全国卷经典试题高中数学第一章常用逻辑用语12充分条件与必要条件学案新人教A版选修21.docx
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全国卷经典试题高中数学第一章常用逻辑用语12充分条件与必要条件学案新人教A版选修21
§1.2 充分条件与必要条件
学习目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．
知识点一 充分条件与必要条件
（1）“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
（2）若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．
知识点二 充要条件
思考 在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？
答案 因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充要条件．
梳理
（1）一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
（2）充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
（3）从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：
A＝{x|p（x）成立}，q：
B＝{x|q（x）成立}．
（1）q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（√）
（2）若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．（√）
（3）q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．（√）
类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判定
例1 下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．
（1）p：
两个三角形相似，q：
两个三角形全等；
（2）p：
一个四边形是矩形，q：
四边形的对角线相等；
（3）p：
A⊆B，q：
A∩B＝A；
（4）p：
a＞b，q：
ac＞bc.
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
解
（1）∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，
∴p是q的必要不充分条件．
（2）∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，
∴q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．
（3）∵p⇒q，且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．
（4）∵p⇏q，且q⇏p，∴p是q的既不充分也不必要条件．
反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法
（1）定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
（2）命题判断法：
①如果命题：
“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：
“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件？
（1）p：
ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：
0（2）p：
|x－2|<3，q：
<－1；
（3）p：
A∪B＝A，q：
A∩B＝B；
（4）p：
q：
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
解
（1）当a＝0时，1>0满足题意；
当a≠0时，由
可得0故p是q的必要不充分条件．
（2）易知p：
－1－1所以p是q的充要条件．
（3）因为A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
（4）由
根据同向不等式相加、相乘的性质，
有
即p⇒q.但
⇏
比如，当α＝1，β＝5时，
而α<2，
所以q⇏p，所以p是q的充分不必要条件．
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 充要条件的探求
例2 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
解
（1）当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－
，符合要求．
（2）当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.
①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是
即
∴a<0.
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是
即
∴0综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝（n＋1）2＋t（t为常数），试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？
请说明理由．
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
解 是充要条件．
（充分性）当t＝－1时，Sn＝（n＋1）2－1＝n2＋2n.
a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.
又a1＝3适合上式，
∴an＝2n＋1（n∈N*），
又∵an＋1－an＝2（常数），
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件．
（必要性）∵{an}为等差数列，
则2a2＝a1＋a3，解得t＝－1，
故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件．
综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件．
命题角度2 充要条件的证明
例3 求证：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 充分性（由ac＜0推证方程有一正根和一负根），
∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，
∴原方程一定有两不等实根，
不妨设为x1，x2，则x1x2＝
＜0，
∴原方程的两根异号，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性（由方程有一正根和一负根推证ac＜0），
∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
不妨设为x1，x2，
∴由根与系数的关系得x1x2＝
＜0，即ac＜0，
此时Δ＝b2－4ac＞0，满足原方程有两个不等实根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
反思与感悟 对于充要条件性命题证明，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，需要分清条件和结论．
跟踪训练3 求证：
方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k＜－2.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 必要性：
若方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则
即
即
解得k＜－2.
充分性：
当k＜－2时，Δ＝（2k－1）2－4k2＝1－4k＞0.
设方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
则（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝k2＋2k－1＋1＝k（k＋2）＞0.
又（x1－1）＋（x2－1）＝（x1＋x2）－2＝－（2k－1）－2＝－2k－1＞0，
∴x1－1＞0，x2－1＞0，∴x1＞1，x2＞1.
综上可知，方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k＜－2.
类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值（或范围）
例4 设命题p：
x（x－3）＜0，命题q：
2x－3＜m，已知p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 [3，＋∞）
解析 p：
x（x－3）＜0，即0＜x＜3；
q：
2x－3＜m，即x＜
.
由题意知p⇒q，q⇏p，
则在数轴上表示不等式如图所示，
则
≥3，解得m≥3，
即实数m的取值范围为[3，＋∞）．
反思与感悟 在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式（或方程），从而求得参数的取值范围．
根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤
（1）记集合M＝{x|p（x）}，N＝{x|q（x）}；
（2）若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则M＝N；
（3）根据集合的关系列不等式（组）；
（4）求出参数的范围．
跟踪训练4 设A＝
，B＝
，记命题p：
“y∈A”，命题q：
“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案
解析 由题意知A＝（0,1），B＝
，
依题意，得BA，
故
∴
.
1．“x＞0”是“x2＋x＞0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 A
解析 由x2＋x＞0⇔x＜－1或x＞0，由此判断A符合要求．
2．若a，b，c是实数，则“ac＜0”是“不等式ax2＋bx＋c＞0有解”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 B
解析 由ac＜0，得方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，
则方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数解，
此时不等式ax2＋bx＋c＞0有解；
反过来，由不等式ax2＋bx＋c＞0有解不能得出ac＜0，
例如，当a＝b＝c＝1时，
不等式ax2＋bx＋c＞0，
即x2＋x＋1＝
2＋
＞0有解，
此时ac＝1＞0.故选B.
3．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．0＜a＜1B．0≤a≤1
C．0＜a＜
D．a≥1或a≤0
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 B
解析 当关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立时，应有Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1.所以一个必要不充分条件是0≤a≤1.
4．设p：
1≤x＜4，q：
x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．（用区间表示）
考点 充分条件的概念及判断
题点 由充分条件求取值范围
答案 [4，＋∞）
解析 因为p为q的充分条件，所以[1,4）⊆（－∞，m），
得m≥4.
5．设p：
|x|＞1，q：
x＜－2或x＞1，则q是p的____________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”）
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 由已知，得p：
x＜－1或x＞1，则q是p的充分不必要条件．
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法
（1）定义法：
分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论．
（2）等价法：
将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．
（3）集合法：
写出集合A＝{x|p（x）}及集合B＝{x|q（x）}，利用集合之间的包含关系加以判断.
一、选择题
1．“x为无理数”是“x2为无理数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 B
解析 当x2为无理数时，x为无理数．
2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 B
3．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 A
4．在△ABC中，若p：
A＝60°，q：
sinA＝
，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 A
解析 因为sin60°＝
，故p⇒q，但当sinA＝
时，A＝60°或120°.
5．已知p：
x2＋2x－3＜0，q：
1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A．（4，＋∞）B．（－∞，0]
C．[4，＋∞）D．（－∞，0）
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 充分、必要条件求参数的范围
答案 C
解析 由命题p：
－3＜x＜1，因为p⇒q，
所以
即
所以a≥4.
6．下列四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（ ）
A．a≥b＋1B．a＞b－1
C．a2＞b2D．a3＞b3
考点 充分、必要条件的判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 A
解析 由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1⇒a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5⇏4≥3.5＋1，故a＞b⇏a≥b＋1，故A正确．
7．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别是集合M和N，那么“
＝
＝
”是“M＝N”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 D
解析 若
＝
＝
<0，则M≠N，
即
＝
＝
⇏M＝N；反之，若M＝N＝∅，
即两个一元二次不等式的解集为空集时，
只要求判别式Δ1<0，Δ2<0（a1<0，a2<0），
而与系数之比无关．
8．设函数f（x）＝|log2x|，则f（x）在区间（m,2m＋1）（m>0）内不是单调函数的充要条件是（ ）
A．0B．0C．
1
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
答案 B
解析 f（x）＝
f（x）的图象在（0,1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增．
若f（x）在（m,2m＋1）（m>0）上不是单调函数，
则
⇔0二、填空题
9．若a＝（1,2x），b＝（4，－x），则“a与b的夹角为锐角”是“0≤x＜
”的_________条件．
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 既不充分也不必要
10．已知p：
x2＋x－2＞0，q：
x＞m.若p的一个充分不必要条件是q，则实数m的取值范围是________．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 [1，＋∞）
解析 由x2＋x－2＞0，解得x＞1或x＜－2.
∵q是p的充分不必要条件，∴m≥1.
11．有下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分条件；
②“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为R”的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 ①④
解析 ①当x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件，故①为真命题；
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则
＝
，所以a＝2，所以“a＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；
④lgx＋lgy＝lg（xy）＝0，所以xy＝1且x＞0，y＞0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．
综上可知，真命题是①④.
三、解答题
12．判断下列各题中，p是q的什么条件．
（1）p：
|x|＝|y|，q：
x＝y；
（2）p：
△ABC是直角三角形，q：
△ABC是等腰三角形；
（3）p：
四边形的对角线互相平分，q：
四边形是矩形；
（4）p：
圆x2＋y2＝r2（r＞0）与直线ax＋by＋c＝0相切，q：
c2＝（a2＋b2）r2.
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
解
（1）∵|x|＝|y|⇏x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
（2）∵△ABC是直角三角形⇏△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形⇏△ABC是直角三角形，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
（3）∵四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形，
四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
（4）若圆x2＋y2＝r2（r＞0）与直线ax＋by＋c＝0相切，
则圆心（0,0）到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即r＝
，
∴c2＝（a2＋b2）r2；
反过来，若c2＝（a2＋b2）r2，
则
＝r成立，
说明圆x2＋y2＝r2（r＞0）的圆心（0,0）到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2（r＞0）与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
13．已知p：
2x2－3x－2≥0，q：
x2－2（a－1）x＋a（a－2）≥0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
解 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|（2x＋1）（x－2）≥0}
＝
，N＝{x|x2－2（a－1）x＋a（a－2）≥0}
＝{x|（x－a）[x－（a－2）]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}．
由已知p⇒q且q⇏p，得MN，
∴
或
解得
≤a<2或
≤a≤2.
即实数a的取值范围是
.
四、探究与拓展
14．下列各题中，p是q的充要条件的是________．（填序号）
①p：
m＜－2或m＞6，q：
y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：
＝1，q：
y＝f（x）为偶函数；
③p：
cosα＝cosβ，q：
tanα＝tanβ；
④p：
A∩B＝A，q：
∁UB⊆∁UA.
考点 充分、必要条件的判断
题点 充要条件的判断
答案 ①④
解析 对于①，q：
y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：
Δ＝m2－4（m＋3）＞0⇔q：
m＜－2或m＞6⇔p；
对于②，当f（x）＝0时，q⇏p；
对于③，若α，β＝kπ＋
（k∈Z），则有cosα＝cosβ，但没有tanα＝tanβ，p⇏q；
对于④，p：
A∩B＝A⇔p：
A⊆B⇔q：
∁UB⊆∁UA.
15．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的取值范围
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
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