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高等数学
甘肃省农业职业技术学院高等数学概论张凯
高等数学
高等数学比初等数学“高等”的数学。
广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学，作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。
通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。
一，高等数学的特点
初等数学研究的是常量与匀变量，高等数学研究的是不匀变量。
高等数学（也称为微积分。
它是几门课程的总称）是理、工科院校一门重要的基础学科。
作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。
抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。
严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。
所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。
人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。
尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。
因此，学好高等数学对我们来说相当重要。
二，如何学好高等数学
凭心而论，高等数学确实是一门比较难的课程。
极限的运算、无穷小量、一元微积分学、多元微积分学、无穷级数等章节都有比较大的难度。
很多学生对“怎样才能学好这门课程？
”感到困惑。
要想学好高等数学，要做到以下几点：
首先，理解概念。
数学中有很多概念。
概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。
其次，掌握定理。
定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。
对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。
第三，在弄懂例题的基础上作适量的习题。
要特别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法在理解例题的基础上作适量的习题。
作题时要善于总结----不仅总结方法，也要总结错误。
这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。
第四，理清脉络。
要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。
高等数学中包括微积分和立体解析几何，级数和常微分方程。
其中尤以微积分的内容最为系统且在其他课程中有广泛的应用。
微积分的创建工作，是由牛顿和莱布尼茨完成的[只是他们创建的微积分的理论基础不够严谨]。
（当然在他们之前就已有微积分的应用，但不够系统）
高等数学有两个特点：
1.等价代换。
在极限类的计算里，常等价代换一些因子（这在量的计算中是不可理解），但极限是阶的计算。
2.如果原函数形式使计算很困难，可使用原函数的积分或微分形式，这是化简计算的思想。
这三个函数之间的关系就是微分方程。
]
三，具体内容
1，函数与极限
常量与变量
函数
函数的简单性态
反函数
初等函数
数列的极限
函数的极限
无穷大量与无穷小量
无穷小量的比较
函数连续性
连续函数的性质及初等函数函数连续性
2、导数与微分
导数的概念
函数的和、差求导法则
函数的积、商求导法则
复合函数求导法则
反函数求导法则
高阶导数
隐函数及其求导法则
函数的微分
3，导数的应用
微分中值定理
未定式问题
函数单调性的判定法
函数的极值及其求法
函数的最大、最小值及其应用
曲线的凹向与拐点
4，不定积分
不定积分的概念及性质
求不定积分的方法
几种特殊函数的积分举例
5，定积分及其应用
定积分的概念
微积分的积分公式
定积分的换元法与分部积分法
广义积分
6，空间解析几何
空间直角坐标系
方向余弦与方向数
平面与空间直线
曲面与空间曲线
7，多元函数的微分学
多元函数概念
二元函数极限及其连续性
偏导数
全微分
多元复合函数的求导法
多元函数的极值
8，多元函数积分学
二重积分的概念及性质
二重积分的计算法
三重积分的概念及其计算法
9，常微分方程
微分方程的基本概念
可分离变量的微分方程及齐次方程
线性微分方程
可降阶的高阶方程
线性微分方程解的结构
二阶常系数齐次线性方程的解法
二阶常系数非齐次线性方程的解法
10、无穷级数
无穷级数是研究有次序的可数无穷个数或者函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。
只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。
算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。
包括数项级数（包括正项级数和任意项级数，其中任意项级数中包括交错级数等）、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数；复变函数中的泰勒级数、Laurent（洛朗）级数）。
无穷级数主要作用在于可以将具有无穷项的数列收敛成为函数或者逆向将一个函数展开为无穷级数，提供了一种新的逼近方式。
这里需要说明的是，并不是所有的无穷级数都可以收敛成函数，需要“审敛”即判定其是否收敛。
常见方法有比较法（包括极限形式的比较法），根值法，比值法等。
数学专业则需要使用多达13种方法判断其是否收敛。
11，导数的概念
在学习导数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。
例：
设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，y=f（x），求质点在t0的瞬时速度？
我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量
这就是质点在时间段△t的位移。
因此，在此段时间内质点的平均速度为;
若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。
我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，
即：
质点在t0时的瞬时速度=
为此就产生了导数的定义，如下：
导数的定义
设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x（x+△x也在该邻域内）时，相应地
函数有增量
若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为y=f（x）在x0处的导数。
记为：
还可记为：
函数f（x）在点x0处存在导数简称函数f（x）在点x0处可导，否则不可导。
若函数f（x）在区间（a,b）内每一点都可导，就称函数f（x）在区间（a,b）内可导。
这时函数y=f（x）对于区
间（a,b）内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，
我们就称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数。
注：
导数也就是差商的极限
左、右导数
前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。
若极限
存在，我们就称它为函数y=f（x）在x=x0处的左导数。
若极限
存在，我们就称它为函数y=f（x）在x=x0处的右导数。
注：
函数y=f（x）在x0处的左右导数存在且相等是函数y=f（x）在x0处的可导的充分必要条件[1]
目录
一、函数极限连续
二、一元函数微分学
三、一元函数积分学
四、微分方程初步
五、向量代数空间解析几何
六、多元函数微分学
七、多元函数积分学（包括曲线积分、曲面积分）
八、无穷级数
本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材。
本次修订对第三版内容进行了适当的调整，同时注重保持原书理论严谨、表述流畅、可读性强、便于教学等特点。
本套教材共分四册，本书是第一册，主要内容为函数与极限、一元函数微积分及其应用。
本书可供高等学校物理学类、电子信息科学类、电气信息类等对数学要求较高的专业使用。
目录
第一章函数与极限
第一节函数
§1.1.1函数概念
§1.1.2函数的几种特性
§1.1.3复合函数和反函数
§1.1.4初等函数
习题1.1
第二节极限
§1.2.1数列的极限
§1.2.2函数的极限
§1.2.3函数极限的性质和运算
§1.2.4函数极限与数列极限的关系
§1.2.5函数极限存在判别准则
§1.2.6无穷小量和无穷大量
§1.2.7无穷小量的性质
§1.2.8无穷小量的比较
习题1.2
第三节连续函数
§1.3.1函数连续的概念
§1.3.2函数的间断点
§1.3.3在闭区间上连续函数的性质
§1.3.4初等函数的连续性
§1.3.5双曲函数
习题1.3
第二章微分学
第一节导数及其运算
§2.1.1导数的概念
§2.1.2导数的基本公式与运算法则
§2.1.3复合函数的导数
§2.1.4反函数和隐函数的导数
§2.1.5高阶导数
§2.1.6由参数方程所确定的函数的导数
§2.1.7函数不可导情形
习题2.1
第二节微分
§2.2.1微分概念
§2.2.2微分公式和运算法则
§2.2.3高阶微分
§2.2.4微分在近似计算中的应用举例误差估计
习题2.2
第三节中值定理导数的应用
§2.3.1中值定理（有限增量定理）
§2.3.2洛必达（L'Hospital）法则
§2.3.3泰勒（Taylor）公式
§2.3.4导数的应用
习题2.3
第三章不定积分
第一节不定积分的概念与运算法则
§3.1.1不定积分的概念
§3.1.2基本积分公式与不定积分的运算法则
习题3.1
第二节积分法
§3.2.1换元积分法
§3.2.2分部积分法
§3.2.3有理函数的积分
§3.2.4三角函数有理式的积分
§3.2.5简单无理函数的积分
习题3.2
第四章定积分
第一节基本概念
§4.1.1积分问题举例
§4.1.2定积分的定义
*§4.1.3可积准则
§4.1.4定积分的性质
§4.1.5定积分与不定积分的联系
习题4.1
第二节定积分的计算
§4.2.1定积分的换元积分法和分部积分法
*§4.2.2定积分的近似计算
习题4.2
第三节定积分的应用
§4.3.1定积分的几何应用
§4.3.2定积分在物理上的应用
习题4.3
习题参考答案
附录1不定积分表
附录2基本初等函数图形
附录3几种常用平面曲线
内容简介
我国高等学校的教学改革正在逐步地深入，教材的改革是整个教学改革的一个重要方面。
本书正是按照新形势下教材改革的精神，遵循《工科类本科数学基础课程教学基本要求》（修订稿）的要求，使之能够适应更多的学校与专业对高等数学这门基础课程的具体教学要求而编写的。
当前，许多高等学校以培养应用型科学技术人才为主要目标，针对这样一种具体情形，本书遵循的编写原则是：
在数学内容的深度和广度方面基本达到高等工科院校《高等数学课程教学基本要求》的要求，渗透现代化教学思想和手段，特别加强学生应用能力的培养，力求做到易教、易学、易懂，故本书不仅适合新世纪应用型本科生的需要，也易为高职、高专生所乐于接受。
本书的编写力图做到以下几点：
（1）以显示微积分的直观性与广泛的应用性为侧重，避免过多地涉及其严格的逻辑基础方面的内容。
例如，我们从直观的角度引进极限的概念（只是为了照顾某些学校或专业对本课程的较高要求，在带“*”号的条目内初步介绍了极限概念的严格的数学表述，而且仅此而已）；又例如，基本初等函数在其定义域内是连续的，这是微积分中的一个重要结论。
在本书中，为了使学生能够尽早地进入到极限运算方法的学习中去，甚至在介绍函数连续的概念之前，就以“基本初等函数在其定义域内每一点处的极限都存在，并且等于函数在该点处的函数值”这样一种方式，以学生在中学数学学习中所得到的相关知识为基础，直观地给出了这个结论。
我们指出可以用极限的严格表述来证明这个结论，但是并没有这样做。
本书主要强调的是微积分的运算以及运用，运用中涉及到的函数主要是初等函数。
我们希望在这样一个学习过程中，初学者能够理解并接受微积分的基本思想与方法，既获得知识，获得学习其他课程的工具，也提高自己的数学素养。
（2）在内容的取舍方面，充分考虑到当前许多学校高等数学的教学时数不可避免地被压缩的实际情况，以及计算机科学的迅速发展，本书对某些内容作了适当的精简。
例如，在不定积分这部分内容中，介绍了不定积分的基本运算方法，但是在技巧性方面较之于以往传统的教材有所不同，我们控制了例题与习题的难度；再如，对函数的作图、方程的近似解、数值积分等内容，只介绍基本原理与方法。
我们还考虑到不同的学校与专业，对高等数学课程的教学会有不尽相同的目标，所以在内容的编排上也尽可能地按照深浅程度等因素分条目叙述，以利于教学过程中的取舍。
目录
第七章 空间解析几何与向量代数
第一节 空间直角坐标系以及曲面、曲线的方程
一、空间直角坐标系
二、曲面及其方程
三、空间曲线及其方程
习题7-1
第二节 向量及其线性运算
一、向量的概念
二、向量的线性运算
三、向量的坐标表示
习题7-2
第三节 向量的数量积与向量积
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
习题7-3
第四节 平面及其方程
一、平面的方程
二、平面方程的应用
习题7-4
第五节 空间直线及其方程
一、空间直线的方程
二、两直线的夹角、直线与平面的夹角
习题7-5
第六节 旋转曲面与二次曲面
一、旋转曲面
二、二次曲面
习题7-6
第八章 多元函数的微分学及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集
二、二元函数的概念
三、二元函数的极限
四、二元函数的连续性
五、二元以上函数的情形
习题8-1
第二节 偏导数
一、偏导数的定义与计算
二、高阶偏导数
习题8-2
第三节 全微分
一、全微分的概念
二、全微分在近似计算中的应用
习题8-3
第四节 多元复合函数的求导法则
习题8-4
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
二、方程组的情形
……
第九章 多元函数的积分学及其应用
第十章 无穷级数
习题答案
内容简介
本书以培养高素质应用型人才为目标，遵循“夯实基础，突出实用”的原则，全书分上下两册。
上册包含6章：
预备知识，函数，极限与连续，导数与微分，不定积分，定积分及其应用；下册包含5章：
多元函数微积分，常微分方程，级数，行列式、矩阵与线性方程组，概率统计初步。
每章节后配有A、B两类练习题，章末设有小结（包括主要内容回顾及学习指导）。
本书可作为高职高专基础课程教材，也可作为其他人员学习高等数学的参考书。
目录（下册）
第6章多元函数微积分
6.1空间向量
6.1.1空间直角坐标系
6.1.2向量的坐标表示
6.1.3数量积和向量积
6.2空间平面和直线
6.2.1平面方程
6.2.2空间直线方程
6.3曲面方程
6.3.1曲面与方程
6.3.2旋转曲面
6.3.3柱面
6.4多元函数的极限与连续
6.4.1二元函数的概念
6.4.2二元函数的极限
6.4.3二元函数的连续性
6.5偏导数
6.5.1偏导数
6.5.2全微分
6.5.3二元复合函数的求导法则
6.5.4二元函数的极值与最值
6.6二重积分
6.6.1二重积分的概念
6.6.2二重积分的性质
6.6.3二重积分的计算方法
本章小结
综合练习6
第7章常微分方程
7.1微分方程的概念
7.1.1两个实际问题
7.1.2微分方程的概念
7.1.3微分方程的几何意义
7.1.4特殊的微分方程
7.2一阶微分方程
7.2.1可分离变量的微分方程
7.2.2齐次方程
7.2.3一阶线性微分方程
7.3二阶常系数线性微分方程
7.3.1常系数线性微分方程解的结构
7.3.2二阶常系数线性齐次微分方程
7.3.3二阶常系数线性非齐次微分方程
7.4微分方程应用举例
本章小结
综合练习7
第8章级数
8.1无穷级数的概念
8.1.1无穷级数的基本概念
8.1.2无穷级数的基本性质
8.1.3级数收敛的必要条件
8.2数项级数的审敛法
8.2.1正项级数审敛法
8.2.2交错级数审敛法
8.2.3条件收敛与绝对收敛
8.3幂级数
8.3.1幂级数的概念及收敛域
8.3.2幂级数的性质
8.3.3几种基本初等函数的幂级数展开式
8.3.4幂级数的简单应用
8.4傅里叶级数
8.4.1周期函数与三角函数
8.4.2三角函数系的正交性
8.4.3周期为2∏的函数展开为傅里叶级数
8.4.4奇函数与偶函数的傅里叶级数展开式
8.4.5在[0，∏]上将函数展开为正弦级数或余弦级数
本章小结
综合练习8
第9章行列式、矩阵与线性方程组
9.1行列式
9.1.1二元线性方程组与二阶行列式
9.1.2三元线性方程组与三阶行列式
9.1.3n阶行列式
9.1.4克莱姆法则
9.2矩阵的概念和矩阵的运算
9.2.1矩阵的概念
9.2.2矩阵的加法与减法
9.2.3矩阵与数相乘
9.2.4矩阵与矩阵相乘
9.2.5利用矩阵表示线性方程组
9.3逆矩阵、矩阵的秩与初等矩阵
9.3.1逆矩阵
9.3.2矩阵的秩与初等变换
9.4一般线性方程组解的讨论
9.4.1高斯消元法
9.4.2用初等变换求逆矩阵
9.4.3一般线性方程组解的讨论
9.4.4齐次线性方程组解的讨论
本章小结
综合练习9
第10章概率统计初步
10.1随机事件与概率
10.1.1随机事件
10.1.2随机事件的概率
10.2概率的性质及条件概率
10.2.1随机事件概率的性质
10.2.2条件概率与乘法公式
10.3事件的独立性
10.3.1事件的独立性
10.3.2n次独立重复试验
10.4随机变量及其分布
10.4.1随机变量
10.4.2随机变量的分布函数
10.4.3几种常见离散型随机变量的分布
10.4.4几种常见连续型随机变量的分布
10.5随机变量的数字特征
10.5.1数学期望
10.5.2方差与标准差
10.5.3常用分布的期望和方差
10.6数理统计方法简介
10.6.1总体和样本
10.6.2数据的整理
10.6.3几个常用统计量的分布
本章小结
综合练习10
内容简介
书是面向21世纪高职高专规划教材中的数学立体化系列教材之一，是高职高专数学的《高等数学》部分。
全书内容按约100学时设计，使用时可根据实际情况适当增减。
本书分为上、下篇，共8章。
上篇包括：
引论、函数极限与连续、导数及其应用、不定积分、定积分及其应用等内容。
下篇包括：
多元函数微分学、二重积分及其应用、微分方程初步、无穷级数等内容。
其中，引论及带。
号的章节可作为选修内容。
每章前有本章学习要求，每节中编排有紧扣知识点的同步练习，每节末附有习题，每章末有小结与测试、阅读材料。
书末附有习题参考答案、数学常用公式、简易积分表等。
本书可作为高职高专院校的教材，供学生们学习高等数学时使用，也可作为专升本考试、成人高校、函授、电大、现代远程教育各专业的教材或参考书。
目录
上篇
引论预备知识
0.1变量与区间
0.2函数的概念
0.3函数的几何特性
0.4反函数
0.5基本初等函数
拓展阅读
第1章函数极限与连续
1.1函数的极限
1.2无穷小量与无穷大量
1.3极限的运算
1.4函数的连续性
小结与测试
拓展阅读
第2章导数及其应用
2.1导数的概念
2.2求导法则与基本求导公式
2.3隐函数的导数对数求导法
2.4高阶导数
2.5微分
2.6中值定理与洛必达法则
2.7函数的单调性与极值
2.8曲线的凹凸性与拐点
小结与测试
拓展阅读
第3章不定积分
3.1不定积分的概念
3.2换元积分法
3.3分部积分法
3.4简易积分表及其应用
小结与测试
拓展阅读
第4章定积分
4.1定积分的概念
4.2定积分的计算
4.3广义积分
4.4定积分的几何应用举例
小结与测试
拓展阅读
下篇
第5章多元函数微分学
5.1空间直角坐标系
5.2多元函数的基本概念
5.3偏导数
5.4全微分
5.5多元函数的极值
小结与测试
拓展阅读
第6章二重积分
6.1二重积分的概念
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