椭圆基本知识.ppt

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要点梳理要点梳理1.1.椭圆的定义椭圆的定义（11）第一定义：

在平面内到两定点）第一定义：

在平面内到两定点FF11、FF22的距离的的距离的和等于常数（大于和等于常数（大于|FF11FF22|）的点的轨迹叫）的点的轨迹叫.这这两定点叫做椭圆的两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做，两焦点间的距离叫做.集合集合PP=MM|MFMF11|+|+|MFMF22|=2|=2aa，|FF11FF22|=2|=2cc,其中其中aa0,0,cc00，且，且aa，cc为常数：

为常数：

（11）若）若，则集合，则集合PP为椭圆；为椭圆；8.18.1椭圆椭圆基础知识基础知识自主学习自主学习椭圆椭圆焦点焦点焦距焦距aacc第八章圆锥曲线（22）若）若，则集合，则集合PP为线段；为线段；（33）若）若，则集合，则集合PP为空集为空集.aa=ccaacc3.3.椭圆的几何性质椭圆的几何性质标准标准方程方程图形图形性性质质范围范围-a-axxaa-bbyybb-bbxxbb-aayyaa对称性对称性对称轴：

坐标轴对称轴：

坐标轴对称中心：

原点对称中心：

原点顶点顶点AA11（-（-aa,0）,0）,AA22（aa,0）,0）BB11（0,-（0,-bb）,）,BB22（0,（0,bb）AA11（0,-（0,-aa）,）,AA22（0,（0,aa）BB11（-（-bb,0）,0）,BB22（bb,0）,0）轴轴长轴长轴AA11AA22的长为的长为22aa;短轴短轴BB11BB22的长为的长为22bb焦距焦距|FF11FF22|=2|=2cc离心率离心率aa,bb,cc的关的关系系cc22=aa22-bb22准线准线基础自测基础自测1.1.已知椭圆的长轴长是短轴长的已知椭圆的长轴长是短轴长的22倍，则椭圆的离倍，则椭圆的离心率等于心率等于（）（）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析设长轴长、短轴长分别为设长轴长、短轴长分别为22aa、22bb,则则22aa=4=4b,b,D2.2.设设PP是椭圆是椭圆上的点上的点.若若FF11，FF22是椭圆是椭圆的两个焦点，则的两个焦点，则|PFPF11|+|+|PFPF22|等于等于（）A.4B.5C.8D.10A.4B.5C.8D.10解析解析由椭圆定义知由椭圆定义知|PFPF11|+|+|PFPF22|=2|=2aa=10.=10.DC4.4.已知椭圆已知椭圆CC的短轴长为的短轴长为66，离心率为，离心率为，则椭圆，则椭圆CC的焦点的焦点FF到长轴的一个端点的距离为到长轴的一个端点的距离为（）A.9A.9B.1B.1C.1C.1或或99D.D.以上都不对以上都不对解析解析由题意得由题意得aa=5=5，cc=4.=4.aa+cc=9=9，aa-cc=1.=1.C5.5.椭圆的两个焦点为椭圆的两个焦点为FF11、FF22，短轴的一个端点为，短轴的一个端点为AA，且且FF11AFAF22是顶角为是顶角为120120的等腰三角形，则此的等腰三角形，则此椭圆的离心率为椭圆的离心率为.解析解析由已知得由已知得AFAF11FF22=30=30，故，故cos30cos30=，从而从而ee=.=.题型一题型一椭圆的定义椭圆的定义【例例11】一动圆与已知圆一动圆与已知圆OO11：

（：

（xx+3）+3）22+yy22=1=1外切外切,与与圆圆OO22：

（：

（xx-3-3）22+yy22=81=81内切，试求动圆圆心的轨内切，试求动圆圆心的轨迹方程迹方程.两圆相切时两圆相切时,圆心之间的距离与两圆圆心之间的距离与两圆的半径有关的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件据此可以找到动圆圆心满足的条件.思维启迪思维启迪题型分类题型分类深度剖析深度剖析解解两定圆的圆心和半径分别为两定圆的圆心和半径分别为OO11（-3（-3，0）,0）,rr11=1=1；OO22（3,0）（3,0），rr22=9.=9.设动圆圆心为设动圆圆心为MM（xx，yy）,）,半径为半径为RR，则由题设条件可得则由题设条件可得|MOMO11|=1+|=1+RR，|MOMO22|=9-|=9-RR.|MOMO11|+|+|MOMO22|=10.|=10.由椭圆的定义知：

由椭圆的定义知：

MM在以在以OO11、OO22为焦点的椭圆上为焦点的椭圆上,且且aa=5=5，cc=3.=3.bb22=aa22-cc22=25-9=16=25-9=16，故动圆圆心的轨迹方程为故动圆圆心的轨迹方程为探究提高探究提高平面内一动点与两个定点平面内一动点与两个定点FF11、FF22的距的距离之和等于常数离之和等于常数22aa，当，当22aa|FF11FF22|时时,动点的轨迹动点的轨迹是椭圆；当是椭圆；当22aa=|=|FF11FF22|时时,动点的轨迹是线段动点的轨迹是线段FF11FF22；当当22aa|FF11FF22|时，轨迹不存在时，轨迹不存在.已知圆（已知圆（xx+2+2）22+yy22=36=36的圆心为的圆心为MM，设设AA为圆上任一点，为圆上任一点，NN（22，00），线段），线段ANAN的垂直的垂直平分线交平分线交MAMA于点于点PP，则动点，则动点PP的轨迹是的轨迹是（）A.A.圆圆B.B.椭圆椭圆C.C.双曲线双曲线D.D.抛物线抛物线知能迁移知能迁移11解析解析点点PP在线段在线段ANAN的垂直平分线上，的垂直平分线上，故故|PAPA|=|=|PNPN|，又，又AMAM是圆的半径，是圆的半径，|PMPM|+|+|PNPN|=|=|PMPM|+|+|PAPA|=|=|AMAM|=6|=6|MNMN|，由椭圆定义知，由椭圆定义知，PP的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆.答案答案B题型二题型二椭圆的标准方程椭圆的标准方程【例例22】已知点已知点PP在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且PP到两焦点的距离分别为到两焦点的距离分别为55、33，过，过PP且与长轴垂直且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.思维启迪思维启迪设椭圆方程为设椭圆方程为根据题意求根据题意求aa,bb得方程得方程.解解方法一方法一设所求的椭圆方程为设所求的椭圆方程为由已知条件得由已知条件得解得解得aa=4,=4,cc=2,=2,bb22=12.=12.故所求方程为故所求方程为方法二方法二设所求椭圆方程为设所求椭圆方程为两个焦点分别为两个焦点分别为FF11，FF22.由题意知由题意知22aa=|=|PFPF11|+|+|PFPF22|=8,|=8,aa=4.=4.在方程在方程中，令中，令xx=cc得得|yy|=,|=,在方程在方程中，令中，令yy=cc得得|xx|=,|=,依题意有依题意有=3=3，bb22=12.=12.椭圆的方程为椭圆的方程为探究提高探究提高运用待定系数法求椭圆标准方程，即设运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于法建立关于aa、bb的方程组，先定型、再定量，若位的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为椭圆方程可设为mxmx22+nyny22=1（=1（mm0,0,nn0,0,mmnn），由题目所给条件求出由题目所给条件求出mm、nn即可即可.知能迁移知能迁移22（11）已知椭圆以坐标轴为对称轴）已知椭圆以坐标轴为对称轴,且且长轴是短轴的长轴是短轴的33倍，并且过点倍，并且过点PP（33，00）,求椭圆求椭圆的方程；的方程；（22）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点轴，且经过两点PP11（，1）1）、PP22（-（-，-）-），求椭圆的方程求椭圆的方程.解解（11）若焦点在）若焦点在xx轴上，设方程为轴上，设方程为（aabb0）.0）.椭圆过椭圆过PP（33，00），），又又22aa=3=322bb,bb=1,=1,方程为方程为若焦点在若焦点在yy轴上，设方程为轴上，设方程为椭圆过点椭圆过点PP（33，00），），=1,=1,又又22aa=3=322bb,aa=9,=9,方程为方程为所求椭圆的方程为所求椭圆的方程为bb=3.=3.（22）设椭圆方程为）设椭圆方程为mxmx22+nyny22=1（=1（mm0,0,nn00且且mmnn）.）.椭圆经过椭圆经过PP11、PP22点，点，PP11、PP22点坐标适合椭圆方程，点坐标适合椭圆方程，则则、两式联立，解得两式联立，解得所求椭圆方程为所求椭圆方程为题型三题型三椭圆的几何性质椭圆的几何性质【例例33】已知】已知FF11、FF22是椭圆的两个焦点，是椭圆的两个焦点，PP为椭圆上为椭圆上一点，一点，FF11PFPF22=60=60.（11）求椭圆离心率的范围；）求椭圆离心率的范围；（22）求证）求证:

FF11PFPF22的面积只与椭圆的短轴长有关的面积只与椭圆的短轴长有关.（11）在）在PFPF11FF22中，使用余弦定理和中，使用余弦定理和|PFPF11|+|+|PFPF22|=2|=2aa，可求可求|PFPF11|PFPF22|与与aa，cc的关的关系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求出出ee的的范围；范围；（22）利用）利用|PFPF11|PFPF22|sin60|sin60可证可证.思维启迪思维启迪（11）解解设椭圆方程为设椭圆方程为|PFPF11|=|=mm,|,|PFPF22|=|=nn.在在PFPF11FF22中，由余弦定理可知，中，由余弦定理可知，44cc22=mm22+nn22-2-2mnmncos60cos60.mm+nn=2=2aa，mm22+nn22=（mm+nn）22-2-2mnmn=4=4aa22-2-2mnmn，44cc22=4=4aa22-3-3mnmn,即即33mnmn=4=4aa22-4-4cc22.又又mnmn（当且仅当（当且仅当mm=nn时取等号）时取等号）,44aa22-4-4cc2233aa22，即，即ee.又又00ee1,1,ee的取值范围是的取值范围是（22）证明证明由（由（11）知）知mnmn=mnmnsin60sin60=即即PFPF11FF22的面积只与短轴长有关的面积只与短轴长有关.探究提高探究提高（11）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PFPF11|+|+|PFPF22|=2|=2aa，得到，得到aa、cc的关系的关系.（22）对）对FF11PFPF22的处理方法的处理方法定义式的平方定义式的平方余弦定理余弦定理面积公式面积公式知能迁移知能迁移33已知椭圆已知椭