浙大第四版概率论与数理统计知识点总结.docx

1、浙大第四版概率论与数理统计知识点总结第1章随机事件及其概率（1）排列 组合公式P； m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数（m n）!cm m! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数n !（m n）!（2）加法 和乘法原 理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由 m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mx n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由 mx n种方法来完成。（3）一些 常见排列重复排列和非重复排列（有

2、序） 对立事件（至少有一个）顺序冋题（4）随机 试验和随 机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则 称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本 事件、样 本空间和 事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事 件，它具有如下性质：1每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；2任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。

3、通常用大写字母A, B, C,表示事件，它们是 的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件（？）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Q）的概率为1，而概率为1的事件也不一定 是必然事件。（6）事件 的关系与 运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A B如果同时有A B，B A，则称事件A与事件B等价，或称A 等于B： A=BA、B中至少有一个发生的事件：A B,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。A B同时发生：A B,或

4、者AB A B=?，则表示A与B不可能同 时发生，称事件A与事件B互不相谷或者互斥。基本事件疋互不 相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C)A (B U C) (A U B) A C=(AC)U (BC)Ai 瓦德摩根率：i1 i 1 A B A B , A B A B(7)概率 的公理化 定义设 为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0 P(A) 0，则称fiAB)为事

5、件A发生条P(A)件下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A) 旦AB2。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( Q /B)=1 P(B/A)=1-P(B/A)(13 )乘 法公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，对事件 A, A,A,若P(AAA-1)0，则有P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An | A1A2 An 1) 0(14)独立性1两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独 立的。若事件A、B相互独立，且P(A) 0，则有P(B|A) P(AB)

6、 P(A)P(B) P(B)P(A) P(A)若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都 相互独立。必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。2多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C); P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。(15)全概公式设事件B1,B2, ,Bn满足1 B1,B2, , Bn两两互不相容，P(Bi) 0(| 1,2, ,n)，nA Bi2 i 1 ，(分类讨论的则有P(

7、A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2) P(Bn)P(A| Bn)。(16 )贝 叶斯公式设事件B1，B2，Bn及A满足1 B1，B2，Bn 两两互不相容，P(B|)0, i 1，2,， n,nA Bi2 i 1 , P(A) 0 ,(已经知道结果求原因贝UP（Bi / A） n ,i=1 , 2,n。P（Bj）P（A/Bj）j i此公式即为贝叶斯公式。P（Bi） , （ i 1 , 2，n）,通常叫先验概率。P（B| / A） , （i 1 ,2,n ）,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概 率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17 ）伯 努利概型我们作了

8、 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1 p q ,用Pn（k）表示n重伯努利试验中A出现k（0 k n）次的概率,_ . . k k n kPn（k） CnPq , k 0,1,2, ,n。第二章随机变量及其分布(1 )离设离散型随机变量X的可能取值为人（k=1,2,）且取各个值的散型随概率，即事件（X=X）的概率为机变量P(X=x0, q=1-p。

9、随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。均匀分布设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数f（x）在a，b上为常数b-，即a1 a xw bf(x)b a 0,其他，则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为XU（a，b)。分布函数为0， xa，x ab a ab。当 a xi X2 b 时，X洛在区间（x1，x2 ）内的概率为x2P(x1 X x2) b。a指数分布x r e，x 0f (x)仁x 05其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为厂# x1 e ,x 0,F(x)L o,x0。记住积分公式：xne xdx n!0正态分布设随机变量X的密度函数为f(x

10、)1 e 2 2， x ，其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X N(,2）。f（x）具有如下性质：1 f（x）的图形是关于X 对称的；2 当x1时，f （）-为取大值；2 V2若 XN(1,x，则X的分布函数为F(x) 丁-e 2 dt扌20 0参数 0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为X N（0J），其密度函数记为（x） ，-e血，x ，分布函数为x t2(x) Le 2 dt o丁2（X）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。（-x） = 1-（x）且 （0）=-。女口果X N （,2)，则 N(0,1) oP(x1 XX2 )

11、卷 x 。（6）分 位数下分位表：P(X )=7上分位表：P(X )=0（7）函离散型已知X的分布列为数分布x1, x2, , xn,XP(Xxi)p1, p2, , pn,Y g（X）的分布列（y g（xj互不相等）如下：Yg(x1), g(x2), , g(xn),p(y yi)xi）相等,则应将对应的Pi相加作为g（Xi）的若有呆些g（概率。连续型先利用X的概率密度fx（x）写出丫的分布函数 F（y）=P（g（X） y），再利用变上下限积分的求导公式求出。第三章二维随机变量及其分布如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。设 =（X，Y

12、）的所有可能取值为（xyj）（i,j 1,2,），且事件 =（Xi，yj）的概率为pj,称P(X,Y) (Xi，yj) Pj(i, j 1,2,)为 =（X，Y）的分布律或称为 X和Y的联合分布律。联合分(2) Pij 1.i j连续型对于二维随机向量 （X,Y），如果存在非负函数f （x, y）（ x , y ），使对任意一个其邻边分别平仃于坐标轴的矩形区域 D,即D-（X,Y）|axb,cy 0;(2) f (x, y)dxdy 1.（2）二维 随机变量 的本质(X x,Yy) (X x y y)（3）联合设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数分布函数F(x,y) PX

13、 x,Y y称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件( 1， 2)|X（ 1） x, Y（ 2） y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：(1)0 F(x, y) 1；（2）F（ x,y）分别对x和y是非减的，即当X2X1时，有F (X2,y ) F(X1,y);当 护屮时，有 F(x,y 2) F(x,y 1);（3）F（ x,y）分别对x和y是右连续的，即F(x, y) F(x 0, y), F(x,y) F(x,y 0);（4）F（,)F( , y) F(x, ) 0,F( , )

14、 1.（5）对于x1X2， y1 y2，F(X2, y2)F(X2, yj F(X1，y2) Fg, yj 0.（4）离散 型与连续 型的关系P(X x，Yy) P(x X x dx， y Y y dy) f (x， y)dxdy(5)边缘 分布离散型X的边缘分布为Pi? P(X Xi) Pij(i,j 1,2,)；jY的边缘分布为P?j P(Y yj) Pij(i, j 1,2,)。i连续型X的边缘分布密度为fx(x) f(x,y)dy;Y的边缘分布密度为fY(y) f (x, y)dx.(6)条件 分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PijP(Y yj |X xj 丄；Pi?

15、在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为PijP(X xJY yj)丄，P?j连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 1 、 f(x,y)f(x|y)；fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(y|x)常fx(X)(7)独立 性一般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)离散型Pij Pi?P?j有零不独立连续型f(x,y)=f x(x)f Y(y)直接判断，充要条件：1可分离变量2正概率密度区间为矩形二维正态分 布2 21 x 1 2 (x 1 )(y 2) y 21 2(1 2 ) 1 1 2 2f (x,y) : e ,2 1 2=0随机变量的函数若X1,X2,XmX

16、m+1,X相互独立，h,g为连续函数，则： h (X1, X2,Xm) 和 g ( Xm+1,Xn)相互独立。特例：若X与Y独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若 X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。（9）二维设随机向量（X，Y的分布密度函数为正态分布1e1 2 j1 22 21 x 1 2 (x 1)(y 2) y 2f(x, y)22(1 2) 1 1 2 2J其中1, 2,0， 2 0,11是5个参数，则称（X, Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N ( 1， 2, 1 ，；,)由边缘密度的计算公式，可以推出二一维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN ( 1,12)，

17、YN( 2,2).但是若XN （1，12),YN(2 2） , （X, Y）未必是二维正态分布。（10）函数分布Z=X+Y根据定义计算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)对于连续型，fz(z) = f (x, z x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ 1 2, 12 2 ）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。CT i ?i2 c2 22 i iiZ=max,mi n(X1,X2,Xn)若 X1, X2 Xn相互独立，其分布函数分别为Fx (x), Fx (x)Fxn (x)，则 Z=max,min(X 1 ,X2,Xn)的分布函数为：Fmax(x) Fx,(X)

18、?Fx2(X)Fxn(x)Fmin (x) 1 1Fx1(x)?1 Fx2 (x) 1 Fxn(x)2分布设n个随机变量Xi, X2, ,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和n2W Xii 1的分布密度为1 n 1 un u2 e 2 u 0,f(u) 22 n20, u 0.我们称随机变量 W服从自由度为n的2分布，记为W- 2(n),其中n n 1x2 e dx.2 0所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设Yi 2(n J,则k2Z Yi (n1 n2 nk).i 1t分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，且X N(

19、0,1),Y 2(n),可以证明函数TvY / n的概率密度为n 1 n 12 t2 f(t) 2 1 t ( t )./n n*n 一2我们称随机变量 T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。t1 (n) t (n)F分布设X 2(n 1), Y 2(n2)，且X与Y独立，可以证明l X /山F 的概率密度函数为Y/n2“1 “2 比 叫匕2 E 2 弓ni 2 门f(y) y 1 y ，y 0 f(y) n1 n2 n2 n22 20,y 0我们称随机变量F服从第一个自由度为 n1,第二个自由度为 n2的F分布，记为 Ff(n 1, n 2).1F1 (n1, n2)F (n2, nJ第

20、四章 随机变量的数字特征(1)离散型连续型一维期望设X是离散型随机变量，其分布设X是连续型随机变量，其概率密随机期望就是平均值度为f(x),变量律为 p( X Xk ) = pk ,的数k=1,2,n ,E(X) xf(x)dx字特n征E(X) XkPkk 1(要求绝对收敛)(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)Y=g(X)nE(Y) g(Xk)Pkk 1E(Y) g(x)f(x)dx方差2D(X)=EX-E(X),D(X) Xk E(X)2pkD(X) x E(X)2 f (x)dx标准差k(X) JD(X),矩对于正整数k，称随机变量X对于正整数k,称随机变量X的的k次幕的数学期望为 X的kk次幕的数学期望为 X的k阶原点阶原点矩，记为Vk,即矩，记为Vk,即V k=E(Xk)= Xikpi ,iv k=E(Xk)=xk f (x)dx,k=1,2,k=1,2,