建筑力学电子教案_弯曲.ppt

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第十章弯曲,10-1剪力和弯矩剪力图和弯矩图,一直杆在通过轴线的平面内受垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶作用，杆的轴线弯曲，杆任意两横截面绕垂直于杆轴线的轴作相对转动的变形形式，称为弯曲。

在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件称为梁。

弯曲问题中最简单和常见的情况是平面弯曲。

平面弯曲：

梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合的弯曲形式。

分析计算弯曲构件时，要把实际构件简化成计算模型，一般进行三个方面的简化：

（1）构件几何形状简化：

暂不考虑构件截面具体形状、将其简化为一直杆、并用构件的轴线来表示，如齿轮受力计算。

（2）载荷的简化：

简化成三种形式集中载荷分布载荷集中力偶,（3）支座的简化：

固定端这种支座使梁的端截面既不能移动也不能转动、因此它有三个约束，相应有三个支反力：

水平支反力，铅垂支反力和矩M。

如跳水板支座。

固定铰支座限制梁端截面沿水平方向和铅垂方向移动，但不限制它绕铰中心转动，因此它有两个约束，相应有两个支反力，水平力和铅垂力。

可动铰支座限制梁端面的铅垂方向移动，但不限制它沿水平方向移动和绕铰中心转动，因此它有一个约束，相应有一个支反力。

根据梁的支承情况，常见的梁有以下三种基本形式：

（1）简支梁：

梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座。

（2）外伸梁：

梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座，梁的一端或两端伸出支座之外。

（3）悬壁梁：

梁的一端固定，另一端自由。

三种梁的支反力数都等于平衡方程的数目，故可以只用平衡方程求出，这种梁称为静定梁。

若在梁上设较多支座使支反力个数多于平衡方程数目，则成超静定梁。

作用在梁上的载荷一般是作用线垂直于梁轴线的平行力系，这时，支反力为0，于是静定梁的支反力只有2个，由和来确定。

梁弯曲时横截面上一般存在两种内力。

例如，如图所示受集中力F的简支梁，梁横截面上的内力根据截面一边分离体的平衡条件有：

位于横截面平面内的剪力Q和位于纵向平面内的弯矩M（两组内力）。

分析梁左段任意横截面mm上的剪力，由,Fy=0，FA-Q=0,Q=FA,而弯矩，则由,MC（F）=0，M-FAx=0,得,M=FAx=Fbx/l,得,也可取横截面的右边一段梁作为分离体计算，结果相同，但稍复杂。

正负号,根据变形情况来确定。

剪力,以使梁的微段发生左上右下的错动者为正；反之为负。

弯矩,以使梁的微段发生上凹下凸的变形，即梁的上部受压而下部受拉时为正；反之为负。

一般不必将梁假想地截开，可以直接从横截面左边或右边梁上的外力来求得横截面上的剪力和弯矩：

（1）横截面上的剪力在数值上等于此截面一边梁上外力的代数和，左边梁上向上的外力为正，向下的外力为负。

右边梁上向上的外力为负，向下的外力为正。

（2）横截面上的弯矩在数值上等于此截面一边梁上外力对该截面形心的力矩之代数和。

向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩。

试求下图所示悬臂梁之任意横截面m-m上的剪力和弯矩。

思考题10-1,思考题10-1参考答案：

例10-1试求图示截面上（1-1、2-2、3-3）的剪力和弯矩。

解：

本题可从右边开始求解，也可从左边开始求解。

从右边开始可不求支座A处的反力。

取右段分析，考虑1-1截面，有,Q1=2kN,M1=-2kNm,取右段分析，考虑2-2截面，有,Q2=2kN,M2=-2-21=-4kNm,取右段分析，考虑3-3截面，有,Q3=2kN,M3=-2-22=-6kNm,为了验证结果的正确性，可从左边开始进行分析。

先求A处的支座约束力，有,Fx=0，FAx=0,下面以左段为研究对象，分析3-3截面上的剪力和弯矩。

Fy=0，,FAy=2kN,MA（F）=0，MA=6kNm,此结果与取右段分析的结果相同。

Q3=FAy=2kN,M3=-MA=-6kNm,从上例看到，一般情况梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置变化的，如果坐标x表示横截面沿梁轴线的位置，则梁的各个横截面上的剪力和弯矩就可以表示为坐标x的函数。

即,它们分别称为剪力方程和弯矩方程。

写上述方程时，一般以梁的左端为x的原点。

以平行于梁轴线的直线为x坐标，表示横截面的位置，以纵坐标表示对应截面上的剪力和弯矩，画出的和函数曲线称为剪力图和弯矩图。

解：

取轴x与梁的轴线重合，坐标原点取在梁的左端。

以坐标x表示横截面的位置。

只要求得x处横截面上的剪力方程和弯矩方程，即可画出其内力图。

例10-2试作图示梁的剪力图和弯矩图。

剪力图和弯矩图可以直观地确定梁的剪力弯矩最大值及其所在截面位置，它们是梁强度和刚度计算的重要依据。

根据左段分离体的平衡条件便可列出剪力方程和弯矩方程。

有,Q（x）=-qx（0xl）,M（x）=-qx2/2（0xl）,由此可根据方程作图，剪力为x的一次函数，即剪力图为一斜直线，而弯矩则为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。

例10-3试作梁的剪力图和弯矩图。

解：

此梁的支座约束力根据对称性可知：

FA=FB=ql/2,梁的剪力方程和弯矩方程分别为,Q（x）=ql/2-qx（0xl）,M（x）=qlx/2-qx2/2（0xl）,例10-4图示为一受集中荷载F作用的简支梁。

试作其剪力图和弯矩图。

解：

根据整体平衡，求得支座约束力,FA=Fb/l,FB=Fa/l,梁上的集中荷载将梁分为AC和CB两段，根据每段内任意横截面左侧分离体的受力图容易看出，两段的内力方程不会相同。

AC段：

CB段：

AC段：

CB段：

从剪力图上看到，在集中力作用处剪力发生突变，突变的值等于集中力的大小。

发生这种情况是由于把实际上分布在很短区间内的分布力，抽象成了作用于一点的集中力。

如下图所示。

若将集中力F看为x区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在x梁段内，剪力从Fb/l沿斜直线过度到-Fa/l，不存在突变现象。

例10-5简支梁如图所示。

试作该梁的剪力图和弯矩图。

解：

先求支座约束力,分段列出剪力方程和弯矩方程：

AC段,CB段,AC段,CB段,由弯矩图看到，在集中力偶作用处弯矩值发生突变，突变量等于集中力偶之矩。

通过以上四个例题的分析，你能总结一些画剪力图和弯矩图的规律吗？

思考题10-2,试求图示各指定的横截面上的剪力和弯矩，并作其剪力图和弯矩图。

思考题10-3,思考题10-3参考答案：

Q1=0,M1=0,Q2=-qa,M2=-qa2/2,Q3=-qa,M3=-qa2/2,Q4=-qa,M4=-3qa2/2,剪力图和弯矩图见下页,求图示折杆中各指定的横截面上的内力。

思考题10-4,思考题10-4参考答案：

1-1截面,2-2截面,3-3截面,F1=10kN,Q1=0,M1=-10kNm,Q2=0,F3=0,Q3=10kN,M3=-10kNm,F2=10kN,M2=-10kNm,作剪力图和弯矩图。

思考题10-5,思考题10-5参考答案：

1.微分关系的推导,规定载荷集度q（x）向上为正，dx段载荷集度分布均匀。

讨论M,Q和q之间的关系，载荷集度q（x）是x的连续函数。

10-2剪力图和弯矩图的进一步研究,Fy0Q（x）+q（x）dx-Q（x）+dQ（x）=0,

（1）,Mc=0M（x）+dM（x）-M（x）-Q（x）dx-q（x）dxdx/2=0,

（2）,（3）,略去二阶微量，整理后,2.载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律,突变规律,（a）在有集中力作用处,剪力图突变,弯矩图有折转。

（b）在有集中力偶作用处,剪力图无变化,弯矩图有突变。

绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极值点处,也可能发生在集中力和集中力偶作用处。

总结,3.应用分析,（kNm）,解：

（1）求约束反力,

（2）利用微分关系作图,试判别下述剪力图和弯矩图是否正确？

思考题10-6,思考题10-6参考答案：

剪力图正确，弯矩图错误。

弯矩图改正如图所示。

思考题10-7,下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。

思考题10-7答案,先观察下列各组图,（a）,1横力弯曲与纯弯曲的概念,10-3弯曲正应力,（b）,整个梁内只有弯矩而无剪力,（c）,（b）、（c）图中这种梁段和这种梁的弯曲（横截面上只有恒值弯矩而无剪力）称为纯弯曲。

（a）图中这种梁段和这种梁的弯曲（横截面上既有弯矩又有剪力）称为横力弯曲。

2纯弯曲时梁横截面上的正应力,（3）荷载作用在纵向对称平面内。

1.分析模型：

（1）单一材料；,

（2）等截面细长直梁（lh10）；,各横向周线仍各在一个平面内，只是各平面绕着与弯曲平面垂直的轴转动了一个角度；,

（2）纵向线段变弯，但仍与横向周线垂直；,（3）部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。

2.实验研究,直梁纯弯曲时，原为平面的横截面仍保持为平面，且仍垂直于弯曲后梁的轴线，只是相邻横截面各自绕着与弯曲平面垂直的某一根横向轴中性轴作相对转动。

直梁纯弯曲时的平面假设：

梁弯曲时，梁中有一层既不伸长又不缩短的纤维层，称为中性层。

中性层与横截面的交线即为中性轴。

纤维束假设:

构成梁的各纵向纤维间在纯弯曲状态不互相挤压，即彼此间无相互作用.,3.弯曲正应力的计算（动画）,

（1）几何方程:

（1）,

（2）物理方程:

（2）,如中性轴通过截面的形心,则,（3）静力学方程,对,只要截面图形对称于y,z轴中的任一轴，其值必为0。

由于现已设y轴是横截面的对称轴，故上式自动满足。

即等直梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式。

M是横截面上的弯矩，可以通过截面法由外力来确定。

是截面对中性轴z的惯性矩。

y是该点到中性轴的距离。

令,称惯性矩,则,即得,

（2）,代入,在运用上式时，M和y都用绝对值，而根据梁变形情况来判断是拉应力还是压应力。

以中性层为界，梁变形后凸边应力是拉应力，凹边应力是压应力。

从上面公式可知，在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力值最大，令表示这个距离，则横截面上最大正应力是：

令称为抗弯截面模量（系数）,则,如图所示，当梁在水平面内弯曲时，中性轴是哪个轴？

截面对此轴的惯性矩表达式是什么？

思考题108：

4.轴惯性矩及抗弯截面模量,

（1）实心矩形的惯性矩及抗弯截面模量,

（2）空心矩形的惯性矩及抗弯截面模量,（3）实心圆截面的惯性矩及抗弯截面模量,（4）空心圆截面的惯性矩,3.纯弯曲理论的推广,横力弯曲时，由于剪力的存在,梁的横截面将发生翘曲。

此外在与中性层平行的纵截面上,还有由横向力引起的挤压应力。

因此，梁在纯弯时的平面假设和纵向纤维间互不挤压假设均不成立。

但当梁跨度比横截面高度大五倍以上时，横力弯曲梁实际最大正应力与用纯弯曲梁公式算出的最大正应力误差小于1%，故其精度足够工程应用。

横力弯曲时，各截面上的弯矩是不同的，因此用纯弯曲公式计算横力弯曲等直梁横截面上的最大正应力，应注意用相应截面上的弯矩M（x）来代表该式中的M，即,梁弯曲时在其横截面上既有拉应力，又有压应力，两者各自有其最大值。

对对称截面，如矩型、圆形和工字形截面，其拉压应力最大值在数值上相等，可直接按上式求得；有一些横截面如T字形截面，其中性轴不是对称轴，其上拉应力和压应力最大值将不等，则所用的抗弯截面模量应该分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和代入公式求得：

例10-6对于图示T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压应力.已知:

B截面上：

解：

C截面上：

若例5-6中的梁截面为工字形，则横截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大的横截面上？

思考题109：

工程实际中有许多梁的截面形状比较复杂，例如T，工，口形截面。

很多时候这些梁的截面是由一些简单图形如矩形、圆形或三角形组成，称之为组合截面梁。

由惯性矩定义可知：

组合截面对某一轴的惯性矩等于其各个组成部分对同一轴的惯性矩之和。

例如T字型截面，可将其分成两个矩型部分I和II，则整个截面对z轴的惯性矩就是这两个矩形部分对z轴的惯性矩之和。

但是计算时，T截面的中性轴z并不通过这两个矩形的形心，这时要应用下述的平行移轴公式。

10-4求惯性矩的平