导数与根的个数的问题答案版.docx
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导数与根的个数的问题答案版
根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题解题步骤
第一步:
画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关
系;
第三步:
解不等式(组)即可;
13(k+1)21
例1、已知函数f(x)x3x2,g(x)kx,且f(x)在区间(2「:
)上为增函数.
323
(1)求实数k的取值范围;
2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
解:
(1)由题意f(x)=x2-(k1)x•/f(x)在区间(2「:
)上为增函数,
二f(x)=x2-(k1)x0在区间(2,•:
:
)上恒成立(分离变量法)即kT:
:
:
x恒成立,又x.2kT乞2,故k乞1k的取值范围为k乞1
(2)设h(x)=f(x)-g(x)=x_(k1)x2kx-,
323
h(x)=x2-(k1)xk=(x-k)(x-1)
令h(x)=0得x=k或x=1由
(1)知k乞1,
1当k=1时,h(x)=(x-1)2_0,h(x)在R上递增,显然不合题意,
2当k<1时,h(x),h(x)随x的变化情况如下表:
x
(-00,k)
k
(k,1)
1
(尸)
h(x)
+
0
一
0
+
h(x)
/
极大值
!
3I2“kk1
623
极小值
k—1
2
/
k-1
由于0,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程h(x)=0有三个不同的实根,
2
k3k212"k<1厂
故需——+———>0,即(k—1)(k—2k—2)v0.•.」2,解得k£1—V3
623k2-2k-2>0
综上,所求k的取值范围为kd-,3
根的个数知道,部分根可求或已知。
例2、已知函数f(x)二ax31x2-2xc
2
(1)若x=-1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点,求f(x)的极值;
12
(2)若g(x)-xd,在
(1)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)的图像与函数f(x)的
图像恒有含x=-1的三个不同交点?
若存在,求出实数b的取值范围;否则说明理由。
高…网
解:
(1)vf(x)的图像过原点,贝Uf(0)=0=c=0f(x)=3ax2•x-2,又x=T是f(x)的极值点,贝Uf(T)=3a-1-2=0=a=T
.f(x)=3x1x—2=(3x—2)(x1)=0
f极小值(x)=
(2)设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x--1的三个不同交点,
1
等价于f(x)二g(x)有含x-一1的三个根,即:
f(-1)=g(-1)=d(b-1)
2
312121
.x-x-2xbx-x(b-1)整理得:
222
3121
即:
x(b-1)x-x(b-1)=0恒有含x=-1的三个不等实根
22
11
(计算难点来了:
)h(x)=x-?
(b-1)x2-xg(b-1)=0有含x--1的根,
则h(x)必可分解为(x•1)(二次式)=0,故用添项配凑法因式分解,
322121
x3x-x2(b-1)x-x(b-1)=0
22
x2(x1)一f(b1)x2乂一扣一"=0
x2(x1)-
1)x22x—(b—1)=0
十字相乘法分解:
X2
(1)-1〔b•1x-b」1)x・1=0
-111
(x1)x2-1(b1)x尹-J"
3121
x(b-1)x-x(b-1)=0恒有含X--1的三个不等实根
22
211
等价于x(b1)x(b-1)=0有两个不等于-1的不等实根。
22
题2:
已知f(x)在给定区间上的极值点个数贝V有导函数=0的根的个数解法:
根分布或判别式法
例3、
已知函数/(£)二扌卞‘一寺5+3)x2+(m+6)x,xelt(m为常数)》
(I)当册"时,求函数/(幻的单调区间;
(H)若函数r=/(x)在区间⑴
)上有两个极值点,求实数恥的取值范
解:
函数的定义域为R(I)当m=4时,f(x)=1x3-?
x2+10x,
f(x)=x2-7x+10,令f(x).0,解得x.5,或x:
:
:
2.
令f(x):
:
:
0,解得2:
:
:
x:
:
:
5
可知函数f(x)的单调递增区间为(-:
:
2)和(5,+^),单调递减区间为2,5-
(n)f(x)=x2-(m+3)x+m+6,
要使函数y=f(x)在(1,+^)有两个极值点,:
f(x)=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1,+^)
根分布问题:
f
2
△=(m+3)-4(m+6)>0;
则(1)=1—(m+3)+m+6>0;,解得m>3
m+3
>1.
-2
(2)令g(x)=-x4+f
4
(a・R,a=0)
(1)求f(x)的单调区间;
(x)(x€R)有且仅有3个极值点,求a的取值范围.
解:
(1)f'(x)=ax2x=x(ax1)
1'1
当a0时,令f(x)-0解得x或x•0,令f(x)”:
0解得x”:
0,
aa
所以f(x)的递增区间为(-=-丄)(0,;),递减区间为(-丄,0).
aa
当a:
:
0时,同理可得f(x)的递增区间为(0,-丄),递减区间为(-:
:
0)(-丄「:
).aa
1a1
(2)g(x^4x~x3-x2有且仅有3个极值点
432
3222
=g(x)=xaxx=x(xax1)=0有3个根,则x=0或xax1=0,a:
:
-2方程x2ax^0有两个非零实根,所以厶=a2-40,
a”—2或a2
而当a-2或a.2时可证函数y=g(x)有且仅有3个极值点
题3:
切线的条数问题====以切点X。
为未知数的方程的根的个数
例5、已知函数f(x^ax3bx2cx在点x0处取得极小值—4,使其导数f'(x).0的x的取值范围
为(1,3),求:
(1)f(x)的解析式;
(2)若过点可作曲线y二f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
2
(1)由题意得:
f'(x)=3ax2bxc=3a(x_1)(x_3),(a:
:
0)
.•.在(一:
:
1)上f'(x):
:
:
0;在(1,3)上f'(x)0;在(3,:
:
)上f'(x):
:
:
0
因此f(x)在x0=1处取得极小值-4
.abc=4①,f'
(1)=3a2bc=0②,f'(3)=27a6bc=0③
a--1
由①②③联立得:
b=6,.f(x)=-x3•6x2-9x
c=-9
(2)设切点Q(t,f(t)),y-f(t)二f,(t)(x—t)
y=(-3t212t-9)(x-t)(-t36t2-9t)
=(-3t212t-9)xt(3t2-12t9)-t(t2-6t9)
=(-3t212t-9)xt(2t2-6t)过(-1,m)
m=(-3t212t-9)(-1)2t-6t2
g(t)=2t3_2t2-12t9_m=0
令g'(t)=6t2-6t-12=6(t2-t-2)=0,
求得:
t=-1,t=2,方程g(t)=0有三个根。
m:
16
m-11
故:
-11:
:
:
m:
:
:
16;因此所求实数m的范围为:
(-11,16)
例6、(根分布与线性规划例子)
2
(1)已知函数f(x)x3ax2bxc
3
(I)若函数f(x)在x=1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x^0平行,求
f(x)的解析式;
(n)当f(x)在(0,1)取得极大值且在(1,2)取得极小值时,设点M(b-2,a1)所在平
面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:
3的两部分,求直线L的方程.
解:
(I)•由f(x)=2x2•2ax•b,函数f(x)在x=1时有极值,
2ab2=0
f(0)=1c=1
又•••f(x)在(0,1)处的切线与直线3x•y=0平行,
1
•••f(0)=b=—3故
2
2312
f(x)xx-3x1.7分
32
2
(n)解法一:
由f(x)=2x2•2ax•b及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值,
x20
2yx0故点M所在平面区域S为如图△ABC,
4yx60
3
易得A(-2,0),B(-2,-1),C(2,-2),D(0,-1),E(0,-3),Sabc=2
2
同时DEABC的中位线,
四边形ABED
所求一条直线L的方程为:
x=0
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为
与AC,BC分别交于F、G贝Vk0,S四边形degf=1
由2阳2=0
得点F的横坐标为:
Xf2
2k+1
6
4k+1
由y=得点G的横坐标为:
Xg
4yx6=0
—-11-1即16k22k—5=0
2k1
同时DEABC的中位线,Sdec
=3^四边形ABED•所求一条直线L的方程为:
X=0
3
另一种情况由于直线
BO方程为
y,设直线BO与AC交于H,
2
1
由y=_x
由<2
gy+x+2=0
•••所求直线方程为:
作业讲解
1、(根的个数问题)
已知函数f(x)二ax3•bx2•(c-3a-2b)x•d(a0)的图象如图所示。
(i)求c、d的值;
(n)若函数f(x)的图象在点(2,f
(2))处的切线方程为3x•y一11=0,
求函数f(x)的解析式;
(川)若x0=5,方程f(x)-8a有三个不同的根,求实数a的取值范围。
解:
由题知:
f(X)=3ax22bx+c-3a-2b
(I)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3),且「1=0
丄d=3—
得=
3a2bc-3a-2b=0
(n)依题意f2=-3且f
(2)=5
12a4b-3a-2b=—3
i解得a=1,b=-6
8a4b-6a「4b3=5
32
所以f(x)=x-6x+9x+3(川)依题意f(x)=ax+bx-(3a+2b)x+3(a>0)
2
fx=3ax+2bx-3a-2b由f5=0=b=-9a①
若方程f(x)=8a有三个不同的根,当且仅当满足f(5)v8avf(1丿②
—1
由①②得-25a+3v8av7a+3vav3
11
1
所以当一vav3时,方程f(x)=8a有三个不同的根。
,”,12分
11
21
2.已知函数f(x)=41nx-x,函数g(x)=f(x)mTn4若方程g(x)=0在[-,2]e
上恰有两解,求实数m的取值范围.
2
解:
g(x)=41nx-xm-ln4
令g(x)=0得m--4lnxx2ln4
则此方程在[丄2]上恰有两解。
e
记「(x)二x-41nxIn4
讥、c42x2-42(x+J0)(x-V2)c
(x)=2x01
xxx得x=V2e[-,2]
e
11_在[丄「2]上,(x)<0,「(X)单调递减;
e
在[.2,2]上,」(x)0,(x)单调递增;
又「(丄)=丄42ln2,(.2)=2,
(2)=4-41n22In2=4-21n2ee
丁半(丄)^
(2)兰4—2In2
e
1
3.设函数f(x)=clnxxbx(b,cR,c=0),且x=1为f(x)的极值点.
(I)若x=1为f(x)的极大值点,求f(x)的单调区间(用c表示);
(n)若f(x)=o恰有两解,求实数c的取值范围.
所以f(x)=(x—1)(x-c)且C",be1=0
(I)因为x=1为f(x)的极大值点,所以c1
当0:
:
x
:
:
1时,f(x)0;当1:
xc时,f(x):
:
:
0;当xc时,f(x)0
所以f(x)的递增区间为(0,1),2,7);递减区间为(1,c).
(II)①若c:
;°,则f(x)在(0,1)上递减,在(1,7)上递增
11
b:
:
0c:
:
0
f(x)二恰有两解,则f
(1)"0,即2,所以2;
121
②若0:
:
:
c<1,则加大(x—nc丁bc,f极小(x)“(1rb
因为b二-1-c
c2c2
,贝Uf(x)的极大值为clncc(T-c)=cInc-c0,
22
1
f(x)的极小值为-?
-c,从而f(x)=0只有一解;
1
f(x)的极大值为则f(x)=o只有一解.
1
综上,使f(x)=0恰有两解的c的范围为--:
:
:
c:
:
:
0.
2
、1
4、(根的个数问题)已知函数f(x)x'-ax2-xT(a・R)
(1)若函数f(x)在x=x「x=X2处取得极值,且咅-%=2,求a的值及f(x)的单调区间;
1i5
(2)若a,讨论曲线f(x)与g(x)x2-(2aT)x•—(-2乞x乞1)的交点个数.
226
解:
(1)f(x)=x2-2ax-1
二X"i_x2|=+x2)2-4x^2=$4a2+4=2
二a=0
555555555555555555555555555
f(x)=x2「2ax「1=x2「1
令f(x)0得x”一1,或x-1
令f(x)<0得一1:
:
:
x<1
f(x)的单调递增区间为(」:
,-1),(1,二),单调递减区间为(-1,1),,,,5分
(2)由题f(x)二g(x)得-ax2-x1=^x2-(2a1)x-
326
13121
即一x-(a)x2ax0326
13121
令:
(x^-x-(a-)x2ax匚(-2乞X乞1),,,,,,,,6分
326
:
(X)二x2-(2a1)x2a=(x-2a)(x-1)
令,(x)=0得x=2a或x-1,,,,,,,,,,,,,,,,,7分
当2a岂-2即am-1时
x
-2
(-2,1)
1
A(x)
一
®(x)
9
—8a__
2
、
a
9
此时,-8a0,a:
:
:
0,有一个交点;9分
2
1
当2a_-2即_1:
:
:
a时,
2
x
-2
(22a)
2a
(2a,1)
1
A(x)
+
0
一
®(x)
da—9
2
/
?
a2(3—2a)+1
36
a
2i
a(3-2a)0,
36
99
•••当-8a0即-1■.a时,有一个交点;
216
99
当-8a0,且a_0即a_0时,有两个交点;
216
19
当0:
:
a时,-8a0,有一个交点.,””,”,13分
22
91
综上可知,当a或0:
:
:
a时,有一个交点;
162
9
当a^0时,有两个交点.,,,,,,,,,,,,,14分
16