固体物理-能带理论.pptx

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第四章能带理论能带理论能带理论研究固体中电子运动的主要理论基础研究固体中电子运动的主要理论基础定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距说明了导体、非导体的区别说明了导体、非导体的区别半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展能带理论能带理论单电子近似的理论单电子近似的理论单电子近似单电子近似最早用于研究多电子原子最早用于研究多电子原子哈哈特特里里福福克克自洽场方法自洽场方法能带理论的出发点能带理论的出发点电子不再束缚于个别的原子电子不再束缚于个别的原子而而在整个固体内运动在整个固体内运动共共有有化电子化电子每个电子的运动每个电子的运动看成是独立的看成是独立的在在一一个个等等效势场中的运动效势场中的运动共有化电子的运动状态共有化电子的运动状态理想晶体理想晶体晶格具有周期性，等效势场具有周期性晶格具有周期性，等效势场具有周期性电子在晶格周期性的等效势场中运动电子在晶格周期性的等效势场中运动波动方程波动方程晶格周期性势场晶格周期性势场假定原子实处在平衡位置假定原子实处在平衡位置把把原原子子实实偏偏离离平平衡衡位位置置的的影影响响看看成成微扰微扰一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理*第一步简化第一步简化绝热近似绝热近似离离子子实实质质量量比比电电子大，运动慢子大，运动慢离离子子固固定定在在瞬瞬时时位置上位置上*第二步简化第二步简化利用利用哈特里一福克自治场哈特里一福克自治场方法方法多多电电子子问问题题简简化化为为单单电电子问题子问题每个电子在离子势场每个电子在离子势场和和其其它它电电子子的的平平均场均场中运动中运动一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理*第三步简化第三步简化周期性势场周期性势场所有离子势场所有离子势场和其它电子的和其它电子的平均场是平均场是周期性势场周期性势场三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理能量本征值的计算能量本征值的计算选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合晶晶体体中中的的电电子子的的波波函函数数按按此此函函数数集集合合展开展开将将电子的波函数电子的波函数代入薛定谔方程代入薛定谔方程确确定定展展开开式式中中的的系系数数应应满满足足的的久久期期方方程程求解久期方程得到求解久期方程得到能量本征值能量本征值三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理电子波函数的计算电子波函数的计算根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数得到具体的波函数得到具体的波函数在不同的能带计算模型和方法中在不同的能带计算模型和方法中采采取取的的理理论论框框架架相相同同，只只是是选选取取不不同同的的函函数数集合集合能带理论的局限性能带理论的局限性一些过渡金属化合物晶体一些过渡金属化合物晶体价电子的迁移率小价电子的迁移率小自由程与晶格常数相当自由程与晶格常数相当_电子不为原子电子不为原子所共有所共有周期场失去意义周期场失去意义_能带理论不适用了能带理论不适用了*非晶态固体非晶态固体非晶态固体和液态金属只有短程有序非晶态固体和液态金属只有短程有序两种物质的电子能谱两种物质的电子能谱显然不是长程序的周期场的结果显然不是长程序的周期场的结果电子与电子之间的作用电子与电子之间的作用从多体问题的角度从多体问题的角度电电子子之之间间的的相相互互作作用用不不能能简简单单地地用用平平均均场场代替代替金属中的价电子系统金属中的价电子系统_不能用电子气来描述了不能用电子气来描述了必须把价电子系统看成量子液体必须把价电子系统看成量子液体电子与晶格之间的作用电子与晶格之间的作用电子和晶格相互作用电子和晶格相互作用在在离离子子晶晶体体中中电电子子的的运运动动会会引引起起周周围围晶晶格格畸变畸变电子带着这种畸变一起前进的电子带着这种畸变一起前进的电子不再是在周期场中的运动电子不再是在周期场中的运动04_01布洛赫定理布洛赫定理方程的解具有以下性质方程的解具有以下性质布洛赫定理布洛赫定理布洛赫定理布洛赫定理势场势场具有晶格周期性时具有晶格周期性时电电子子的的波波函函数数满满足足薛薛定定谔方程谔方程布洛赫定理布洛赫定理为一矢量为一矢量当平移晶格矢量当平移晶格矢量波函数只增加了相位因子波函数只增加了相位因子晶格周期性函数晶格周期性函数电子的波函数电子的波函数布洛赫函数布洛赫函数布洛赫定理的证明布洛赫定理的证明引入引入平移算符平移算符证明平移算符与哈密顿算符证明平移算符与哈密顿算符对易对易两者具有相同的本征函数两者具有相同的本征函数利用周期性边界条件利用周期性边界条件确定确定平移算符的本平移算符的本征值征值给出给出电子波函数电子波函数的的形式形式势场的周期性反映了晶格的平移对称性势场的周期性反映了晶格的平移对称性晶格平移任意矢量晶格平移任意矢量势场不变势场不变在晶体中引入描述这些在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符平移对称操作的算符平移任意晶格矢量平移任意晶格矢量对应的平移算符对应的平移算符作用于任意函数作用于任意函数平移算符作用于周期性势场平移算符作用于周期性势场平移算符平移算符的性质的性质各平移算符之间对易各平移算符之间对易对于任意函数对于任意函数平移算符和哈密顿量对易平移算符和哈密顿量对易对于任意函数对于任意函数和和微分结果一样微分结果一样平移算符的平移算符的本征值本征值T和和H存在对易关系存在对易关系具有共同本征函数具有共同本征函数周期性边界条件周期性边界条件对于对于对于对于对于对于整数整数引入矢量引入矢量倒格子基矢倒格子基矢满足满足平移算符的本征值平移算符的本征值将将作用于电子波函数作用于电子波函数平移算符的本征值平移算符的本征值布洛赫定理布洛赫定理电子的波函数电子的波函数满足布洛赫定理满足布洛赫定理晶格周期性函数晶格周期性函数布洛赫函数布洛赫函数平移算符本征值的物理意义平移算符本征值的物理意义1）原胞之间电子波原胞之间电子波函数相位函数相位的变化的变化2）平移算符本征值量子数平移算符本征值量子数简约波矢简约波矢不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同3）简约波矢改变一个倒格子矢量简约波矢改变一个倒格子矢量平移算符的本征值平移算符的本征值布洛赫定理布洛赫定理本征值相同本征值相同为为了了使使简简约约波波矢矢的的取取值值和和平平移移算算符符的的本本征征值值一一一一对对应应简约波矢简约波矢第一布里渊区体积第一布里渊区体积取值限制第一布里渊区取值限制第一布里渊区简约波矢简约波矢在在空空间间中中第第一一布布里里渊渊区区均均匀匀分分布布的的点点每个代表点的体积每个代表点的体积状态密度状态密度简约布里渊区的波矢数目简约布里渊区的波矢数目固体体积固体体积04_02一维周期场中电子运动的近自由电子近似一维周期场中电子运动的近自由电子近似模型和微扰计算模型和微扰计算近自由电子近似模型近自由电子近似模型假定势场的起伏较小假定势场的起伏较小金属中电子受到原子金属中电子受到原子实周期性势场实周期性势场的作用的作用零级近似零级近似用势场平均值代替原子实产生的势场用势场平均值代替原子实产生的势场周期性势场的起伏量周期性势场的起伏量可以作为微扰可以作为微扰来处理来处理零级近似下电子的能量和波函数零级近似下电子的能量和波函数空格子中电子的能量和波函数空格子中电子的能量和波函数金属的线度金属的线度零级近似下零级近似下薛定谔方程薛定谔方程波函数和能量本征值波函数和能量本征值满足正交归一化满足正交归一化l为整数为整数周期边界条件周期边界条件电子的波矢取值电子的波矢取值能量能量微扰下电子的能量本征值微扰下电子的能量本征值哈密顿量哈密顿量量子力学微扰理论量子力学微扰理论电子的能量本征值电子的能量本征值一级能量修正一级能量修正能量本征值能量本征值二级能量修正二级能量修正按原胞划分积分按原胞划分积分引入积分变量引入积分变量势场是晶格周期性函数势场是晶格周期性函数1）2）V（x）第第n个傅里叶系数个傅里叶系数二级修正项二级修正项电子的能量本征值电子的能量本征值微扰下电子的波函数微扰下电子的波函数电子的波函数电子的波函数波函数的一级修正波函数的一级修正计入微扰电子的波函数计入微扰电子的波函数令令可以证明可以证明电子波函数电子波函数具有布洛赫具有布洛赫函数形式函数形式电子波函数的意义电子波函数的意义1）电子波函数和散射波电子波函数和散射波前进的平面波前进的平面波势场作用产生的散射波势场作用产生的散射波散射波的波矢散射波的波矢相关散射波成份的振幅相关散射波成份的振幅相邻原子的散射波有相同的相位相邻原子的散射波有相同的相位散射波散射波电子入射波波长电子入射波波长布拉格反射条件在正入射时的结果布拉格反射条件在正入射时的结果波函数一级修正项波函数一级修正项散射波成份的振幅散射波成份的振幅微扰法不再适用了微扰法不再适用了入射波波矢入射波波矢2）电子波函数和不同态之间的相互作用电子波函数和不同态之间的相互作用在在零零级级波波函函数数中中掺入其它零级波函数掺入其它零级波函数能量差越小掺入部分越大能量差越小掺入部分越大当当时时两个状态具有相同的能量两个状态具有相同的能量导致了导致了波函数的发散波函数的发散电子能量的意义电子能量的意义二级能量修正二级能量修正当当电子的能量是发散的电子的能量是发散的k和和k两个状态具有相同的能量两个状态具有相同的能量_k和和k态简并态简并电子波矢在电子波矢在附近的能附近的能量和波函数量和波函数简并微扰简并微扰波函数由简并波函数线性组合构成波函数由简并波函数线性组合构成状态状态是一个小量是一个小量主要影响的态主要影响的态只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响状态状态对对状态状态的的影响影响简并波函数简并波函数薛定谔方程薛定谔方程应用应用分别以分别以或或从左边乘方程，对从左边乘方程，对x积分积分利用利用线性代数方程线性代数方程a,b有非零解有非零解1）波矢波矢k离离较远，较远，k状态的能量和状态状态的能量和状态k差别较大差别较大将将按按展开展开能量本征值能量本征值k和和k能级相互作用能级相互作用原来能级较高的原来能级较高的k提高提高原来能级较低的原来能级较低的k下压下压量子力学中微扰作用量子力学中微扰作用两个相互影响的能级两个相互影响的能级总是总是原来较高的能量提高了原来较高的能量提高了原来原来较低的能量降低了较低的能量降低了能级间能级间“排斥作用排斥作用”原来能级较高的原来能级较高的k提高提高原原来来能能级级较较低低的的k下压下压2）波波矢矢k非非常常接接近近，k状状态态的的能能量量和和k能能量量差差别别很小很小将将按按展开展开结果分析结果分析1）两个状态两个状态k和和k微扰后微扰后能量变为能量变为E+和和E-原原能能量量高高的的态态，能能量量提提高高；原原能能量量低低的的态态能量能量降低降低两个相互影响的状态两个相互影响的状态k和和k微扰后微扰后能量变为能量变为E+和和E-2）当当0时时两种情形下完全对称的能级两种情形下完全对称的能级A和和B两个状态作用后的能级两个状态作用后的能级C和和D两个状态作用后的能级两个状态作用后的能级3）能带和带隙能带和带隙_禁带禁带零级近似，电子能量曲线为抛物线零级近似，电子能量曲线为抛物线k状态不计二级能量修正状态不计二级能量修正微微扰扰情情形形，电电子子的的k不不在在附近附近3）能带和带隙能带和带隙_禁带禁带抛物线抛物线电