综合法与分析法PPT课件.ppt

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新课导入在以前的学习中，大家已经能应在以前的学习中，大家已经能应用综合法、分析法证明数学命题，但用综合法、分析法证明数学命题，但是对这些证明方法的内涵和特点，大是对这些证明方法的内涵和特点，大家又了解多少呢？

家又了解多少呢？

本节课我们对综合本节课我们对综合法和分析法这些证明方法和分析法这些证明方法进行较系统的学习法进行较系统的学习.综合法和分析法，综合法和分析法，是直接证明中最基本的两是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式学问题时常用的思维方式.教学目标【知识与能力知识与能力】1.了解直接证明的两种基本方法了解直接证明的两种基本方法综综合法和分析法合法和分析法.2.了解综合法和分析法的思考过程和特了解综合法和分析法的思考过程和特点，并归纳出操作流程框图点，并归纳出操作流程框图.3.运用综合法、分析法灵活解决数学问运用综合法、分析法灵活解决数学问题题.【过程与方法过程与方法】通过丰富的实例，引导学生通过丰富的实例，引导学生分析这些基本证明方法的思考过分析这些基本证明方法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图程与特点，并归纳出操作流程图.【情感态度与价值观情感态度与价值观】1.通过这些基本证明方法的学习，使学生通过这些基本证明方法的学习，使学生在以后的学习和生活中，能自觉、有意在以后的学习和生活中，能自觉、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯言之有理、论证有据的习惯.2.培养学生观察、分析、归纳、总结的能培养学生观察、分析、归纳、总结的能力力.教学重难点重点重点结合已经学过的数学案例，了解直接证明结合已经学过的数学案例，了解直接证明的两种基本方法的两种基本方法综合法和分析法；了解综综合法和分析法；了解综合法、分析法的思考过程、特点合法、分析法的思考过程、特点.难点难点根据问题的特点，结合综合法、分析法的根据问题的特点，结合综合法、分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用同的证明方法结合使用.不等式：

不等式：

（a0,b0）的证明的证明.运用以前学过运用以前学过的数学知识，的数学知识，大家大家自己证明试试看！

自己证明试试看！

回回忆忆动动脑动动脑你能分析一下你能分析一下这个证明的思考过这个证明的思考过程和特点吗？

程和特点吗？

证明证明:

因为因为:

所以所以所以所以所以所以成立成立再来分析再来分析一个例题一个例题.已知已知a0,b0,求证求证a（b2+c2）+b（c2+a2）4abc提示提示首先，分析待证不等式的特点：

不首先，分析待证不等式的特点：

不等式的右端是等式的右端是3个数个数a,b,c乘积的乘积的4倍，左倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积与另两个数的平方和之积.据此，只要把据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式左、右两端具有相形式，就能使不等式左、右两端具有相同的形式同的形式.其次，寻找转化的依据及证明中要其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：

应用不等式用的其他知识：

应用不等式x2+y22xy就就能实现转化，不等式的基本性质是证明能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据的依据.最后，给出具体证明：

由最后，给出具体证明：

由b2+c22ab及条件及条件a0，得得a（b2+c2）2abc；类似地，得类似地，得b（c2+a2）2abc.从而有从而有a（b2+c2）+b（c2+a2）4abc.证明证明:

b2+c22bc,a0a（b2+c2）2abc.又又c2+b22bc,b0b（c2+a2）2abc.a（b2+c2）+b（c2+a2）4abc.探究探究思考思考这些证明过程有什么相似点？

这些证明过程有什么相似点？

这些证明过程都是从已知这些证明过程都是从已知条件和某些数学定义、公理、条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出定理等出发，通过推理推导出所要的结论所要的结论.知识要知识要点点一般地，利用已知条件和某一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等些数学定义、公理、定理等,经过经过一系列的推理论证一系列的推理论证,最后推导出所最后推导出所要证明的结论成立要证明的结论成立,这种证明方法这种证明方法叫做叫做综合法综合法.其特点是其特点是“由因导果由因导果”.则综合法可用则综合法可用框图表示如下：

框图表示如下：

用用P表示已知条件、表示已知条件、已有的定义、公理、定已有的定义、公理、定理等理等,Q表示所要证明的表示所要证明的结论结论.你能用你能用框图表示综框图表示综合法吗？

合法吗？

例题例题11在在ABC中，三个内角中，三个内角A、B、C对应的对应的边分别为边分别为a、b、c，且，且A、B、C成等差数列，成等差数列，a、b、c成等比数列，求证成等比数列，求证ABC为等边三为等边三角形角形分析分析将将A，B，C成等差数列，转化为符号语成等差数列，转化为符号语言就是言就是2B=A+C；此时，如果能把角和边统一起来，那此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行于是，可以用余弦定理为工具进行证明证明.a，b，c成等比数列转化为符号语言就是成等比数列转化为符号语言就是A，B，C为为ABC的内角，这是一个隐含的内角，这是一个隐含条件，即条件，即A+B+C=180；证明：

证明：

由由AA，BB，CC成等差数列，有成等差数列，有2B=A+C.因为因为AA，BB，CC为为CC的内角的内角,所以所以+=180.由由a，b，c成等比数列，有成等比数列，有由由，得，得，得，得由由，得，得由余弦定理及由余弦定理及，可得，可得再由再由，得，得即即因此因此a=c.从而从而A=C.由由,得得所以所以C为等边三角形为等边三角形.注意注意解决数学问题时，往往要先做语言的转解决数学问题时，往往要先做语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来析，把其中的隐含条件明确表示出来.不等式：

不等式：

（a0,b0）（a0,b0）的证明的证明.动动脑动动脑大家想一想，大家想一想，除了综合法，还有除了综合法，还有别的证明方法吗？

别的证明方法吗？

证明证明:

要证要证只需证只需证:

只需证只需证:

只需证只需证:

因为因为:

成立成立所以所以成立成立类比综合法，类比综合法，你能分析一下这个你能分析一下这个证明的思考过程和证明的思考过程和特点吗？

特点吗？

要证明结论成立，逐步寻求推证过要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件一个明显成立的条件（已知条件、定理、已知条件、定理、定义、公理等定义、公理等）为止为止.这类证法的特点是这类证法的特点是:

这就是另一种证这就是另一种证明方法明方法分析法分析法.知识要知识要点点一般地，从要证明的结论出发，逐一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做这种证明的方法叫做分析法分析法特点：

特点：

执果索因执果索因.类似综合法，我们也可类似综合法，我们也可以后框图来表示分析法：

以后框图来表示分析法：

得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论分析法的适用范围：

分析法的适用范围：

当已知条件与结论之间的联系不够明显、直当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法寻求使当前命题成立的充分条件的方法.注意注意例题例题22分析分析从待证不等式不易发现证明的出发从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件分析其成立的充分条件.证明：

证明：

只需证只需证展开得展开得只需证只需证因为因为和和都是正数，所以要证都是正数，所以要证只需证只需证2125.因为因为2125成立，所以成立，所以成立成立.反思反思在本例中，如果我们从在本例中，如果我们从“2125”出出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论结论.但由于我们很难想到从但由于我们很难想到从“2125”入入手，所以用综合法比较困难手，所以用综合法比较困难.请对综合法与分析法进行比较，说出请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识说你对这两种证明方法的新认识.综合法就是利用已知条件和某些数综合法就是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等学定义、公理、定理等,经过一系列的推经过一系列的推理论证理论证,最后推导出所要证明的结论成立最后推导出所要证明的结论成立.分析法最大的特点就是执果索因分析法最大的特点就是执果索因.注意注意事实上，在解决问题时，我们把综合事实上，在解决问题时，我们把综合法和分析法结合起来使用：

根据条件的结法和分析法结合起来使用：

根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论构特点去转化结论，得到中间结论；根；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论结论.若由若由可以推出可以推出成立，就可以成立，就可以证明结论成立证明结论成立.例题例题33求证求证分析分析比较已知条件和结论，发现结论中没有比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角出现角，因此，因此第一步工作可以从已知条件第一步工作可以从已知条件中消去中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系含数量关系，于，于是，由是，由

（1）

（1）-2

（2）得得.把它把它与结论相比较，与结论相比较，发现角相同，但函数名不同发现角相同，但函数名不同.于是尝试转化结论：

于是尝试转化结论：

统一函数名称，统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数即把正切函数化为正（余）弦函数.把结把结论转化为论转化为再与再与比较，发现只要比较，发现只要把把的角的余弦的角的余弦转化为正弦，就能达到目的转化为正弦，就能达到目的.证明：

证明：

（3）由于上式与由于上式与相同，于是问题得证相同，于是问题得证.课堂小结1.综合法的概念综合法的概念：

一般地，利用已知条件和某些数学定一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等义、公理、定理等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立最后推导出所要证明的结论成立,这种证明这种证明方法叫做方法叫做综合法综合法.2.分析法的概念分析法的概念:

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分分析法析法3.分析法的适用范围分析法