中考压轴题之平面直角坐标系下角度相等问题.docx
《中考压轴题之平面直角坐标系下角度相等问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考压轴题之平面直角坐标系下角度相等问题.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
中考压轴题之平面直角坐标系下角度相等问题
中考题最后的压轴题中，经常出现与角度相关的问题。
与平面直角坐标系结合，将三角形全等、三角形相似、三角函数、圆及二次函数等知识有机的结合在一起，考察学生对知识综合、灵活应用的能力，同时考察学生解题方法的思路的灵活性，以及对数学学科思维的掌握情况。
平面直角坐标系下的角度相等问题，通常有以下几种解题思路：
1、利用三角形全等解决
2、利用三角形相似解决
3、利用三角函数解决
4、利用圆的知识解决
下面分类举例说明：
题型一、利用全等处理角等例1、（2017秋?
莲湖区期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），
B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在
一点P，满足∠PBC＝∠DBC？
如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】
（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），可求得抛物线的表达式；
（2）根据直线BC的解析式为y＝﹣x+3，可得过点O与BC平行的直线y＝﹣x，与抛物线的交点即为M，据此求得点M的坐标；
（3）设BP交轴y于点G，再根据点B、C、D的坐标，得到∠DCB＝∠OBC＝∠OCB＝45°，进而判定△CGB≌△CDB，求得点G的坐标为（0，1），得到直线BP的解析式为y＝﹣x+1，最后计算直线BP与抛物线的交点P的坐标即可．
【解答】解：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在．
∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴过点O与BC平行的直线y＝﹣x，与抛物线的交点即为M，解方程组
可得
M1（，），M2（，
）；
（3）存在．
如图，设BP交轴y于点G，
∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，2
∴当x＝2时，m＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点D的坐标为（2，3），
2
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴CD∥x轴，CD＝2，
∵点B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠DCB＝∠OBC＝∠OCB＝45°，又∵∠PBC＝∠DBC，BC＝BC，∴△CGB≌△CDB（ASA），∴CG＝CD＝2，∴OG＝OC﹣CG＝1，∴点G的坐标为（0，1），设直线BP的解析式为y＝kx+1，将B（3，0）代入，得3k+1＝0，解得k＝﹣，
∴直线BP的解析式为y＝﹣
x+1，
令﹣x+1＝﹣x2+2x+3，
解得
，x2＝3，
∵点P是抛物线对称轴x＝
＝1左侧的一点，即
x<1，
把x＝﹣
代入抛物线y＝﹣x2+2x+3中，
∴当点P的坐标为（﹣
）时，满足∠PBC＝∠DBC．
【总结】出现角等的条件时，可以将两角构造在全等三角形中，利用全等的性质解决问题。
题型二、利用相似处理角等问题
例2、声明：
试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得例2复例2（2016?
广州一模）
2
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y＝﹣x+3恰好经过B，C两点
（1）写出点C的坐标；
（2）求出抛物线y＝x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标．
【分析】
（1）由直线y＝﹣x+3可求出C点坐标；
（2）由B，C两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A点坐标；
（3）作出辅助线OE，由三角形的两个角相等，证明△AEC∽△AFP，根据两边成比例，便可求出PF的长度，从而求出P点坐标．
解答】解：
（1）y＝﹣x+3与y轴交于点C，故C（0，3）．
2）∵抛物线y＝x2+bx+c过点B，C，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）×（x﹣3），
∴对称轴为x＝2，
点A（1，0）．
2
（3）由y＝x2﹣4x+3，可得D（2，﹣1），A（1，0），∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2，可得△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，．
如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
过点A作AE⊥BC于点E．
∴∠AEB＝90度．
可得，．
在△AEC与△AFP中，∠AEC＝∠AFP＝90°，∠ACE＝∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴，
∴，
解得PF＝2．
或者直接证明△ABC∽△ADP得出PD＝3，
再得PF＝2．
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．
【总结】出现角等的条件时，可以将两角构造在相似三角形中，利用相似对应边成比例的性质
解决问题。
这类问题也可以用三角函数解决。
见类型三。
三、利用三角函数（tan值）处理角等问题
2
例3、（2018?
济南改编）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4过A（2，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m>4）．
（1）求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；
（2）如图2，若∠ACP＝45°，求m的值；
【分析】
（1）由点A、B坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为y＝x2﹣3x+4，作BG⊥CA，交CA的延长线于点G，证△GAB∽△OAC得＝，据此知BG＝2AG．在Rt△ABG中根据BG2+AG2＝AB2，可求得AG＝．继而可得BG＝，CG＝AC+AG
＝，根据正切函数定义可得答案；
（2）由题意可得，∠BCD=4°5，若∠ACP＝45°，则∠ACP=∠PCD。
即tan∠ACP=tan∠
PCD。
由
（1）得tan∠ACB=1/3，所以tan∠PCD=1/3。
过P做PH⊥CD于点H，设出P点坐标，列方程即可。
解答】解：
（1）将点A（2，0）和点B（4，0）分别代入y＝ax2+bx+4，得
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+4．
过点B作BG⊥CA，交CA的延长线于点G（如图1所示），则∠G＝90°
∵∠COA＝∠G＝90°，∠CAO＝∠BAG，∴△GAB∽△OAC．
＝
＝
2．
∴BG＝2AG．
在Rt△ABG中，∵BG2+AG2＝AB2，
在Rt△BCG中，tan∠ACB═＝．
2）
（2）∵∠BCD=45
若∠ACP＝45°，
则∠ACP=∠PCD。
即tan∠ACP=tan∠PCD。
由
（1）得tan∠ACB=1/3，
∴tan∠PCD=1/3。
过P做PH⊥CD于点H
设P（m，1/2m^2﹣3m+4）
则HC=mPH=4-1/2m^2+3m-4=-1/2m^2+3m
∵tan∠PCD=1/3
∴PH/HC=1/3
即（-1/2m^2+3m）/m=1/3
解得：
m=16/3或m=0（舍去）
∴m=16/3
【总结】出现角等的条件时，即两个角的正切值相等。
从而列出方程解决即可。
这类问题也可
以用相似解决，见类型二。
题型四、利用隐圆处理角等
2
例4：
（2018?
日照改编）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．
1）求抛物线解析式；
2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
x+1），则D（x，﹣x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；
解答】解：
（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a＝1，解得：
a＝﹣
2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．
【总结】出现角等的条件时，根据题目出现的条件，利用同弧所对的圆周角相等或
同弧的圆周角是圆心角的一半，构造圆形解决问题。
升级会员 