经典算法实例.docx
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经典算法实例
CC++,经典算法实例
一、数论算法
1．求两数的最大公约数
functiongcd（a,b:
integer）:
integer;
begin
ifb=0thengcd:
=a
elsegcd:
=gcd（b,amodb）;
end;
2．求两数的最小公倍数
functionlcm（a,b:
integer）:
integer;
begin
ifalcm:
=a;
whilelcmmodb>0doinc（lcm,a）;
end;
3．素数的求法
A.小范围内判断一个数是否为质数：
functionprime（n:
integer）:
Boolean;
varI:
integer;
begin
forI:
=2totrunc（sqrt（n））do
ifnmodI=0thenbegin
prime:
=false;exit;
end;
prime:
=true;
end;
B.判断longint范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）：
proceduregetprime;
var
i,j:
longint;
p:
array[1..50000]ofboolean;
begin
fillchar（p,sizeof（p）,true）;
p[1]:
=false;
i:
=2;
whilei<50000dobegin
ifp[i]thenbegin
j:
=i*2;
whilej<50000dobegin
p[j]:
=false;
inc（j,i）;
end;
end;
inc（i）;
end;
l:
=0;
fori:
=1to50000do
ifp[i]thenbegin
inc（l）;pr[l]:
=i;
end;
end;{getprime}
functionprime（x:
longint）:
integer;
vari:
integer;
begin
prime:
=false;
fori:
=1toldo
ifpr[i]>=xthenbreak
elseifxmodpr[i]=0thenexit;
prime:
=true;
end;{prime}
二、图论算法
1．最小生成树
算法：
procedureprim（v0:
integer）;
var
lowcost,closest:
array[1..maxn]ofinteger;
i,j,k,min:
integer;
begin
fori:
=1tondobegin
lowcost[i]:
=cost[v0,i];
closest[i]:
=v0;
end;
fori:
=1ton-1dobegin
{寻找离生成树最近的未加入顶点k}
min:
=maxlongint;
forj:
=1tondo
if（lowcost[j]0）thenbegin
min:
=lowcost[j];
k:
=j;
end;
lowcost[k]:
=0;{将顶点k加入生成树}
{生成树中增加一条新的边k到closest[k]}
{修正各点的lowcost和closest值}
forj:
=1tondo
ifcost[k,j]lowcost[j]:
=cost[k,j];
closest[j]:
=k;
end;
end;
end;{prim}
算法：
（贪心）
按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最小生成树。
functionfind（v:
integer）:
integer;{返回顶点v所在的集合}
vari:
integer;
begin
i:
=1;
while（i<=n）and（notvinvset[i]）doinc（i）;
ifi<=nthenfind:
=ielsefind:
=0;
end;
procedurekruskal;
var
tot,i,j:
integer;
begin
fori:
=1tondovset[i]:
=[i];{初始化定义n个集合，第I个集合包含一个元素I}
p:
=n-1;q:
=1;tot:
=0;{p为尚待加入的边数，q为边集指针}
sort;
{对所有边按权值递增排序，存于e[I]中，e[I].v1与e[I].v2为边I所连接的两个顶点的序号，e[I].len为第I条边的长度}
whilep>0dobegin
i:
=find（e[q].v1）;j:
=find（e[q].v2）;
ifi<>jthenbegin
inc（tot,e[q].len）;
vset[i]:
=vset[i]+vset[j];vset[j]:
=[];
dec（p）;
end;
inc（q）;
end;
writeln（tot）;
end;
2.最短路径
A.标号法求解单源点最短路径：
var
a:
array[1..maxn,1..maxn]ofinteger;
b:
array[1..maxn]ofinteger;{b[i]指顶点i到源点的最短路径}
mark:
array[1..maxn]ofboolean;
procedurebhf;
var
best,best_j:
integer;
begin
fillchar（mark,sizeof（mark）,false）;
mark[1]:
=true;b[1]:
=0;{1为源点}
repeat
best:
=0;
fori:
=1tondo
Ifmark[i]then{对每一个已计算出最短路径的点}
forj:
=1tondo
if（notmark[j]）and（a[i,j]>0）then
if（best=0）or（b[i]+a[i,j]best:
=b[i]+a[i,j];best_j:
=j;
end;
ifbest>0thenbegin
b[best_j]:
=best；mark[best_j]:
=true;
end;
untilbest=0;
end;{bhf}
算法求解所有顶点对之间的最短路径：
procedurefloyed;
begin
forI:
=1tondo
forj:
=1tondo
ifa[I,j]>0thenp[I,j]:
=Ielsep[I,j]:
=0;{p[I,j]表示I到j的最短路径上j的前驱结点}
fork:
=1tondo{枚举中间结点}
fori:
=1tondo
forj:
=1tondo
ifa[i,k]+a[j,k]a[i,j]:
=a[i,k]+a[k,j];
p[I,j]:
=p[k,j];
end;
end;
C.Dijkstra算法：
var
a:
array[1..maxn,1..maxn]ofinteger;
b,pre:
array[1..maxn]ofinteger;{pre[i]指最短路径上I的前驱结点}
mark:
array[1..maxn]ofboolean;
proceduredijkstra（v0:
integer）;
begin
fillchar（mark,sizeof（mark）,false）;
fori:
=1tondobegin
d[i]:
=a[v0,i];
ifd[i]<>0thenpre[i]:
=v0elsepre[i]:
=0;
end;
mark[v0]:
=true;
repeat{每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数}
min:
=maxint;u:
=0;{u记录离1集合最近的结点}
fori:
=1tondo
if（notmark[i]）and（d[i]u:
=i;min:
=d[i];
end;
ifu<>0thenbegin
mark[u]:
=true;
fori:
=1tondo
if（notmark[i]）and（a[u,i]+d[u]d[i]:
=a[u,i]+d[u];
pre[i]:
=u;
end;
end;
untilu=0;
end;
3.计算图的传递闭包
ProcedureLonglink;
Var
T:
array[1..maxn,1..maxn]ofboolean;
Begin
Fillchar（t,sizeof（t）,false）;
Fork:
=1tondo
ForI:
=1tondo
Forj:
=1tondoT[I,j]:
=t[I,j]or（t[I,k]andt[k,j]）;
End;
4．无向图的连通分量
A.深度优先
proceduredfs（now,color:
integer）;
begin
fori:
=1tondo
ifa[now,i]andc[i]=0thenbegin{对结点I染色}
c[i]:
=color;
dfs（I,color）;
end;
end;
B宽度优先（种子染色法）
5．关键路径
几个定义：
顶点1为源点，n为汇点。
a.顶点事件最早发生时间Ve[j],Ve[j]=max{Ve[j]+w[I,j]},其中Ve
（1）=0;
b.顶点事件最晚发生时间Vl[j],Vl[j]=min{Vl[j]–w[I,j]},其中Vl（n）=Ve（n）;
c.边活动最早开始时间Ee[I],若边I由表示，则Ee[I]=Ve[j];
d.边活动最晚开始时间El[I],若边I由表示，则El[I]=Vl[k]–w[j,k];
若Ee[j]=El[j]，则活动j为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。
求解方法：
a.从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve;
b.从汇点起topsort,求Vl;
c.算Ee和El;
6．拓扑排序
找入度为0的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。
例寻找一数列，其中任意连续p项之和为正，任意q项之和为负，若不存在则输出NO.
7.回路问题
Euler回路（DFS）
定义：
经过图的每条边仅一次的回路。
（充要条件：
图连同且无奇点）
Hamilton回路
定义：
经过图的每个顶点仅一次的回路。
一笔画
充要条件：
图连通且奇点个数为0个或2个。
9．判断图中是否有负权回路Bellman-ford算法
x[I],y[I],t[I]分别表示第I条边的起点，终点和权。
共n个结点和m条边。
procedurebellman-ford
begin
forI:
=0ton-1dod[I]:
=+infinitive;
d[0]:
=0;
forI:
=1ton-1do
forj:
=1tomdo{枚举每一条边}
ifd[x[j]]+t[j]=d[x[j]]+t[j];
forI:
=1tomdo
ifd[x[j]]+t[j]end;
10．第n最短路径问题
*第二最短路径：
每举最短路径上的每条边，每次删除一条，然后求新图的最短路径，取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。
*同理，第n最短路径可在求解第n-1最短路径的基础上求解。
三、背包问题
*部分背包问题可有贪心法求解：
计算Pi/Wi
数据结构：
w[i]:
第i个背包的重量；
p[i]:
第i个背包的价值；
1．0-1背包：
每个背包只能使用一次或有限次（可转化为一次）：
A.求最多可放入的重量。
NOIP2001装箱问题
有一个箱子容量为v（正整数，o≤v≤20000），同时有n个物品（o≤n≤30），每个物品有一个体积（正整数）。
要求从n个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
l搜索方法
proceduresearch（k,v:
integer）;{搜索第k个物品，剩余空间为v}
vari,j:
integer;
begin
ifv=v;
ifv-（s[n]-s[k-1]）>=bestthenexit;{s[n]为前n个物品的重量和}
ifk<=nthenbegin
ifv>w[k]thensearch（k+1,v-w[k]）;
search（k+1,v）;
end;
end;
lDP
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
实现:
将最优化问题转化为判定性问题
f[I,j]=f[i-1,j-w[i]]（w[I]<=j<=v）边界：
f[0,0]:
=true.
ForI:
=1tondo
Forj:
=w[I]tovdoF[I,j]:
=f[I-1,j-w[I]];
优化：
当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。
F[0]:
=true;
ForI:
=1tondobegin
F1:
=f;
Forj:
=w[I]tovdo
Iff[j-w[I]]thenf1[j]:
=true;
F:
=f1;
End;
B.求可以放入的最大价值。
F[I,j]为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。
F[i,j]=max{f[i–w[j],j-1]+p[j],f[i,j-1]}
C.求恰好装满的情况数。
DP:
Procedureupdate;
varj,k:
integer;
begin
c:
=a;
forj:
=0tondo
ifa[j]>0then
ifj+now<=ntheninc（c[j+now],a[j]）;
a:
=c;
end;
2．可重复背包
A求最多可放入的重量。
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
状态转移方程为
f[I,j]=f[I-1,j–w[I]*k]（k=1..jdivw[I]）
B.求可以放入的最大价值。
USACOScoreInflation
进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提下，所得的总分最大，求最大的得分。
*易想到：
f[i,j]=max{f[i-k*w[j],j-1]+k*p[j]}（0<=k<=idivw[j]）
其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。
*实现：
Begin
FillChar（f,SizeOf（f）,0）;
Fori:
=1ToMDo
Forj:
=1ToNDo
Ifi-problem[j].time>=0Then
Begin
t:
=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
Ift>f[i]Thenf[i]:
=t;
End;
Writeln（f[M]）;
End.
C.求恰好装满的情况数。
Ahoi2001Problem2
求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。
思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。
proceduretry（dep:
integer）;
vari,j:
integer;
begin
cal;{此过程计算当前系数的计算结果，now为结果}
ifnow>nthenexit;{剪枝}
ifdep=l+1thenbegin{生成所有系数}
cal;
ifnow=ntheninc（tot）;
exit;
end;
fori:
=0tondivpr[dep]dobegin
xs[dep]:
=i;
try（dep+1）;
xs[dep]:
=0;
end;
end;
思路二，递归搜索效率较高
proceduretry（dep,rest:
integer）;
vari,j,x:
integer;
begin
if（rest<=0）or（dep=l+1）thenbegin
ifrest=0theninc（tot）;
exit;
end;
fori:
=0torestdivpr[dep]do
try（dep+1,rest-pr[dep]*i）;
end;
{main:
try（1,n）;}
思路三：
可使用动态规划求解
moneysystem
V个物品，背包容量为n，求放法总数。
转移方程：
Procedureupdate;
varj,k:
integer;
begin
c:
=a;
forj:
=0tondo
ifa[j]>0then
fork:
=1tondivnowdo
ifj+now*k<=ntheninc（c[j+now*k],a[j]）;
a:
=c;
end;
{main}
begin
read（now）;{读入第一个物品的重量}
i:
=0;{a[i]为背包容量为i时的放法总数}
whilei<=ndobegin
a[i]:
=1;inc（i,now）;end;{定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1，作为初值}
fori:
=2tovdo
begin
read（now）;
update;{动态更新}
end;
writeln（a[n]）;
四、排序算法
A.快速排序：
procedureqsort（l,r:
integer）;
vari,j,mid:
integer;
begin
i:
=l;j:
=r;mid:
=a[（l+r）div2];{将当前序列在中间位置的数定义为中间数}
repeat
whilea[i]whilea[j]>middodec（j）;{在右半部分寻找比中间数小的数}
ifi<=jthenbegin{若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们}
swap（a[i],a[j]）;
inc（i）;dec（j）;{继续找}
end;
untili>j;
iflifiend;{sort}
B.插入排序：
思路：
当前a[1]..a[i-1]已排好序了，现要插入a[i]使a[1]..a[i]有序。
procedureinsert_sort;
vari,j:
integer;
begin
fori:
=2tondobegin
a[0]:
=a[i];
j:
=i-1;
whilea[0]a[j+1]:
=a[j];
j:
=j-1;
end;
a[j+1]:
=a[0];
end;
end;{inset_sort}
C.选择排序：
proceduresort;
vari,j,k:
integer;
begin
fori:
=1ton-1do
forj:
=i+1tondo
ifa[i]>a[j]thenswap（a[i],a[j]）;
end;
D.冒泡排序
procedurebubble_sort;
vari,j,k:
integer;
begin
fori:
=1ton-1do
forj:
=ndowntoi+1do
ifa[j]end;
E.堆排序：
proceduresift（i,m:
integer）;{调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数}
vark:
integer;
begin
a[0]:
=a[i];k:
=2*i;{在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1}
whilek<=mdobegin
if（kifa[0]=a[k];i:
=k;k:
=2*i;end
elsek:
=m+1;
end;
a[i]:
=a[0];{将根放在合适的位置}
end;
procedureheapsort;
var
j:
integer;
begin
forj:
=ndiv2downto1dosift（j,n）;
forj:
=ndownto2dobegin
swap（a[1],a[j]）;
sift（1,j-1）;
end;
end;
F.归并排序
{a为序列表，tmp为辅助数组}
proceduremerge（vara:
listtype;p,q,r:
integer）;
{将已排序好的子序列a[p..q]与a[q+1..r]合并为有序的tmp[p..r]}
varI,j,t:
integer;
tmp:
listtype;
begin
t:
=p;i:
=p;j:
=q+1;{t为tmp指针，I,j分别为左右子序列的指针}
while（t<=r）dobegin
if（i<=q）{左序列有剩余}and（（j>r）or（a[i]<=a[j]））{满足取左边序列当前元素的要求}
thenbegin
tmp[t]:
=a[i];inc（i）;
end
elsebegin
tmp[t]:
=a[j];inc（j）;
end;
inc（t）;
end;
fori:
=ptordoa[i]:
=tmp[i];
end;{merge}
proceduremerge_sort（vara:
listtype;p,r:
integer）;{合并排序a[p..r]}
varq:
integer;
begin
ifp<>rthenbegin
q:
=（p+r-1）div2;
merge_sort（a,p,q）;
merge_sort（a,q+1,r）;
merge（a,p,q,r）;
end;
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