高考数学竞赛 函数教案讲义3.docx

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高考数学竞赛函数教案讲义3

2019-2020年高考数学竞赛函数教案讲义（3）

一、基础知识

定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:

A→B为一个映射。

定义2单射，若f:

A→B是一个映射且对任意x,y∈A,xy,都有f（x）f（y）则称之为单射。

定义3满射，若f:

A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f（x）=y，则称f:

A→B是A到B上的满射。

定义4一一映射，若f:

A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1:

A→B。

定义5函数，映射f:

A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。

A称为它的定义域，若x∈A,y∈B，且f（x）=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。

集合{f（x）|x∈A}叫函数的值域。

通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.

定义6反函数，若函数f:

A→B（通常记作y=f（x））是一一映射，则它的逆映射f-1:

A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1（x）.这里求反函数的过程是：

在解析式y=f（x）中反解x得x=f-1（y），然后将x,y互换得y=f-1（x），最后指出反函数的定义域即原函数的值域。

例如：

函数y=的反函数是y=1-（x0）.

定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。

定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。

定义7函数的性质。

（1）单调性：

设函数f（x）在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1f（x2）），则称f（x）在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。

（2）奇偶性：

设函数y=f（x）的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f（-x）=-f（x），则称f（x）是奇函数；若对任意的x∈D，都有f（-x）=f（x），则称f（x）是偶函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

（3）周期性：

对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f（x+T）=f（x）总成立，则称f（x）为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f（x）的最小正周期。

定义8如果实数aa}记作开区间（a,+∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].

定义9函数的图象，点集{（x,y）|y=f（x）,x∈D}称为函数y=f（x）的图象，其中D为f（x）的定义域。

通过画图不难得出函数y=f（x）的图象与其他函数图象之间的关系（a,b>0）；

（1）向右平移a个单位得到y=f（x-a）的图象；

（2）向左平移a个单位得到y=f（x+a）的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f（x）-b的图象；（4）与函数y=f（-x）的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f（-x）的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f（x）的图象关于x轴对称。

定理3复合函数y=f[g（x）]的单调性，记住四个字：

“同增异减”。

例如y=,u=2-x在（-∞,2）上是减函数，y=在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。

注：

复合函数单调性的判断方法为同增异减。

这里不做严格论证，求导之后是显然的。

二、方法与例题

1．数形结合法。

例1求方程|x-1|=的正根的个数.

例2求函数f（x）=

的最大值。

2函数性质的应用。

例3设x,y∈R，且满足

，求x+y.

例4奇函数f（x）在定义域（-1，1）内是减函数，又f（1-a）+f（1-a2）<0，求a的取值范围。

例5设f（x）是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z,用Ik表示区间（2k-1,2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2，求f（x）在Ik上的解析式。

例6解方程：

（3x-1）（）+（2x-3）（+1）=0.

3.配方法。

例7求函数y=x+的值域。

4．换元法。

例8求函数y=（++2）（+1）,x∈[0,1]的值域。

5．判别式法。

例9求函数y=的值域。

6．关于反函数。

例10若函数y=f（x）定义域、值域均为R，且存在反函数。

若f（x）在（-∞,+∞）上递增，求证：

y=f-1（x）在（-∞,+∞）上也是增函数。

例11设函数f（x）=，解方程：

f（x）=f-1（x）.

三、基础训练题

1．已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，映射f：

X→Y满足：

对任意的x∈X，它在Y中的象f（x）使得x+f（x）为偶数，这样的映射有_______个。

2．给定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：

X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f有_______个；满足f[f（x）]=f（x）的映射有_______个。

3．若直线y=k（x-2）与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点。

4．函数y=f（x）的值域为[]，则函数g（x）=f（x）+的值域为_______。

5．已知f（x）=，则函数g（x）=f[f（x）]的值域为_______。

6．已知f（x）=|x+a|，当x≥3时f（x）为增函数，则a的取值范围是_______。

7．设y=f（x）在定义域（，2）内是增函数，则y=f（x2-1）的单调递减区间为_______。

8．若函数y=（x）存在反函数y=-1（x），则y=-1（x）的图象与y=-（-x）的图象关于直线_______对称。

9．函数f（x）满足=1-，则f（）=_______。

10.函数y=,x∈（1,+∞）的反函数是_______。

11．求下列函数的值域：

（1）y=;

（2）y=;（3）y=x+2;（4）y=

12.已知定义在R上，对任意x∈R,f（x）=f（x+2），且f（x）是偶函数，又当x∈[2,3]时，f（x）=x，则当x∈[-2,0]时，求f（x）的解析式。

四、高考水平训练题

1．已知a∈,f（x）定义域是（0,1]，则g（x）=f（x+a）+f（x-a）+f（x）的定义域为_______。

2．设0≤a<1时，f（x）=（a-1）x2-6ax+a+1恒为正值。

则f（x）定义域为_______。

3．映射f:

{a,b,c,d}→{1，2，3}满足10

4．设函数y=f（x）（x∈R）的值域为R，且为增函数，若方程f（x）=x解集为P，f[f（x）]=x解集为Q，则P，Q的关系为：

P_______Q（填=、、）。

5．下列函数是否为奇函数：

（1）f（x）=（x-1）；

（2）g（x）=|2x+1|-|2x-1|;（3）（x）=；（4）y=

6.设函数y=f（x）（x∈R且x0），对任意非零实数x1,x2满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），又f（x）在（0，+∞）是增函数，则不等式f（x）+f（x-）≤0的解集为_______。

7．函数f（x）=，其中P，M为R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x）,x∈P},f（M）={y|y=f（x）,x∈M}，给出如下判断：

①若P∩M=，则f（P）∩f（M）=；②若P∩M，则f（P）∩f（M）；③若P∪M=R,则f（P）∪f（M）=R；④若P∪MR，则f（P）∪f（M）R.其中正确的判断是_______。

8．函数y=f（x+1）的反函数是y=f-1（x+1），并且f

（1）=3997，则f（xx）=_______。

9．已知y=f（x）是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f（6）=2，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3。

求f（x）的解析式。

10．设a>0，函数f（x）定义域为R，且f（x+a）=，求证：

f（x）为周期函数。

11．设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α<β），已知函数f（x）=,

（1）求f（α）、f（β）；

（2）求证：

f（x）在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1,x2，求证：

<2|α-β|.

五、联赛一试水平训练题

1．奇函数f（x）存在函数f-1（x），若把y=f（x）的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线y=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________.

2．若a>0，a1,F（x）是奇函数，则G（x）=F（x）是________（奇偶性）.

3．若=x，则下列等式中正确的有________.①F（-2-x）=-2-F（x）；②F（-x）=；③F（x-1）=F（x）；④F（F（x））=-x.

4.设函数f：

R→R满足f（0）=1，且对任意x,y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2，则f（x）=________.

5．已知f（x）是定义在R上的函数，f

（1）=1，且对任意x∈R都有f（x+5）≥f（x）+5,f（x+1）≤f（x）+1。

若g（x）=f（x）+1-x，则g（xx）=________.

6.函数f（x）=的单调递增区间是________.

7.函数f（x）=的奇偶性是：

________奇函数，________偶函数（填是，非）。

8.函数y=x+的值域为________.

9．设f（x）=,

对任意的a∈R，记V（a）=max{f（x）-ax|x∈[1,3]}-min{f（x）-ax|x∈[1,3]}，试求V（a）的最小值。

10．解方程组：

（在实数范围内）

11．设k∈N+,f:

N+→N+满足：

（1）f（x）严格递增；

（2）对任意n∈N+,有f[f（n）]=kn，求证：

对任意n∈N+,都有n≤f（n）≤

六、联赛二试水平训练题

1．求证：

恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：

（1）对任意x≠0,f（x）=x·f；

（2）对所有的x≠-y且xy≠0，有f（x）+f（y）=1+f（x+y）.

2.设f（x）对一切x>0有定义，且满足：

（ⅰ）f（x）在（0，+∞）是增函数；（ⅱ）任意x>0,f（x）f=1，试求f

（1）.

3.f:

[0,1]→R满足：

（1）任意x∈[0,1],f（x）≥0；

（2）f

（1）=1；（3）当x,y,x+y∈[0,1]时，f（x）+f（y）≤f（x+y），试求最小常数c，对满足

（1），

（2），（3）的函数f（x）都有f（x）≤cx.

4.试求f（x,y）=6（x2+y2）（x+y）-4（x2+xy+y2）-3（x+y）+5（x>0,y>0）的最小值。

5．对给定的正数p,q∈（0,1），有p+q>1≥p2+q2，试求f（x）=（1-x）+在[1-q,p]上的最大值。

6．已知f:

（0,1）→R且f（x）=

.

当x∈时，试求f（x）的最大值。

7．函数f（x）定义在整数集上，且满足f（n）=

，求f（100）的值。

8．函数y=f（x）定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。

（1）求证：

方程f（x）=x恰有一个解；

（2）试给出一个具有上述性质的函数。

9．设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数f:

Q+→Q+，满足这样的条件：

f（xf（y））=x,y∈Q+.

2019-2020年高考数学竞赛圆锥曲线教案讲义（11）

一、基础知识

1．椭圆的定义，第一定义：

平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|=2c）.

第二定义：

平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e（0

（0

第三定义：

在直角坐标平面内给定两圆c1:

x2+y2=a2,c2:

x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。

从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为

（a>b>0），

参数方程为（为参数）。

若焦点在y轴上，列标准方程为

（a>b>0）。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆

，

a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为（±a,0）,（0,±b）,（±c,0）；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知0

椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：

对于椭圆1（a>b>0）,F1（-c,0）,F2（c,0）是它的两焦点。

若P（x,y）是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.

5．几个常用结论：

1）过椭圆上一点P（x0,y0）的切线方程为

；

2）斜率为k的切线方程为；

3）过焦点F2（c,0）倾斜角为θ的弦的长为

。

6．双曲线的定义，第一定义：

满足||PF1|-|PF2||=2a（2a<2c=|F1F2|,a>0）的点P的轨迹；

第二定义：

到定点的距离与到定直线距离之比为常数e（>1）的点的轨迹。

7．双曲线的方程：

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为

，

参数方程为（为参数）。

焦点在y轴上的双曲线的标准方程为

。

8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线

（a,b>0）,

a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为（-a,0）,（a,0）.左、右焦点为F1（-c,0）,F2（c,0），对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e>1。

两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。

若a=b，则称为等轴双曲线。

9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）,F2（c,0）是它的两个焦点。

设P（x,y）是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.

2）过焦点的倾斜角为θ的弦长是。

10．抛物线：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。

若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px（p>0），离心率e=1.

11．抛物线常用结论：

若P（x0,y0）为抛物线上任一点，

1）焦半径|PF|=；

2）过点P的切线方程为y0y=p（x+x0）；

3）过焦点倾斜角为θ的弦长为。

12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。

13．圆锥曲线的统一定义：

到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若01，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。

这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。

二、方法与例题

1．与定义有关的问题。

例1已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。

例2已知P，为双曲线C：

右支上两点，延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。

求证：

∠F1K=∠KF1Q.

2．求轨迹问题。

例3已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。

例4长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。

例5在坐标平面内，∠AOB=，AB边在直线l:

x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。

3．定值问题。

例6过双曲线（a>0,b>0）的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。

求证：

H的横坐标为定值。

注：

本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。

例7设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。

证明：

直线AC经过定点。

例8椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：

为定值。

4．最值问题。

例9设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。

例10设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：

1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。

5．直线与二次曲线。

例11若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。

例12若直线y=2x+b与椭圆相交，

（1）求b的范围；

（2）当截得弦长最大时，求b的值。

三、基础训练题

1．A为半径是R的定圆⊙O上一定点，B为⊙O上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是________.

2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2（>0），则动点的轨迹是________.

3．椭圆上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________.

4．双曲线方程，则k的取值范围是________.

5．椭圆，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，则ΔF1PF2的面积是________.

6．直线l被双曲线所截的线段MN恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为________.

7．ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为________.

8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.

9．已知曲线y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450，那么a=________.

10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，的取值范围是________.

11．已知椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，设P是它们的一个焦点，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。

12．已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，设|AT|=2a（2a<）；（iii）半圆上有相异两点M，N，它们与直线l的距离|MP|，|NQ|满足求证：

|AM|+|AN|=|AB|。

13．给定双曲线过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2，求线段P1P2的中点的轨迹方程。

四、高考水平测试题

1．双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是=0，则此双曲线的标准方程是_________.

2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，则∠A1FB1=_________.

3．双曲线的一个焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任一点，以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________.

4．椭圆的中心在原点，离心率，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M横坐标为-1，M到此准线异侧的焦点F1的距离为_________.

5．4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆恰有一个公共点的_________条件.

6．若参数方程（t为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是_________.

7．如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的范围是_________.

8．过双曲线的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条.

9．过坐标原点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F，则直线l的倾斜角为_________.

10．以椭圆x2+a2y2=a2（a>1）的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的三角形最多可作_________个.

11．求椭圆上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。

12．设F，O分别为椭圆的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB，点O都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。

13．已知双曲线C1：

（a>0），抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。

（1）求证：

C1，C2总有两个不同的交点。

（2）问：

是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值？

若存在，求直线AB的方程与SΔAOB的最值，若不存在，说明理由。

五、联赛一试水平训练题

1．在平面直角坐标系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是_________.

2．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面积为_________.

3．给定椭圆，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OPOQ，则离心率e的取值范围是_________.

4．设F1，F2分别是双曲线（a>b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹为_________.

5．ΔABC一边的两顶点坐标为B（0，）和C（0，），另两边斜率的乘积为，若点T坐标为（t,0）（t∈R+）,则|AT|的最小值为_________.

6．长为l（l<1）的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_________.

7．已知抛物线y2=2px及定点A（a,b）,B（-a,0）,ab≠0,b2≠2pa，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为_________.

8．已知点P（1，2）既在椭圆内部（含边界），又在圆x2+y2=外部（含边界），若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________.

9．已知椭圆的内接ΔABC的边AB，AC分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、右顶点分别为D，E，直线DB与直线CE交于点P，当点A在椭圆上变动时，试求点P的轨迹。

10．设曲线C1：

（a为正常数）与C2：

y2=2（x+m）在x轴上方有一个公共点P。

（1）求实数m