数学模型-第07章(第五版).pptx

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案例主要取自案例主要取自决策决策、排序、分配、排序、分配等方面的等方面的问题问题.第七章离散模型连续模连续模型型离散模型离散模型微分方程微分方程线性线性、非线性、非线性规划规划差分方程差分方程整数规划整数规划经济、社会等领域经济、社会等领域科学科学、技术技术等等领域领域从应用角度只涉及从应用角度只涉及代数、几何和图代数、几何和图的一点知识的一点知识.7.1汽车选购汽车选购7.2职员职员晋升晋升7.3厂房新建还是厂房新建还是改建改建7.4循环比赛的循环比赛的名次名次7.5公平的席位公平的席位分配分配7.6存在公平的选举存在公平的选举吗吗7.7价格指数价格指数7.8钢管的订购和钢管的订购和运输运输第七章离散模型对待对待选汽车作出选汽车作出综合综合评价评价,为为选购确定选购确定决策决策.考虑的考虑的因素因素：

经济经济适用、性能良好、款式适用、性能良好、款式新颖新颖.对对3个个因素因素在汽车选购中在汽车选购中的的重要性重要性有大致比较有大致比较.对对待选汽车待选汽车在在每一每一因素因素中中的的优劣程度优劣程度有基本判断有基本判断.7.1汽车选购汽车选购人们人们在日常生活中在日常生活中常常碰到常常碰到类似的决策问题类似的决策问题：

选择旅游选择旅游目的地目的地，选择，选择学校上学，学校上学，选择选择工作工作岗位岗位.从事从事各种职业的人在工作各种职业的人在工作中经常中经常面对决策面对决策：

购买购买哪种哪种设备；选择设备；选择研究课题研究课题；选拔；选拔秘书秘书；对；对经经济、环境、交通、居住等方面的发展做出济、环境、交通、居住等方面的发展做出规划规划.汽车汽车选购选购等等决策问题决策问题的的共同特点共同特点什么是多什么是多属性属性决策决策为一特定目的在为一特定目的在备选方案备选方案中确定一个中确定一个最优最优的的（或或给给出优劣出优劣排序排序、优劣、优劣数值数值）,而而方案的优劣由若干方案的优劣由若干属性属性（准则、特征准则、特征、性能性能）给以给以定量定量或或定性定性的的表述表述.考虑考虑的的因素因素常常涉及涉及经济、经济、社会等社会等领域，对它们的领域，对它们的重要性、影响力作比较、评价时重要性、影响力作比较、评价时缺乏客观的缺乏客观的标准标准.待选对象对于这些因素的待选对象对于这些因素的优劣优劣程度程度常常难以量化难以量化.多属性多属性决策决策是处理这类是处理这类决策问题的常用决策问题的常用方法方法.要素：

要素：

1.决策决策目标、目标、备选方案备选方案与与属性集合属性集合2.决策矩阵决策矩阵3.属性属性权重权重4.综合方法综合方法.1.确定确定属性集合属性集合的一般原则：

的一般原则：

全面全面考虑考虑,选取选取影响力影响力（或重要性或重要性）强强的的.属性间尽量属性间尽量独立独立（至少至少相关性不太相关性不太强强）不选不选难以辨别难以辨别方案优劣方案优劣的的（即使即使影响力很影响力很强强）.若数量太若数量太多多（如如大于大于7个个）,应应将它们分层将它们分层.尽量选可尽量选可量化量化的的,定性定性的也要能明确区分档次的也要能明确区分档次.多多属性属性决策的决策的要素要素2.决策决策矩阵矩阵以方案为行、属性为以方案为行、属性为列列、每每一一方案对方案对每一每一属性的取值属性的取值为为元素元素构成的矩阵构成的矩阵.表示表示方案对属性的方案对属性的优劣优劣（或偏好或偏好）程度程度.可以可以定量定量的的属性属性只能只能定性定性的的属性属性3.属性属性权重权重对目标对目标影响力影响力（或重要性或重要性）的权重分配的权重分配将将决策决策矩阵矩阵与与属性属性权重权重加以加以综合综合,得到得到最终决策的数学最终决策的数学方法方法.4.综合综合方法方法要素：

要素：

1.决策决策目标、目标、备选方案备选方案与与属性集合属性集合2.决策矩阵决策矩阵3.属性属性权重权重4.综合方法综合方法.3个个属性属性为为选购选购准则准则价格价格X1,性能性能X2,款式款式X33个个方案方案供供决策决策选购选购的的汽车汽车型号型号A1,A2,A3dijX1X2X3A12597A21877A31255dijAi对对Xj的的取值取值（原始权重原始权重）3种种汽车汽车价格价格（万元万元）:

25,18,123种种汽车汽车性能性能（打分打分,10分满分分满分）:

9,7,53种种汽车汽车款式款式:

7,7,5以以汽车选购汽车选购为例为例说明说明如何确定如何确定决策矩阵决策矩阵、属性权重属性权重以及利用以及利用综合方法综合方法得到决策得到决策结果结果.1）决策矩阵及其标准化）决策矩阵及其标准化m个个备选方案备选方案A1,A2,Am决策矩阵决策矩阵dijAi对对Xj的的取值取值决策矩阵的获取决策矩阵的获取调查、量测各方案对属性的调查、量测各方案对属性的取值取值（定量定量,偏偏于客观于客观）.决策者决策者打分评定打分评定或用层次分析法的或用层次分析法的成对比较得到成对比较得到（定性定性,偏偏于主观于主观）.n个个属性属性X1,X2,Xn汽车汽车选购选购1）决策矩阵及其标准化）决策矩阵及其标准化决策矩阵决策矩阵D的列的列各方各方案案对对某某属性属性的取值的取值（属性值属性值）.各属性物理意义各属性物理意义（包括量纲包括量纲）不同不同效益型属性效益型属性对费用型的属性对费用型的属性值值dij作作倒数倒数变换变换将将全部属性全部属性统一为统一为效益型效益型.性能性能X2,款式款式X3费用型属性费用型属性标准化标准化第第1步：

区分步：

区分价格价格X1决策决策矩阵矩阵标准化标准化R的的列最大值列最大值为为1最大化最大化R的的列和为列和为1归一化归一化R的的列模为列模为1模一化模一化1）决策矩阵及其标准化）决策矩阵及其标准化标准化标准化第第2步：

步：

对对dij作作比例比例尺度变换尺度变换当且仅当当且仅当dij=0时才有时才有rij=0R标准化标准化的的决策决策矩阵矩阵比例变换假定比例变换假定:

属性的重要性随属性的重要性随属性值线性属性值线性变化变化.2）属性权重的确定）属性权重的确定w1,w2,wn属性属性X1,X2,Xn的的权重权重，用用层次分析法的层次分析法的成对比较成对比较得到得到.偏于偏于主观主观根据根据决策目的和经验先验地给决策目的和经验先验地给出出.信息熵法信息熵法偏于客观偏于客观熵熵信息论中信息论中衡量不确定性衡量不确定性的指标，信息量的指标，信息量的的（概率概率）分布分布越一致，不确定性越大越一致，不确定性越大.R归一化归一化的的每一列每一列各方各方案对案对Xj信息量信息量的的（概率概率）分布分布.2）属性权重的确定）属性权重的确定方案关于属性方案关于属性Xj的熵的熵rij=1/m时时Ej=1.属性属性Xj对于方案的对于方案的区分度区分度rij只有一个只有一个1其余为其余为0时时Ej=0rij（i=1,2,m）相相差差越越大大,Ej越越小小,Xj越越能辨别优劣能辨别优劣.Xj的的权重权重（归一化归一化的区分的区分度度）Xj对于辨别对于辨别方案优劣方案优劣不不起作用起作用.Xj最能辨别最能辨别方案优劣方案优劣.汽车选购汽车选购2）属性权重的确定）属性权重的确定X1X2X30.22360.42860.3684rij0.31060.33330.36840.46580.23810.26323种种汽车价格汽车价格X1取值相差取值相差最最大大,款式款式X3取值相差取值相差最最小小.w1最最大大rij（i=1,2,m）的的均方差均方差可可作为作为区分度区分度Fj（m较大较大时时）.归归一一化化Ej0.95940.97490.9895Fj0.04060.02510.0105wj0.53300.32930.1377w3最最小小方案对目标方案对目标的权重的权重（综合取值）综合取值）综合方法综合方法决策决策矩阵矩阵属性权重属性权重+1.简单加权和简单加权和法法（SAW,SimpleAdditiveWeighting）方案方案Ai对对n个属性的综合取值为个属性的综合取值为对对决策矩阵采用决策矩阵采用不同的不同的标准化标准化,得到得到的结果的结果会不同会不同.3）主要的综合方法主要的综合方法2.加权积法（加权积法（WP,WeightedProduct）可直接可直接用方案对属性的原始值用方案对属性的原始值dij,不不需要需要标准化标准化.若若效益型属性的权重取效益型属性的权重取正正值，则费用型属性的值，则费用型属性的权重应取权重应取负负值值.将将SAW的算术加权平均改为的算术加权平均改为几何加权平均几何加权平均：

3.接近理想接近理想解的解的偏好偏好排序排序法法（TOPSIS,TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution）n个属性、个属性、m个方案视为个方案视为n维空间中维空间中m个点的几何系统个点的几何系统每个点的每个点的坐标坐标由由各方各方案案标准化的标准化的加权属性值加权属性值确定确定.决策决策矩阵矩阵模模一化一化,以便在空间定义以便在空间定义欧氏欧氏距离距离.正理想正理想解解（最优方案最优方案）由由所有最优加权属性值所有最优加权属性值构成构成.负理想解负理想解由所有最劣加权属性值由所有最劣加权属性值构成构成.定义距定义距正、负理想解距离的数量指标正、负理想解距离的数量指标:

相对相对接近接近度度.按照按照相对接近度确定相对接近度确定备选方案备选方案的的优劣优劣顺序顺序.汽车选购汽车选购统一为统一为效益型效益型的的决策决策矩阵矩阵用用3种综合方法确定种综合方法确定3种种汽车汽车的优劣顺序的优劣顺序R最大化最大化R归一化归一化R模模一化一化属性权重取信息熵法结果属性权重取信息熵法结果:

w=（0.5330,0.3293,0.1377）T1.简单加权和简单加权和法法（SAW）v=（0.3110,0.3260,0.3629）TR归一化归一化R最大化最大化v=（0.7228,0.7492,0.8143）T2.加权积加权积法法（WP）v=（0.3162,0.3277,0.3562）Tv归一化归一化v=（0.4847,0.5316,0.5639）Tv=（0.3067,0.3364,0.3569）Tv归一化归一化汽车选购汽车选购用用3种综合方法确定种综合方法确定3种种汽车汽车的优劣顺序的优劣顺序3.理想解理想解法法（TOPSIS）R模一化模一化vij=rijwj正理想解正理想解负理想负理想解解Ai与与v+距离距离Ai与与v-距离距离S+=（0.2141,0.1470,0.1087）S-=（0.1087,0.0966,0.2141）相对接近度相对接近度C+=（0.3368,0.3966,0.6633）C+=（0.2411,0.2840,0.4749）归一化归一化方方法法方案方案SAW（R归一化归一化）SAW（R最大化最大化）WPTOPSISA10.31100.31620.30670.2411A20.32600.32770.33640.2840A30.36290.35620.35690.4749汽车选购汽车选购用用3种综合方法确定种综合方法确定3种种汽车汽车的优劣顺序的优劣顺序SAW（R归一化归一化,最大化最大化）,WP结果结果差别很差别很小小,TOPSIS结果结果差别稍差别稍大大.优劣顺序均为优劣顺序均为A3,A2,A1简单、直观的加权和简单、直观的加权和法法（SAW）是是人们的人们的首选首选.SAW的的前提前提属性属性之间相互之间相互独立独立,并且并且具有具有互补性互补性.多属性决策应用的步骤多属性决策应用的步骤1.确定确定决策目标、备选方案与属性集合决策目标、备选方案与属性集合；2.用用量量测、测、调查等调查等手段确定手段确定决策矩阵和属性决策矩阵和属性权重权重,推荐推荐用信息熵法由决策矩阵得出属性权重用信息熵法由决策矩阵得出属性权重；3.将全部将全部属性属性统一统一（如效益型如效益型），并，并采用归一化、采用归一化、最大化或最大化或模一化对模一化对决策决策矩阵标准化矩阵标准化；4.选用选用加权和、加权积、加权和、加权积、TOPSIS等等