平面向量的正交分解及坐标表示及坐标运算.ppt
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平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐标表示及坐标表示复习复习平面向量基本定理平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a=1e1+2e2
（1）我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
（2）基底不唯一，关键是不共线；（3）由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式唯一.1,2是被a,e1、e2唯一确定的数量。
a=1e1+2e2复习复习G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量1a1和2a2,使a=1a1+2a2新课引入新课引入G与与F1,F2有什么关系有什么关系?
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正正交交分分解解若两个不共线向量互相垂直时a1a12a2F1F2G正交分解正交分解我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。
ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj把（x,y）叫做向量a的坐标，记作a=（x,y）其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标i=j=0=（1,0）（0,1）（0,0）ayOxxiyjjia=（x,y）yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?
ab能说出向量b的坐标吗?
b=（x,y）yxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。
yxOji设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y）就是点A的坐标；a（x,y）因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
反过来，点A的坐标（x,y）也就是向量OA的坐标。
练习练习:
在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量.解：
解：
如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：
同理，b=-2i+3j=（-2,3）c=-2i-3j=（-2,-3）d=2i-3j=（2,-3）yxO1234-4-3-2-154321-1-2-3-4-5ji1234由图可知a=AA1+AA2=2i+3j,a=（2,3）例例1.用基底用基底i,j分别表示向量分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.-4-3-2-11234AB12-2-1xy453若若则则问问1:
设设的坐标与的坐标与的坐标有何关系的坐标有何关系?
问问2:
2:
相等向量的坐标相等向量的坐标有什么关系？
有什么关系？
1AB1xyA1B1（x1,y1）（x2,y2）P（x,y）结结论论11:
一一个个向向量量的的坐坐标标等等于于表表示示此此向向量量的的有有向向线线段段终终点点的的坐坐标标减减去去始始点的坐标。
点的坐标。
向量的坐标与点的坐标关系向量向量P（x，y）一一一一对对应应小结小结:
对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解:
（1）
（1）任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标;
（2）
（2）向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标向量的坐标.（3）（3）相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.练习练习:
在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量.解：
解：
（二）平面向量的坐标运算：
（二）平面向量的坐标运算：
结论结论22：
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向：
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差量相应坐标的和与差.结论结论33：
实数与向量数量积的坐标等于用这个实数：
实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标乘原来向量的相应坐标.已知已知，求，求的坐标的坐标.OxyB（x2,y2）A（x1,y1）结结论论11:
一一个个向向量量的的坐坐标标等等于于表表示示此此向向量量的的有有向向线段终点的坐标减去始点的坐标。
线段终点的坐标减去始点的坐标。
从向量运算的角度从向量运算的角度例例3已知三个力已知三个力（3,4）,（2,5）,（x,y）的合力的合力+=求求的坐的坐标。
解：
由解：
由题设+=得：
得：
（3,4）+（2,5）+（x,y）=（0,0）即：
即：
（5,1）例例5：
已知平行四边形：
已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别为（坐标分别为（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标。
的坐标。
xyOA（-2,1）B（-1,3）C（3,4）D（x,y）OyxABCD例例5：
已知平行四边形：
已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标的三个顶点的坐标分别是（分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标的坐标.变变式：
式：
已知平面上三点的坐标分别为已知平面上三点的坐标分别为A（2,1）,B（1,3）,C（3,4），求点求点D的坐标的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
使这四点构成平行四边形四个顶点。
OyxABC解：
解：
当平行四边形为当平行四边形为ADCB时，时，由由得得D1=（2,2）当平行四当平行四边形形为ACDB时，得得D2=（4,6）D1D2当平行四边形为当平行四边形为DACB时，时，得得D3=（6,0）D3课堂总结课堂总结:
1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念:
2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解:
3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算:
（1）
（1）任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标;
（2）
（2）向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；（3）（3）相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.4.4.能初步运用向量解决平面几何问题能初步运用向量解决平面几何问题:
“向量向量”的思的思想想随堂练习随堂练习坐标是坐标是AA、（3,2）B（3,2）B、（2,3）C（2,3）C、（-3,-2）D（-3,-2）D、（-2,-3）（-2,-3）BAA、x=1,y=3Bx=1,y=3B、x=3,y=1x=3,y=1CC、x=1,y=-3Dx=1,y=-3D、x=5,y=-1x=5,y=-1B标标坐标为坐标为AA、（x-2,y+1）B（x-2,y+1）B、（x+2,y-1）（x+2,y-1）CC、（-2-x,1-y）D（-2-x,1-y）D、（x+2,y+1）（x+2,y+1）CBB标标的坐标为的坐标为（i,j）,（i,j）,则点则点AA的坐标为的坐标为AA、（m-i,n-j）B（m-i,n-j）B、（i-m,j-n）（i-m,j-n）CC、（m+i,n+j）D（m+i,n+j）D、（m+n,i+j）（m+n,i+j）A小结小结平面向量的正交分解平面向量的正交分解平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示
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