120幻方.docx
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120幻方
2013-1-20-幻方
预备：
请你将1——9各数填到这个表格中，使得横行、竖行、斜行的和都是15。
传说公元前二千多年，在洛水里浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，（如图1），后来人们把它称之为洛书，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2），图中有一个非常有趣的性质：
它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。
许多人产生了这样的问题，图中的九个数字，有没有别的填法？
如果把图形变成4×4个方格，是否也可以进行这样的填数游戏？
【知识要点】
在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这九个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在
（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在
方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续自然数，（注意这些连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的n个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
中心方格中这个数叫做这个幻方的中间数。
任意阶数幻方的各行或各列或两条条对角线上所有数的和成为幻和！
幻方的幻和等于n（n2+1）÷2。
幻和=总和÷阶数
二、幻方的特征：
1、对称性
2、轮换性
三、幻方的种类：
按照纵横各有数字的个数，可以分为：
三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方……
按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为：
1、奇数阶幻方
2、偶数阶幻方
（1）单偶数阶幻方，阶数是2的倍数，形如：
2n+2
（2）双偶数阶幻方，阶数是4的倍数，形如：
2n+4
四、幻方的构造方法
1、杨辉口诀法（仅仅适用于三阶幻方）
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。
他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀：
九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出
戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足
2、罗伯法
适用于奇数阶幻方，适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方。
口诀：
1居下行正中央，依次斜填切莫忘；
下出框时往上写，左出框时往右放；
排重便往上格填，左下排重一个样。
3、巴舍法（平移补空法）（适合奇数阶幻方）
要点，构造五阶具体操作：
（1）画图:
构造楼梯
（2）按顺序填数（数字按顺序斜排）
（3）平移补空:
把幻方外的数字平移进幻方——上到下，下到上，左到右，右到左，注意：
几阶幻方就平移几个格。
4、对称交换法（对角线法）——适用于四阶幻方
总体来说，偶数阶的幻方构造比奇数阶要复杂。
但因为四阶阶数不大，作为拓展，补充一下四阶的一种简单构造方法——对角线法。
【典型例题】
例题：
请编出一个三阶幻方，使其幻和为２４。
基本型三阶幻方的幻和是１５。
幻和增加了２４－１５＝９，
每个数应该增加９÷３＝３。
三阶幻方的基本型的拓展：
每个数都加上１，依然是一个幻方，幻和增加了３。
幻方的基本型可以拓展出更多的幻方！
例题：
在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于18.
2
5
例题：
请用１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、２７编制一个三阶幻方。
这是一个等差数列，将它与基本型中的１－９对应好：
１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、２７
１、 ２、 ３、 ４、 ５、 ６、 ７、 ８、 ９
（１）先写出基本型
（２）再对应的数填在对应的位置。
习题：
1、把７—１５这九个数构成一个三阶幻方。
2、把５－２０这１６个数构成一个四阶幻方。
3、
把３、４、５、８、９、１０、１３、１４、１５编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？
4、构成一个三阶幻方，使其幻和是１８。
5、用罗伯法把５－２９这２５个数编成一个五阶幻方。
6、把１０－５８编排成一个七阶幻方。
7、用９个连续的自然数构造一个三阶幻方，使每一横行、竖列、对角线的三个数的和等于６０。
Ａ
７
Ｄ
Ｂ
１０
１５
１１
Ｃ
６
8、
9、用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
10
9
10、在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
【小试锋芒】
1.
2.在下面的方格内分别填上3~11、5~13、7~15这九个数字，使横、竖和对角线上三个数的和都相等。
3.用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方。
4.把12到36这25个数填入下图中，使横、竖和对角线上三个数的和都相等。
5.将九个连续自然数填入九宫格中，使横、竖和对角线上三个数的和都等于66.
6.把25~33这九个数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每条对角线上三个数的和都相等。
7.把1~100中找出25个连续数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每条对角线上三个数的和都相等。
8.把10~60中找出25个连续数字填入以下五阶幻方中，使每一行横、每一竖和每条对角线上的五个数的和都相等。
9.在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于21.
7
8
10.在空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等.
42
3430
11.找出九个连续的自然数，分别填入下图的圈内，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都等于60。
1.
11
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