中考压轴题之平面直角坐标系下角度相等问题.docx

1、中考压轴题之平面直角坐标系下角度相等问题中考题最后的压轴题中，经常出现与角度相关的问题。与平面直角坐标系结合， 将三角形全等、三角形相似、三角函数、圆及二次函数等知识有机的结合在一起，考察 学生对知识综合、 灵活应用的能力， 同时考察学生解题方法的思路的灵活性， 以及对数 学学科思维的掌握情况。平面直角坐标系下的角度相等问题，通常有以下几种解题思路：1、 利用三角形全等解决2、 利用三角形相似解决3、 利用三角函数解决4、 利用圆的知识解决下面分类举例说明：题型一、利用全等处理角等 例1、（2017秋?莲湖区期末）如图，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点 A（1，0），B（3，0），

2、与 y 轴交于点 C，连接 BC（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点 M，使得 MBC 的面积与 OBC 的面积相等，若存在，请直接 写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接 BD在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点 P，满足 PBC DBC？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）根据抛物线 yax2+bx+3（a0）经过点 A（ 1，0），B（3，0），可求得抛 物线的表达式；（2）根据直线 BC的解析式为 y x+3，可得过点 O 与 BC 平行的直线 y x，与抛物线 的交点即为 M，据此求得点 M

3、 的坐标；（3）设 BP交轴 y于点 G，再根据点 B、C、D 的坐标，得到 DCB OBC OCB 45， 进而判定 CGB CDB，求得点 G 的坐标为（0，1），得到直线 BP 的解析式为 y x+1， 最后计算直线 BP 与抛物线的交点 P 的坐标即可【解答】 解：（1）抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（ 1，0），B（3，0）， ，解得 ，抛物线的表达式为 y x2+2x+3； （2）存在抛物线的表达式为 y x2+2x+3，点 C的坐标为（ 0，3）， C（0，3），B（3，0）， 直线 BC 的解析式为 yx+3， 过点 O与 BC平行的直线 yx，与抛物线

4、的交点即为 M， 解方程组可得M1（ ， ），M2（ ，）；（3）存在如图，设 BP交轴 y 于点 G，点 D（2，m）在第一象限的抛物线上， 2当 x2 时，m 22+22+33，点 D的坐标为（ 2，3），2把 x0 代入 y x2+2x+3，得 y 3，点 C的坐标为（ 0，3），CDx 轴， CD 2，点 B（3，0），OBOC3，OBCOCB45， DCB OBC OCB45， 又 PBC DBC，BC BC， CGBCDB（ASA）， CGCD2， OGOCCG 1， 点 G的坐标为（ 0，1）， 设直线 BP 的解析式为 ykx+1， 将 B（ 3， 0）代入，得 3k+10，

5、解得 k ，直线 BP 的解析式为 yx+1，令 x+1 x2+2x+3，解得，x23，点 P 是抛物线对称轴 x1 左侧的一点，即x4）（1）求该抛物线的表达式和 ACB 的正切值；（2）如图 2，若 ACP45，求 m 的值；【分析】（ 1）由点 A、B 坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为 y x23x+4，作 BGCA，交 CA 的延长线于点 G，证 GAB OAC 得 ，据此知 BG2AG在 RtABG 中根据 BG2+AG2AB2，可求得 AG 继而可得 BG ，CGAC+AG ，根据正切函数定义可得答案；（2）由题意可得， BCD=45 ，若 ACP45，则 ACP=PCD。

6、即 tan ACP=tanPCD。由（1）得tanACB=1/3，所以tanPCD=1/3。过P做PHCD于点H，设出 P点 坐标，列方程即可 。解答】解：（1）将点A（2，0）和点B（4，0）分别代入 yax2+bx+4，得该抛物线的解析式为 y x2 3x+4过点B作BGCA，交CA的延长线于点 G（如图 1所示），则 G90 COA G90， CAOBAG， GAB OAC2BG2AG在 RtABG中， BG2+AG2AB2，在 RtBCG 中，tanACB 2）（2）BCD=45若ACP45，则ACP= PCD。即 tan ACP=tan PCD 。由（1）得 tan ACB=1/3

7、，tan PCD=1/3 。过 P 做 PH CD 于点 H设 P（m ，1/2m2 3m+4 ）则 HC=m PH=4-1/2m2+3m-4=-1/2m2+3mtan PCD=1/3 PH/HC=1/3即（ -1/2m2+3m ）/m=1/3解得： m=16/3 或m=0 （舍去） m=16/3【总结】出现角等的条件时，即两个角的正切值相等。从而列出方程解决即可。这类问题也可以用相似解决，见类型二。题型四、利用隐圆处理角等2例 4：（2018?日照改编）如图，已知点 A（ 1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线 y ax2+bx+c上1）求抛物线解析式；2）在直线 BC 上方的抛物线上求一点 P，使 PBC 面积为 1；x+1），则 D（x， x+1），然后可得到 PD 与 x 之间的关系式，接下来，依据 PBC 的面积为 1 列方程 求解即可；解答】 解：（1）设抛物线的解析式为 ya（ x+1）（x3），将 C（0， 1）代入得 3a 1，解得： a2）过点 P作PDx，交BC与点 D【总结】出现角等的条件时，根据题目出现的条件，利用同弧所对的圆周角相等或同弧的圆周角是圆心角的一半，构造圆形解决问题。