d[i]:
=a[u,i]+d[u];
pre[i]:
=u;
end;
end;
untilu=0;
end;
3.计算图的传递闭包
ProcedureLonglink;
Var
T:
array[1..maxn,1..maxn]ofboolean;
Begin
Fillchar(t,sizeof(t),false);
Fork:
=1tondo
ForI:
=1tondo
Forj:
=1tondoT[I,j]:
=t[I,j]or(t[I,k]andt[k,j]);
End;
4.无向图的连通分量
A.深度优先
proceduredfs(now,color:
integer);
begin
fori:
=1tondo
ifa[now,i]andc[i]=0thenbegin{对结点I染色}
c[i]:
=color;
dfs(I,color);
end;
end;
B宽度优先(种子染色法)
5.关键路径
几个定义:
顶点1为源点,n为汇点。
a.顶点事件最早发生时间Ve[j],Ve[j]=max{Ve[j]+w[I,j]},其中Ve
(1)=0;
b.顶点事件最晚发生时间Vl[j],Vl[j]=min{Vl[j]–w[I,j]},其中Vl(n)=Ve(n);
c.边活动最早开始时间Ee[I],若边I由表示,则Ee[I]=Ve[j];
d.边活动最晚开始时间El[I],若边I由表示,则El[I]=Vl[k]–w[j,k];
若Ee[j]=El[j],则活动j为关键活动,由关键活动组成的路径为关键路径。
求解方法:
a.从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve;
b.从汇点起topsort,求Vl;
c.算Ee和El;
6.拓扑排序
找入度为0的点,删去与其相连的所有边,不断重复这一过程。
例寻找一数列,其中任意连续p项之和为正,任意q项之和为负,若不存在则输出NO.
7.回路问题
Euler回路(DFS)
定义:
经过图的每条边仅一次的回路。
(充要条件:
图连同且无奇点)
Hamilton回路
定义:
经过图的每个顶点仅一次的回路。
一笔画
充要条件:
图连通且奇点个数为0个或2个。
9.判断图中是否有负权回路Bellman-ford算法
x[I],y[I],t[I]分别表示第I条边的起点,终点和权。
共n个结点和m条边。
procedurebellman-ford
begin
forI:
=0ton-1dod[I]:
=+infinitive;
d[0]:
=0;
forI:
=1ton-1do
forj:
=1tomdo{枚举每一条边}
ifd[x[j]]+t[j]=d[x[j]]+t[j];
forI:
=1tomdo
ifd[x[j]]+t[j]end;
10.第n最短路径问题
*第二最短路径:
每举最短路径上的每条边,每次删除一条,然后求新图的最短路径,取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。
*同理,第n最短路径可在求解第n-1最短路径的基础上求解。
三、背包问题
*部分背包问题可有贪心法求解:
计算Pi/Wi
数据结构:
w[i]:
第i个背包的重量;
p[i]:
第i个背包的价值;
1.0-1背包:
每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次):
A.求最多可放入的重量。
NOIP2001装箱问题
有一个箱子容量为v(正整数,o≤v≤20000),同时有n个物品(o≤n≤30),每个物品有一个体积(正整数)。
要求从n个物品中,任取若千个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
l搜索方法
proceduresearch(k,v:
integer);{搜索第k个物品,剩余空间为v}
vari,j:
integer;
begin
ifv=v;
ifv-(s[n]-s[k-1])>=bestthenexit;{s[n]为前n个物品的重量和}
ifk<=nthenbegin
ifv>w[k]thensearch(k+1,v-w[k]);
search(k+1,v);
end;
end;
lDP
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志,为布尔型。
实现:
将最优化问题转化为判定性问题
f[I,j]=f[i-1,j-w[i]](w[I]<=j<=v)边界:
f[0,0]:
=true.
ForI:
=1tondo
Forj:
=w[I]tovdoF[I,j]:
=f[I-1,j-w[I]];
优化:
当前状态只与前一阶段状态有关,可降至一维。
F[0]:
=true;
ForI:
=1tondobegin
F1:
=f;
Forj:
=w[I]tovdo
Iff[j-w[I]]thenf1[j]:
=true;
F:
=f1;
End;
B.求可以放入的最大价值。
F[I,j]为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。
F[i,j]=max{f[i–w[j],j-1]+p[j],f[i,j-1]}
C.求恰好装满的情况数。
DP:
Procedureupdate;
varj,k:
integer;
begin
c:
=a;
forj:
=0tondo
ifa[j]>0then
ifj+now<=ntheninc(c[j+now],a[j]);
a:
=c;
end;
2.可重复背包
A求最多可放入的重量。
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志,为布尔型。
状态转移方程为
f[I,j]=f[I-1,j–w[I]*k](k=1..jdivw[I])
B.求可以放入的最大价值。
USACOScoreInflation
进行一次竞赛,总时间T固定,有若干种可选择的题目,每种题目可选入的数量不限,每种题目有一个ti(解答此题所需的时间)和一个si(解答此题所得的分数),现要选择若干题目,使解这些题的总时间在T以内的前提下,所得的总分最大,求最大的得分。
*易想到:
f[i,j]=max{f[i-k*w[j],j-1]+k*p[j]}(0<=k<=idivw[j])
其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。
*实现:
Begin
FillChar(f,SizeOf(f),0);
Fori:
=1ToMDo
Forj:
=1ToNDo
Ifi-problem[j].time>=0Then
Begin
t:
=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
Ift>f[i]Thenf[i]:
=t;
End;
Writeln(f[M]);
End.
C.求恰好装满的情况数。
Ahoi2001Problem2
求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。
思路一,生成每个质数的系数的排列,在一一测试,这是通法。
proceduretry(dep:
integer);
vari,j:
integer;
begin
cal;{此过程计算当前系数的计算结果,now为结果}
ifnow>nthenexit;{剪枝}
ifdep=l+1thenbegin{生成所有系数}
cal;
ifnow=ntheninc(tot);
exit;
end;
fori:
=0tondivpr[dep]dobegin
xs[dep]:
=i;
try(dep+1);
xs[dep]:
=0;
end;
end;
思路二,递归搜索效率较高
proceduretry(dep,rest:
integer);
vari,j,x:
integer;
begin
if(rest<=0)or(dep=l+1)thenbegin
ifrest=0theninc(tot);
exit;
end;
fori:
=0torestdivpr[dep]do
try(dep+1,rest-pr[dep]*i);
end;
{main:
try(1,n);}
思路三:
可使用动态规划求解
moneysystem
V个物品,背包容量为n,求放法总数。
转移方程:
Procedureupdate;
varj,k:
integer;
begin
c:
=a;
forj:
=0tondo
ifa[j]>0then
fork:
=1tondivnowdo
ifj+now*k<=ntheninc(c[j+now*k],a[j]);
a:
=c;
end;
{main}
begin
read(now);{读入第一个物品的重量}
i:
=0;{a[i]为背包容量为i时的放法总数}
whilei<=ndobegin
a[i]:
=1;inc(i,now);end;{定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1,作为初值}
fori:
=2tovdo
begin
read(now);
update;{动态更新}
end;
writeln(a[n]);
四、排序算法
A.快速排序:
procedureqsort(l,r:
integer);
vari,j,mid:
integer;
begin
i:
=l;j:
=r;mid:
=a[(l+r)div2];{将当前序列在中间位置的数定义为中间数}
repeat
whilea[i]whilea[j]>middodec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数}
ifi<=jthenbegin{若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们}
swap(a[i],a[j]);
inc(i);dec(j);{继续找}
end;
untili>j;
iflifiend;{sort}
B.插入排序:
思路:
当前a[1]..a[i-1]已排好序了,现要插入a[i]使a[1]..a[i]有序。
procedureinsert_sort;
vari,j:
integer;
begin
fori:
=2tondobegin
a[0]:
=a[i];
j:
=i-1;
whilea[0]a[j+1]:
=a[j];
j:
=j-1;
end;
a[j+1]:
=a[0];
end;
end;{inset_sort}
C.选择排序:
proceduresort;
vari,j,k:
integer;
begin
fori:
=1ton-1do
forj:
=i+1tondo
ifa[i]>a[j]thenswap(a[i],a[j]);
end;
D.冒泡排序
procedurebubble_sort;
vari,j,k:
integer;
begin
fori:
=1ton-1do
forj:
=ndowntoi+1do
ifa[j]end;
E.堆排序:
proceduresift(i,m:
integer);{调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数}
vark:
integer;
begin
a[0]:
=a[i];k:
=2*i;{在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1}
whilek<=mdobegin
if(kifa[0]=a[k];i:
=k;k:
=2*i;end
elsek:
=m+1;
end;
a[i]:
=a[0];{将根放在合适的位置}
end;
procedureheapsort;
var
j:
integer;
begin
forj:
=ndiv2downto1dosift(j,n);
forj:
=ndownto2dobegin
swap(a[1],a[j]);
sift(1,j-1);
end;
end;
F.归并排序
{a为序列表,tmp为辅助数组}
proceduremerge(vara:
listtype;p,q,r:
integer);
{将已排序好的子序列a[p..q]与a[q+1..r]合并为有序的tmp[p..r]}
varI,j,t:
integer;
tmp:
listtype;
begin
t:
=p;i:
=p;j:
=q+1;{t为tmp指针,I,j分别为左右子序列的指针}
while(t<=r)dobegin
if(i<=q){左序列有剩余}and((j>r)or(a[i]<=a[j])){满足取左边序列当前元素的要求}
thenbegin
tmp[t]:
=a[i];inc(i);
end
elsebegin
tmp[t]:
=a[j];inc(j);
end;
inc(t);
end;
fori:
=ptordoa[i]:
=tmp[i];
end;{merge}
proceduremerge_sort(vara:
listtype;p,r:
integer);{合并排序a[p..r]}
varq:
integer;
begin
ifp<>rthenbegin
q:
=(p+r-1)div2;
merge_sort(a,p,q);
merge_sort(a,q+1,r);
merge(a,p,q,r);
end;