帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？
则地毯总长为12+5=17（m）,
则地毯的总面积为17疋=34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要34X18=612元.
点评：
正确理解地毯的长度的计算是解题的关键.
13.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.
（1）A城是否受到这次台风的影响？
为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
:
勾股定理的应用.
:
应用题.
（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C,若AC>200则A城不受影响,否则受影响；
（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G,则厶ADG是等腰三角形，由于AC丄BF则C是DG的中点，
在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间.
解：
（1）由A点向BF作垂线，垂足为C,
AC=160km,
在Rt△ABC中，/ABC=30°,AB=320km，贝U
因为160v200,所以A城要受台风影响；
则还有一点
GM
AG=200千米.
CD=GC,
因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC丄BF，所以AC是BF的垂直平分线，
在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，
由勾股定理得，CD=，’：
'=；「-■'|=120千米,
则DG=2DC=240千米，
遭受台风影响的时间是：
t=240-^40=6（小时）.
此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂.
14.如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动,
已知城市A到BC的距离AD=100km.
（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？
（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6:
00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
考点：
勾股定理的应用.
分析：
（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间-路程邈度进行计算；
（2）根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间-路程邈度计算，然后求出时间段即可.
解答：
解:
（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD-Jab^-Ad2=（26/-10护-240如,
所以，台风中心经过240出5-16小时从B移动到D点，答：
台风中心经过16小时时间从B移动到D点；
（2）如图，•••距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
•••BE-BD-DE-240-30-210km,BC-BD+CD-240+30-270km,
•••台风速度为15km/h,
•210宁15-14时，270宁15-18,
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