平面几何中的向量方法.ppt

平面几何中的向量方法.ppt

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平面向量应用举例用向量的方法研究平面几何用向量的方法研究平面几何向量概念和运算，都有明确的物理背景和向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。

当向量与平面坐标系结合以后，向几何背景。

当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为量的运算就可以完全转化为“代数代数”的计算，的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。

的方便。

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。

可以解决平面几何中的一些问题。

引入引入问题：

问题：

平行四边形是表示向量加法与减法的几平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。

如图，你能发现平行四边形对角线的何模型。

如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

长度与两条邻边长度之间的关系吗？

ABCD猜想：

猜想：

1.1.长方形对角线的长度长方形对角线的长度长方形对角线的长度长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有何关系？

何关系？

何关系？

何关系？

2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？

类比猜想，平行四边形有相似关系吗？

例例1、证明平行四边形四边平、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和方和等于两对角线平方和ABDC已知：

平行四边形已知：

平行四边形ABCD。

求证求证：

分析：

因为平行四边形对边平行且相等，分析：

因为平行四边形对边平行且相等，故设故设,其它线段对应向量用它们其它线段对应向量用它们表示。

表示。

例题例题ABDC解解:

设设，则，则例题例题变式变式1、证明平行四边形两对、证明平行四边形两对角线互相平分角线互相平分ABDC例题例题M用向量法解平面几何问题的基本思路用向量法解平面几何问题的基本思路

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。

成几何元素。

用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：

简述：

简述：

形到向量形到向量向量的运算向量的运算向量和数到形向量和数到形想一想想一想ABCDEFRT猜想：

猜想：

AR=RT=TC例例2如图，如图，ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD、DC边的中点，边的中点，BE、BF分别与分别与AC交于交于R、T两点，你能发现两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

之间的关系吗？

解：

设解：

设则则由于由于与与共线，故设共线，故设又因为又因为共线，共线，所以设所以设因为因为所以所以ABCDEFRT线线，故故AT=RT=TCABCDEFRT证明直径所对的圆周角是直角证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知如图所示，已知O，AB为直径，为直径，C为为O上任意一点。

求证上任意一点。

求证ACB=90分析：

要证分析：

要证ACB=90，只须证只须证向量向量即即解：

设解：

设则则，由此可得由此可得：

即即，ACB=90练习练习你能从数学的角度解释你能从数学的角度解释这种现象吗？

这种现象吗？

在日常生活中，你是否有这样的经验：

在日常生活中，你是否有这样的经验：

两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。

越省力。

例例11

（1）为何值时，为何值时，|F1|最小，最小值是最小，最小值是多少？

多少？

（2）|F1|能等于能等于|G|吗？

为什么？

吗？

为什么？

例例22思考题思考题:

已知船在静水中的速度是已知船在静水中的速度是3km/h,它它要横渡要横渡30m的河流的河流,已知水流的速度是已知水流的速度是4km/h,思考思考:

1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达正对岸吗正对岸吗?

思考题思考题解：

解：

|v|=（km/h），所以），所以t=60=3.1（min）.答：

行答：

行驶航程最短航程最短时，所用，所用时间是是3.1min.分析：

如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的分析：

如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸，如图必须垂直于对岸，如图

（1）行驶航程最短行驶航程最短,是否就是航程时间是否就是航程时间最短呢最短呢?

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。

成几何元素。

用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：

小结小结物理问题物理问题（实际问题）实际问题）向量问题向量问题（数学模型数学模型）数学问题数学问题的解决的解决解释和验证相解释和验证相关物理现象关物理现象小结小结