浙大第四版概率论与数理统计知识点总结.docx

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浙大第四版概率论与数理统计知识点总结

第1章随机事件及其概率

（1）排列组合公式

P；m!

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数

（mn）!

cmm!

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数

n!

（mn）!

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：

m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种

方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：

mxn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个

步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mxn种方法来完成。

（3）一些常见排列

重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）

顺序冋题

（4）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

1每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

2任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用

大写字母A,B,C,…表示事件，它们是的子集。

为必然事件，？

为不可能事件。

不可能事件（？

）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件

B发生）：

AB

如果同时有AB，BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：

A=B

A、B中至少有一个发生的事件：

AB,或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为

A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。

AB同时发生：

AB,或者ABAB=?

，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相谷或者互斥。

基本事件疋互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。

它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CAU（BUC）=（AUB）UC

分配率：

（AB）UC=（AUC）A（BUC）（AUB）AC=（AC）U（BC）

Ai瓦

德摩根率：

i1i1ABAB,ABAB

（7）概率的公理化定义

设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：

1°0

2°P（Q）=1

3°对于两两互不相容的事件A1，A，…有

PAiP（Ai）

i1i1

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件A的概率。

（8）古典概型

11,2n，

1

2°P

（1）P

（2）P（n）—。

n

设任一事件A，它是由1,2m组成的，则有

P（A）=

（1）

（2）（m）=P

（1）P

（2）P（m）

mA所包含的基本事件数

n基本事件总数

（9）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。

对任一事件A，

P（A）。

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

L（）

（10）加

法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Q时，P（B）=1-P（B）

（12）条

件概率

定义设AB是两个事件，且P（A）>0，则称fiAB）为事件A发生条

P（A）

件下，事件B发生的条件概率，记为P（B/A）旦AB2。

P（A）

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Q/B）=1P（B/A）=1-P（B/A）

（13）乘法公式

乘法公式：

P（AB）P（A）P（B/A）

更一般地，对事件A,A,…A,若P（AA…A-1）>0，则有

P（A1A2…An）P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）P（An|A1A2…

An1）0

（14）独

立性

1两个事件的独立性

设事件A、B满足P（AB）P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立，且P（A）0，则有

P（B|A）P（AB）P（A）P（B）P（B）

P（A）P（A）

若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。

必然事件和不可能事件？

与任何事件都相互独立。

?

与任何事件都互斥。

2多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）;P（BC）=P（B）P（C）;P（CA）=P（C）P（A）并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全

概公式

设事件B1,B2,,Bn满足

1°B1,B2,,Bn两两互不相容，P（Bi）0（|1,2,,n），

n

ABi

2°i1，（分类讨论的

则有

P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（Bn）P（A|Bn）。

（16）贝叶斯公式

设事件B1，B2，…，Bn及A满足

1°B1，B2，…，Bn两两互不相容，P（B|）>0,i1，2,…，n,

n

ABi

2°i1,P（A）0,（已经知道结果求原因

贝U

P（Bi/A）n,i=1,2,…n。

P（Bj）P（A/Bj）

ji

此公式即为贝叶斯公式。

P（Bi）,（i1,2，…，n）,通常叫先验概率。

P（B|/A）,（i1,

2,…,n）,通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了n次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；

n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。

用P表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1pq,用

Pn（k）表示n重伯努利试验中A出现k（0kn）次的概率,

_...—kknk

Pn（k）CnPq,k0,1,2,,n。

第二章随机变量及其分布

（1）离

设离散型随机变量X的可能取值为人（k=1,2,…）且取各个值的

散型随

概率，即事件（X=X）的概率为

机变量

P（X=x<）=pk,k=1,2,…,

的分布

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

有时也用分

律

布列的形式给出：

X|x1,x2,,xk,

P（Xxk）p1,p2,,pk,。

显然分布律应满足下列条件：

pk1

（1）pk0,k1,2,,

（2）k1。

（2）连

设F（x）是随机变量X的分布函数,若存在非负函数f（x）,对任意实

续型随

数x,有

机变量

x

的分布

F（x）f（x）dx

密度

则称X为连续型随机变量。

f（X）称为X的概率密度函数或密度函数,

简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°f（x）0。

of（x）dx1

2。

（3）离散与连续型随机变量的关系

P（Xx）P（xXxdx）f（x）dx

积分元f（x）dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P（X在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

xk）pk

（4）分

设X为随机变量，x是任意实数，则函数

布函数

F（x）P（Xx）

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P（aX

b）F（b）F（a）可以得到X落入区间（a,b］的概率。

分布函数F（x）表示随机变量落入区间（-％,x］内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°0

F（x）1,x;

2°F（x）是单调不减的函数，即x1X2时，有F（x1）

F（X2）；

3°F（）limF（x）0，F（）limF（x）1;

xx

4°F

（x0）F（x），即F（x）是右连续的；

5°P（Xx）F（x）F（x0）o

对于离散型随机变量，F（x）pk;

xkx

x

对于连续型随机变量，F（x）f（x）dxo

（5）八

大分布

0-1分布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

二项分布

在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。

事件A

发生的次数是随机变量，设为

X，则X可能取值为

0,1,2,,n。

P（Xk）Pn（k）C：

pkqnk，

其中

q1p,0p1,k0,1,2,,n，

则称随机变量X服从参数为n，

p的二项分布。

记为

X~B（n,p）。

当n1时，P（Xk）pkq1k，

k0.1，这就是（0-1）

分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量X的分布律为

k

P（Xk）—e，0，

k!

k0,1,2，

则称随机变量X服从参数为

的泊松分布，记为

X~（）或者P（）。

泊松分布为二项分布的极限分布（

np=入，n—x）。

超几何分

布

.一、cM?

CNkMk0,1,2

l

厂1八0）n,

CNlmin（M,n）

随机变量X服从参数为n,N,MH（n,N,M）。

的超几何分布，记为

几何分布

P（Xk）qk1p,k1,2,3,，其中p>0,q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。

均匀分布

设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数f（x）在

［a，b］上为常数

b

-，即

a

1a

f（x）

ba'

0,

其他，

则称随机变量X在［a，b］上服从均匀分布，记为X~U（a，

b）。

分布函数为

0，x

xa

baa

F（x）

x

f（x）dx

-1，x>b。

当a

X洛在区间（x1，x2）内的概率为

x2

P（x1Xx2）—b

。

a

指数分布

xre，

x0

f（x）

仁

x0

5

其中

0，则称随机变量X服从参数为的指数分

布。

X的分布函数为

厂#x

1e,

x0,

F（x）"

Lo,

x<0。

记住积分公式：

xnexdxn!

0

正态分布

设随机变量X的密度函数为

f（x）

1e22，x，

其中

、

0为常数，则称随机变量X服从参数为

、的正态分布或高斯（Gauss）分布，

记为

X~N（,

2

）。

f（x）具有如下性质：

1°f（x）的图形是关于X对称的；

2°当x

1

时，f（）-——为取大值；

2V2

若X~N（

1,

x，则X的分布函数为

F（x）丁

-e2dt

扌2

00

参数0

、

1时的正态分布称为标准正态分布，

记

为X~N（0J），其密度函数记为

（x），-—e

血，x，

分布函数为

xt2

（x）L

e2dto

丁2

（X）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

①（-x）=1-①（x）且①（0）=-。

女口果X~N（

2），则N（0,1）o

P（x1X

X2）卷x。

（6）分位数

下分位表：

P（X）=

7

上分位表：

P（X）=

0

（7）函

离散型

已知X的分布列为

数分布

x1,x2,,xn,

X

P（X

xi）

p1,p2,,pn,

Yg（X）的分布列（yg（xj互不相等）如下：

Y

g（x1）,g（x2）,,g（xn）,

p（yyi）

xi）相等,则应将对应的Pi相加作为g（Xi）的

若有呆些g（

概率。

连续型

先利用X的概率密度fx（x）写出丫的分布函数F（y）=

P（g（X）

⑷。

第三章二维随机变量及其分布

如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列

个有序对（x,y），则称为离散型随机量。

设=（X，Y）的所有可能取值为（x「yj）（i,j1,2,），

且事件｛=（Xi，yj）｝的概率为pj,,称

P{（X,Y）（Xi，yj）}Pj（i,j1,2,）

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分

（2）Pij1.

ij

连续型

对于二维随机向量（X,Y），如果存在非负函数

f（x,y）（x,y），使对任意一个其邻边

分别平仃于坐标轴的矩形区域D,即D-｛（X,Y）|a

有

P{（X,Y）D}f（x,y）dxdy,

D

则称为连续型随机向量；并称f（x,y）为=（X，Y）的分布

密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）>0;

（2）f（x,y）dxdy1.

（2）二维随机变量的本质

（Xx,Y

y）（Xxyy）

（3）联合

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

分布函数

F（x,y）P{Xx,Yy}

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函

数。

分布函

数是一个以全平面为其定义域，以事件

{（1，2）|

X

（1）x,Y

（2）y｝的概率为函数值的一个实值函

数。

分布函数

F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）0F（x,y）1；

（2）F（x,y）

分别对x和y是非减的，即

当X2>X1时，有

F（X2,y）>F（X1,y）;当护屮时，有F（x,y2）>F（x,y1）;

（3）F（x,y）

分别对x和y是右连续的，即

F（x,y）F（x0,y）,F（x,y）F（x,y0）;

（4）F（,

）F（,y）F（x,）0,F（,）1.

（5）对于x1

X2，y1y2，

F（X2,y2）

F（X2,yjF（X1，y2）Fg,yj0.

（4）离散型与连续型的关系

P（Xx，Y

y）P（xXxdx，yYydy）f（x，y）dxdy

（5）边缘分布

离散型

X的边缘分布为

Pi?

P（XXi）Pij（i,j1,2,）；

j

Y的边缘分布为

P?

jP（Yyj）Pij（i,j1,2,）。

i

连续型

X的边缘分布密度为

fx（x）f（x,y）dy;

Y的边缘分布密度为

fY（y）f（x,y）dx.

（6）条件分布

离散型

在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为

Pij

P（Yyj|Xxj丄；

Pi?

在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为

Pij

P（XxJYyj）丄，

P?

j

连续型

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

「1、f（x,y）

f（x|y）；

fY（y）

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

f（y|x）常

fx（X）

（7）独立性

一般型

[F（X,Y）=Fx（x）FY（y）

离散型

PijPi?

P?

j

有零不独立

连续型

f（x,y）=fx（x）fY（y）

直接判断，充要条件：

1可分离变量

2正概率密度区间为矩形

二维正态分布

22

1x12（x1）（y2）y2

12（12）1122

f（x,y）:

e,

212

=0

随机变量的

函数

若X1,X2,…XmXm+1,…X相互独立，h,g为连续函数，则：

h（X1,X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，则：

3X+1和5Y-2独立。

（9）二维

设随机向量（X，Y的分布密度函数为

正态分布

1

e

12j12

22

1x12（x1）（y2）y2

f（x,y）

2

2（12）1122

J

其中1,2,

0，20,1

1是5个参数，则称（X,Y）服从二维正态分

布，

记为（X，Y）

〜N（1，2,1，

；,）•

由边缘密度的计算公式，可以推出二

一维正态分布的两个边缘分布仍为正态分

布，

即X〜N（1,

12），Y~N（2,

2）.

但是若X〜N（

1，12）,Y~N（

22）,（X,Y）未必是二维正态分布。

（10）函数

分布

Z=X+Y

根据定义计算：

Fz（z）P（Zz）P（XYz）

对于连续型，fz（z）=f（x,zx）dx

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,122）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

C

Ti?

i

2c22

2ii

i

Z=max,min（

X1,X2,…Xn）

若X1,X2X

n相互独立，其分布函数分别为

Fx（x）,Fx（x）

Fxn（x），则Z=max,min（X1,X2,…Xn）的分布

函数为：

Fmax（x）Fx,（X）?

Fx2（X）Fxn（x）

Fmin（x）1[1

Fx1（x）]?

[1Fx2（x）][1Fxn（x）]

2分布

设n个随机变量Xi,X2,,Xn相互独立，且服从标准正态分

布，可以证明它们的平方和

n

2

WXi

i1

的分布密度为

1n1u

nu2e2u0,

f（u）22n

2

0,u0.

我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为W-2（n）,

其中

nn1

x2edx.

20

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量

分布中的一个重要参数。

2

分布满足可加性：

设

Yi2（nJ,

则

k

2

ZYi~（n1n2nk）.

i1

t分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量，且

X~N（0,1）,Y~2（n）,

可以证明函数

T

vY/n

的概率密度为

n1n1

2t2~

f（t）21t（t）.

/nn

*n一

2

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T〜t（n）。

t1（n）t（n）

F分布

设X~2（n1）,Y~2（n2），且X与Y独立，可以证明

lX/山

F的概率密度函数为

Y/n2

“1“2比叫匕

2E2弓―ni2门

f（y）y1y，y0f（y）n1n2n2n2

22

0,y0

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2

的F分布，记为F〜f（n1,n2）.

1

F1（n1,n2）

F（n2,nJ

第四章随机变量的数字特征

（1）

离散型

连续型

一维

期望

设X是离散型随机变量，其分布

设X是连续型随机变量，其概率密

随机

期望就是平均值

度为f（x）,

变量

律为p（XXk）=pk,

的数

k=1,2,…,n,

E（X）xf（x）dx

字特

n

征

E（X）XkPk

k1

（要求绝对收敛）

（要求绝对收敛）

函数的期望

Y=g（X）

Y=g（X）

n

E（Y）g（Xk）Pk

k1

E（Y）g（x）f（x）dx

方差

2

D（X）=E[X-E（X）],

D（X）[XkE（X）]2pk

D（X）[xE（X）]2f（x）dx

标准差

k

（X）JD（X）,

矩

①对于正整数k，称随机变量X

①对于正整数

k,称随机变量X的

的k次幕的数学期望为X的k

k次幕的数学期望为X的k阶原点

阶原点矩，

记为Vk,即

矩，记为Vk,

即

Vk=E（Xk）=Xikpi,

i

vk=E（Xk）=

xkf（x）dx,

k=1,2,…

k=1,2,