曲线的参数方程.ppt

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曲线的参数方程曲线的参数方程？

救援点救援点救援点救援点投放点投放点投放点投放点一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m500m高处高处高处高处100m/s100m/s的速的速的速的速度作水平直线飞行。

为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。

为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。

为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。

为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？

机呢？

机呢？

机呢？

即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？

投放物资？

投放物资？

投放物资？

如图，建立平面直角坐标系。

如图，建立平面直角坐标系。

如图，建立平面直角坐标系。

如图，建立平面直角坐标系。

因此因此因此因此,不易直接建立不易直接建立不易直接建立不易直接建立x,yx,y所满所满所满所满足的关系式。

足的关系式。

足的关系式。

足的关系式。

xx表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，yy表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：

物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：

物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：

物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：

（11）沿）沿）沿）沿oxox作初速为作初速为作初速为作初速为100m/s100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动；的匀速直线运动；的匀速直线运动；（22）沿）沿）沿）沿oyoy反方向作自由落体运动。

反方向作自由落体运动。

反方向作自由落体运动。

反方向作自由落体运动。

在这个运动中涉及到哪几个变量？

这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？

这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？

这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？

这些变量之间有什么关系？

什么关系？

什么关系？

什么关系？

物资出舱后，在时刻物资出舱后，在时刻物资出舱后，在时刻物资出舱后，在时刻tt，水平位移为水平位移为水平位移为水平位移为x=100tx=100t，离地面，离地面，离地面，离地面高度高度高度高度yy，即：

，即：

，即：

，即：

y=500-gty=500-gt22/2/2，物资落地时，应有物资落地时，应有物资落地时，应有物资落地时，应有y=0y=0，得得得得x10.10mx10.10m；即即即即500-gt500-gt22/2=0/2=0，解得，解得，解得，解得，t10.10st10.10s，因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为10101010米时投米时投米时投米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。

放物资，可以使其准确落在指定位置。

放物资，可以使其准确落在指定位置。

放物资，可以使其准确落在指定位置。

在在t的取值范围内，给定的取值范围内，给定t的一个值，的一个值，由可以唯一确由可以唯一确定定x，y的的值，也就是说，当值，也就是说，当t确定时，确定时，点点M（x，y）的）的位位置置就唯一确定了就唯一确定了.由上所由上所述，述，可以确定物资投放后的每一个时刻的位置，还可以确定物资投放后的每一个时刻的位置，还可以确定物资投放的时机可以确定物资投放的时机.x=100ty=500-（1/2）gt2x=100ty=500-（1/2）gt2一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标坐标x，y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数那么这个方程组就叫做这条曲线的那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系，联系变数变数x,y的变数的变数t叫做叫做参变数，参变数，简称简称参数参数。

并且对于并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，都在这条曲线上，参数是联系变数参数是联系变数参数是联系变数参数是联系变数x,yx,y的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

方程叫做普通方程。

方程叫做普通方程。

方程叫做普通方程。

.参数方程的概念参数方程的概念例例例例1:

1:

已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线CC的参数方程是的参数方程是的参数方程是的参数方程是（为参数）为参数）为参数）为参数）

（1）

（1）判断点判断点判断点判断点MM11（0（0，1）1），MM22（5（5，4）4）与曲线与曲线与曲线与曲线CC的位置关系；的位置关系；的位置关系；的位置关系；

（2）

（2）已知点已知点已知点已知点MM33（66，aa）在曲线）在曲线）在曲线）在曲线CC上，求上，求上，求上，求aa的值。

的值。

的值。

的值。

解：

解：

解：

解：

（1）

（1）把点把点把点把点MM11的坐标的坐标的坐标的坐标（0,1）（0,1）代入方程组，解得代入方程组，解得代入方程组，解得代入方程组，解得t=0t=0，所，所，所，所以以以以MM11在曲线上在曲线上在曲线上在曲线上把点把点把点把点MM22的坐标的坐标的坐标的坐标（5,4）（5,4）代入方程组，得到代入方程组，得到代入方程组，得到代入方程组，得到这个方程组无解，所以点这个方程组无解，所以点这个方程组无解，所以点这个方程组无解，所以点MM22不在曲线不在曲线不在曲线不在曲线CC上上上上

（2）

（2）因为点因为点因为点因为点MM33（6,a）（6,a）在曲线在曲线在曲线在曲线CC上，所以上，所以上，所以上，所以解得解得解得解得t=2,a=9t=2,a=9所以，所以，所以，所以，a=9.a=9.练习练习练习练习11、曲线、曲线、曲线、曲线与与与与xx轴的交点坐标是轴的交点坐标是轴的交点坐标是轴的交点坐标是（）（）BBA（1A（1，4）4）；B（25/16,0）C（1,-3）D（25/16,0）B（25/16,0）C（1,-3）D（25/16,0）22、方程、方程、方程、方程所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是（）（）DDA（2A（2，7）7）；B（1/3,2/3）C（1/2,1/2）D（1B（1/3,2/3）C（1/2,1/2）D（1，0）0）3已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线CC的参数方程是的参数方程是的参数方程是的参数方程是点点点点M（5,4）M（5,4）在该曲线上在该曲线上在该曲线上在该曲线上.

（1）

（1）求常数求常数求常数求常数a;a;由题意可知由题意可知由题意可知由题意可知:

由由由由1+2t=51+2t=5，得得得得t=2t=2；由由atat22=4=4；得；得；得；得a=1a=1，yyxxoorrM（xM（x,y）,y）圆周运动中，当物体绕定圆周运动中，当物体绕定圆周运动中，当物体绕定圆周运动中，当物体绕定轴作匀速转动时，物体上轴作匀速转动时，物体上轴作匀速转动时，物体上轴作匀速转动时，物体上的各个点都作匀速圆周运的各个点都作匀速圆周运的各个点都作匀速圆周运的各个点都作匀速圆周运动，动，动，动，怎样刻画运动中点的位置呢？

怎样刻画运动中点的位置呢？

怎样刻画运动中点的位置呢？

怎样刻画运动中点的位置呢？

.圆的参数方程圆的参数方程设点设点设点设点MM从初始位置（从初始位置（从初始位置（从初始位置（时的位置）出发，按逆时的位置）出发，按逆时的位置）出发，按逆时的位置）出发，按逆时针方向在圆时针方向在圆时针方向在圆时针方向在圆o上作匀速圆周运动，上作匀速圆周运动，上作匀速圆周运动，上作匀速圆周运动，点点点点MM绕绕绕绕点点点点o转动的转动的转动的转动的角速度为角速度为角速度为角速度为即怎样表示圆上各点的坐标？

即怎样表示圆上各点的坐标？

即怎样表示圆上各点的坐标？

即怎样表示圆上各点的坐标？

显然，点显然，点显然，点显然，点MM的位置由时刻的位置由时刻的位置由时刻的位置由时刻唯一确定，因此可以取唯一确定，因此可以取唯一确定，因此可以取唯一确定，因此可以取为参数。

为参数。

为参数。

为参数。

那么那么那么那么=tt.设设设设|OM|=r|OM|=r，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有如果在时刻如果在时刻如果在时刻如果在时刻tt，点，点，点，点MM转过的角度是转过的角度是转过的角度是转过的角度是，坐标是，坐标是，坐标是，坐标是M（xM（x,y）,y），即即即即这就是圆心在原点这就是圆心在原点这就是圆心在原点这就是圆心在原点OO，半径为，半径为，半径为，半径为rr的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程参数参数参数参数tt有物理意义有物理意义有物理意义有物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻）考虑到考虑到考虑到考虑到=tt，也可以取，也可以取，也可以取，也可以取为参数，于是有为参数，于是有为参数，于是有为参数，于是有这就是圆心在原点这就是圆心在原点这就是圆心在原点这就是圆心在原点OO，半径为半径为半径为半径为rr的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程.其中参数其中参数其中参数其中参数的几何意义是的几何意义是的几何意义是的几何意义是OMOM00绕点绕点绕点绕点OO逆时针旋转到逆时针旋转到逆时针旋转到逆时针旋转到OMOM的位置时，的位置时，的位置时，的位置时，OMOM00转过的角度（转过的角度（转过的角度（转过的角度（半径半径半径半径OMOM的旋转角的旋转角的旋转角的旋转角）一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。

另外，要注明参数及参数的取值范围。

另外，要注明参数及参数的取值范围。

另外，要注明参数及参数的取值范围。

圆心为圆心为圆心为圆心为，半径为半径为半径为半径为rr的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程例例2：

如图如图,圆圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q（6,0）是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周运作匀速圆周运动时，求点动时，求点M的轨迹的参数方程。

的轨迹的参数方程。

yoxPMQ解：

设点解：

设点解：

设点解：

设点MM的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是（x,y）,（x,y）,则点则点则点则点PP的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是（2cos（2cos,2sin,2sin）.）.由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得因此，点因此，点因此，点因此，