指数型、对数型函数模型的应用实例.ppt

指数型、对数型函数模型的应用实例.ppt

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第第22课时课时指数型、对数型指数型、对数型函数模型的应用实例函数模型的应用实例20032003年年55月月88日，西安交通大学医学院紧急启动日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于领一批专家昼夜攻关，于55月月1919日初步完成了第一批成果，并制日初步完成了第一批成果，并制成了供决策部门参考的应用软件。

这一数学模型利用实际数据成了供决策部门参考的应用软件。

这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分析报告说，分析报告说，就全国而论，非典病人延迟隔离就全国而论，非典病人延迟隔离11天，就医人数将增加天，就医人数将增加10001000人左人左右；若外界输入右；若外界输入10001000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数加患病人数100100人左右；若人左右；若44月月2121日以后，政府不采取隔离措施，日以后，政府不采取隔离措施，则高峰期病人人数将达则高峰期病人人数将达6060万人。

这项研究在充分考虑传染病控万人。

这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。

和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。

例例1.1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为按复利计算利息的一种储蓄，本金为aa元，每期利率元，每期利率为为rr，设本利和为，设本利和为yy，存期为，存期为xx，写出本利和，写出本利和yy随存期随存期xx变化变化的函数式。

如果存入本金的函数式。

如果存入本金10001000元，每期利率元，每期利率2.25%2.25%，试计，试计算算55期后的本利和是多少？

期后的本利和是多少？

复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为PP，每期利，每期利率为率为rr，本利和为，本利和为y,y,存期为存期为x,x,则复利函数式为则复利函数式为y=p（1+r）y=p（1+r）xx.思路分析思路分析解：

解：

11期后本利和为期后本利和为：

22期后本利和为期后本利和为：

xx期后，本利和为期后，本利和为：

将将a=1000a=1000元，元，r=2.25%r=2.25%，x=5x=5代入上式：

代入上式：

由计算器算得：

由计算器算得：

y=1117.68y=1117.68（元）（元）其中其中tt表示经过的时间，表示经过的时间，表示表示tt00时的人口数，时的人口数，rr表示人口的年平均增长率表示人口的年平均增长率.例例2.2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。

口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。

早在早在17981798年，英国经济学家马尔萨斯（年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus,T.R.Malthus,1766-1834）1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：

就提出了自然状态下的人口增长模型：

年份19501950195119511952195219531953195419541955195519561956195719571958195819591959人数万人5519655196563005630057482574825879658796602666026661456614566282862828645636456365994659946720767207下表是下表是1950195019591959年我国的人口数据资料：

年我国的人口数据资料：

（1）

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到率（精确到0.00010.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;（22）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到1313亿亿?

解解:

（11）设设1951195119591959年的人口增长率分别为年的人口增长率分别为于是于是,1951,195119591959年期间年期间,我国人口的年均增长率为我国人口的年均增长率为由由可得可得19511951的人口增长率为的人口增长率为同理可得，同理可得，根据表格中的数据作出散点图根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象并作出函数的图象.令令则我国在则我国在1950195019591959年期间的人口年期间的人口增长模型为增长模型为由图可以看出由图可以看出,所得模型所得模型与与1950195019591959年的实际人口数据基本吻合年的实际人口数据基本吻合.所以所以,如果按上表的增长趋势如果按上表的增长趋势,那么大约在那么大约在19501950年后的第年后的第3939年年（即即19891989年年）我国的人口就已达到我国的人口就已达到1313亿亿.由此可以看到由此可以看到,如果不实行计划生育如果不实行计划生育,而是让人口自然增长而是让人口自然增长,今天我国将今天我国将面临难以承受的人口压力面临难以承受的人口压力.（11）将）将y=130000y=130000代入代入由计算器可得由计算器可得（22）海拔为）海拔为hh米处的大气压强为米处的大气压强为0.5066（100.5066（1055Pa）Pa），求该处的海拔求该处的海拔hh（c,kc,k为常量）为常量）y=cey=cekxkx在海拔在海拔5（km）5（km）处的大气压强为处的大气压强为0.5683（100.5683（1055Pa）Pa），在海拔在海拔5.5（km）5.5（km）处的大气压强为处的大气压强为0.5366（100.5366（1055Pa）Pa），（11）问海拔）问海拔6.712（km）6.712（km）处的大气压强约为多少？

处的大气压强约为多少？

（精确到（精确到0.0001）0.0001）yy与与xx之间的函数关系式是之间的函数关系式是是是y（10y（1055Pa）Pa），练习练习:

科学研究表明：

在海拔科学研究表明：

在海拔x（km）x（km）处的大气压强处的大气压强解：

解：

（1）

（1）把把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366代入函数表达式代入函数表达式y=cey=cekxkx，得：

，得：

把把x=6.712x=6.712代入上述函数式，得代入上述函数式，得0.4668（100.4668（1055Pa）Pa）答：

答：

6.712（km）6.712（km）高空的大气压强为高空的大气压强为0.4668（100.4668（1055Pa）.Pa）.

（2）

（2）由由1.011.01ee-0.115x-0.115x=0.5066=0.5066答答:

该处的海拔为该处的海拔为6（km）6（km）解得解得x=6（km）x=6（km）例例33以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表身高身高（cm）体重体重（kg）（kg）60607070808090901001001101101201201301301401401501501601601701706.136.137.907.909.999.9912.1512.1515.0215.0217.5017.5026.8626.8620.9220.9231.1131.1138.8538.8547.2547.2555.0555.05根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型，根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高ykgykg与身高与身高xcmxcm的函数关系？

试写出这个函数的解析式的函数关系？

试写出这个函数的解析式若体重超过相同身高男性体重平均值的若体重超过相同身高男性体重平均值的1.21.2倍为偏胖，倍为偏胖，低于低于0.80.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175cm175cm体体重重78kg78kg，他的体重是否正常？

，他的体重是否正常？

分析：

分析：

（1）

（1）根据上表的数据描点画出图象（如下）根据上表的数据描点画出图象（如下）

（2）

（2）观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数线，根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数y=y=abx来近似反映来近似反映.解：

解：

将已知数据输入计算机，画出图像；将已知数据输入计算机，画出图像；如果取其中的两组数据（如果取其中的两组数据（7070，7.907.90）（）（160160，47.2547.25）根据图像，选择函数根据图像，选择函数进行拟合进行拟合代入函数代入函数由计算器得由计算器得从而函数模型为从而函数模型为将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系身高的关系所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为以选为将将x=175x=175代人代人得得有计算器计算得有计算器计算得yy63.9863.98，所以，这个男生体重偏胖所以，这个男生体重偏胖由于由于点评：

点评：

函数拟合与预测的步骤：

函数拟合与预测的步骤：

能够根据原始数据、表格能够根据原始数据、表格,绘出散点图；绘出散点图；通过考察散点图通过考察散点图,画出画出“最贴近最贴近”的直线或曲线，的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况几乎是不可能发生的这种情况几乎是不可能发生的利利用用函函数数关关系系式式，根根据据条条件件对对所所给给问问题题进进行行预预测测和和控制，为决策和管理提供依据控制，为决策和管理提供依据因因此此，使使实实际际点点尽尽可可能能均均匀匀分分布布在在直直线线或或曲曲线线两两侧侧，使使两两侧侧的的点点大大体体相相等等，得得出出的的拟拟合合直直线线或或拟拟合合曲曲线线就就是是“最贴近最贴近”的了的了根根据据所所学学函函数数知知识识，求求出出拟拟合合直直线线或或拟拟合合曲曲线线的的函函数关系式数关系式为常数为常数），已知四月份该产品的产量为已知四月份该产品的产量为1.371.37万件，万件，请问：

用以上那个函数作模拟函数较好？

说明理由。

请问：

用以上那个函数作模拟函数较好？

说明理由。

练习：

练习：

某工厂今年某工厂今年11月、月、22月、月、33月生产某产品分别为月生产某产品分别为11万万件、件、1.21.2万件、万件、1.31.3万件，为估计以后每月的产量，以这万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量三个月的产量为依据，