函数的单调性与导数用.ppt

函数的单调性与导数用.ppt

《函数的单调性与导数用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的单调性与导数用.ppt（34页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

单调性的定义单调性的定义一一般般地地，设设函函数数y=f（x）的的定定义义域域为为I，如如果果对对于于定定义义域域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当x1x2时，时，

（1）

（1）都有都有f（x1）f（x2），那么说，那么说f（x）在区间在区间D上是上是增函数增函数

（2）都有都有f（x1）f（x2），那么说那么说f（x）在区间在区间D上是上是减函减函数数定义的变形：

定义的变形：

（x1-x2）【）【f（x1）-f（x2）】0.增增（x1-x2）【）【f（x1）-f（x2）】0.减减表现在图像上：

表现在图像上：

增升，减降增升，减降判断函数单调性有哪些方法？

判断函数单调性有哪些方法？

xyo函数在函数在上为上为_函数，函数，在在上为上为_函数。

函数。

图象法图象法定义法定义法减减增增基本初等函数法基本初等函数法思考：

那么如何求出下列函数的单调性呢思考：

那么如何求出下列函数的单调性呢?

（1）f（x）=2x

（1）f（x）=2x33-6x-6x22+7+7

（2）f（x）=e

（2）f（x）=exx-x+1-x+1（3）f（x）=sinx-x（3）f（x）=sinx-x发现问题：

发现问题：

用单调性定义讨论函数单调性虽然用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。

例如：

时。

例如：

2x2x33-6x-6x22+7+7，是否有更为简捷的方法，是否有更为简捷的方法呢？

下面我们通过函数的呢？

下面我们通过函数的y=xy=x224x4x33图象来图象来考察考察单调性单调性与与导数导数有什么关系有什么关系2yx0.再观察函数再观察函数y=xy=x224x4x33的图象：

的图象：

总结总结:

该函数在区该函数在区间（间（，2）上）上单单减减,切线斜率切线斜率小于小于0,即其即其导数为负导数为负;而当而当x=2时其切线时其切线斜率为斜率为0,即即导数为导数为0.函数在该点单调性函数在该点单调性发生改变发生改变.在区间（在区间（2，+）上上单增单增,切线斜率切线斜率大于大于0,即其即其导数为导数为正正.xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系.注意：

注意：

应正确理解应正确理解“某个区间某个区间”的含义的含义,它它必是定义域内的某个区间。

必是定义域内的某个区间。

课本思考课本思考思考思考1：

如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有，那么函数，那么函数有什么特性？

有什么特性？

几何意义：

几何意义：

关系：

关系：

思考思考2：

结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。

的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。

例例11、已知导函数、已知导函数的下列信息：

的下列信息：

当当1x41x0;0;当当x4,x4,或或x1x1时，时，0;0从而函数f（x）=x3+3x在xR上单调递增，见右图。

（2）f（x）=sinx-x;x（0,）解：

=cosx-10从而函数f（x）=sinx-x在x（0,）单调递减，见右图。

例例33如图如图,水以常速水以常速（即单位时间内注入水的体即单位时间内注入水的体积相同积相同）注入下面四种底面积相同的容器中注入下面四种底面积相同的容器中,请请分别找出与各容器对应的水的高度分别找出与各容器对应的水的高度hh与时间与时间tt的函的函数关系图象数关系图象.（B）（B）（C）（C）hhhhhhhh（A）（A）（D）（D）ttOttOttOttO一般地一般地,如果一个函数在某一范围内如果一个函数在某一范围内导数导数的绝对值较大的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快,这时这时,函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”（向上或向上或向下向下）;反之反之,函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些.如图如图,函数函数在在或或内的图内的图象象“陡峭陡峭”,在在或或内的图象内的图象平缓平缓.设设是函数是函数的导函数，的导函数，的图象如的图象如右图所示右图所示,则则的图象最有可能的是的图象最有可能的是（）xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2（A）（B）（C）（D）CA求参数的取值范围求参数的取值范围证明：

令证明：

令f（x）=e2x12x.f（x）=2e2x2=2（e2x1）x0，e2xe0=1，2（e2x1）0,即即f（x）0f（x）=e2x12x在在（0，+）上是增函数上是增函数.f（0）=e010=0.当当x0时，时，f（x）f（0）=0，即，即e2x12x0.1+2xe2x证明问题：

证明问题：

当当x0时，证明不等式：

时，证明不等式：

1+2xe2x.分析：

假设令分析：

假设令f（x）=e2x12x.f（0）=e010=0,如果能够证明如果能够证明f（x）在在（0，+）上是增函数，那么上是增函数，那么f（x）0，则不等式就可以证明，则不等式就可以证明.点评：

点评：

所以以后要证明不等式时，可以利用函数所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为为0.提示提示:

运用导数判断单调性运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小根据函数的单调性比较函数值大小3.3.设设f（x）=ax3+x恰有三个单调区间，试确定恰有三个单调区间，试确定a的取值范的取值范围，并求其单调区间。

围，并求其单调区间。

例例3：

方程根的问题：

方程根的问题求证：

方程求证：

方程只有一个根。

只有一个根。

B练习练习2.函数函数的图象如图所示的图象如图所示,试画出导函试画出导函数数图象图象的大致形状的大致形状例例2：

解：

由已知得解：

由已知得因为函数在（因为函数在（0，1上单调递增上单调递增在某个区间上，在某个区间上，f（x）在这个区间上单调递增）在这个区间上单调递增（递减）；但由（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到仅仅得到是不够的。

还有可能导数等于是不够的。

还有可能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证http:

/www.99dyw.co/九九电影网九九电影网http:

/www.99dyw.tv/九九电影网九九电影网http:

/九九电影网九九电影网天堂网天堂网2014天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网2014www.avttt2015.info天堂网天堂网2014www.avttv2017.info天堂网天堂网2014www.avttv2017.org天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网2014www.avttv2018.org天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网天堂网2014http:

/http:

/http:

/http:

/http:

/http:

/http:

/http:

/