导数与根的个数的问题答案版.docx

1、导数与根的个数的问题答案版根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点=即方程根的个数问题 解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ；主要看极大值和极小值与 0的关系；第三步：解不等式(组)即可；13 (k+1) 2 1例1、已知函数f (x) x3 x2， g(x) kx，且f(x)在区间(2：)上为增函数.3 2 3(1) 求实数k的取值范围；2) 若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数 k的取值范围.解：(1)由题

2、意f (x) =x2 -(k 1)x / f(x)在区间(2：)上为增函数，二f (x) = x2 -(k 1)x 0在区间(2, ：)上恒成立(分离变量法) 即k T ： x恒成立，又x . 2 k T乞2，故k乞1 k的取值范围为k乞1 (2)设 h(x) = f(x)-g(x)=x _ (k 1) x2 kx- ,3 2 3h(x) =x2 -(k 1)x k =(x -k)(x -1)令h (x) =0得x = k或x =1由(1)知k乞1 ,1当k =1时，h(x) =(x -1)2 _0, h(x)在R上递增，显然不合题意,2当k 1时，h(x) , h (x)随x的变化情况如下表

3、：x(-00,k)k(k,1)1(尸)h(x)+0一0+h(x)/极大值! 3 I 2 “ k k 16 2 3极小值k 12/k -1由于 0,欲使f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程 h(x)=0有三个不同的实根,2k3 k2 1 2 k0，即(k 1)(k 2k 2) v0 .2 ，解得 k 1 V36 2 3 k2-2k-20综上，所求k的取值范围为k d - , 3根的个数知道，部分根可求或已知。例 2、已知函数 f (x)二 ax3 1 x2 - 2x c2(1)若x = -1是f (x)的极值点且f (x)的图像过原点，求 f (x)的极值；12(2) 若g(x)

4、-x d，在(1)的条件下，是否存在实数 b，使得函数g(x)的图像与函数f (x)的图像恒有含x = -1的三个不同交点？若存在，求出实数 b的取值范围；否则说明理由。高网解：(1)v f(x)的图像过原点，贝 U f(0)=0=c=0 f (x) =3ax2 x-2 , 又x = T 是 f (x)的极值点，贝U f ( T) = 3a -1 - 2 = 0= a = T.f (x) =3x1 x 2 = (3x2)(x 1) = 0f极小值(x )=(2)设函数g(x)的图像与函数f (x)的图像恒存在含 x - -1的三个不同交点，1等价于 f(x)二g(x)有含 x - 一1 的三个

5、根，即：f (-1) = g(-1)= d (b-1)23 1 2 1 2 1.x -x -2x bx -x (b-1)整理得：22 231 2 1即：x (b -1)x -x (b-1)=0恒有含x =-1的三个不等实根221 1(计算难点来了：)h(x) =x -?(b-1)x2-x g(b-1)=0 有含 x - -1 的根,则h(x)必可分解为(x 1)(二次式)=0，故用添项配凑法因式分解，3 2 2 1 2 1x3 x -x2 (b -1)x -x (b -1) = 02 2x2(x 1)一 f(b 1)x2 乂一扣一=0x2(x 1)-1)x2 2x(b1) =0十字相乘法分解：

6、X2( 1 )-1 b 1x - b1)x1= 0- 1 1 1(x 1)x2-1(b 1)x 尹-J 3 1 2 1x (b -1)x -x (b -1) =0恒有含X - -1的三个不等实根2 22 1 1等价于x (b 1)x (b-1) = 0有两个不等于-1的不等实根。2 2题2:已知f(x)在给定区间上的极值点个数 贝V有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法例3、已知函数/()二扌卞 一寺5 + 3)x2 + (m+6)x,xelt(m为常数)(I )当册时，求函数/(幻的单调区间；(H)若函数r=/(x)在区间)上有两个极值点，求实数恥的取值范解：函数的定义域为 R (I

7、)当m= 4时，f (x)= 1x3- ?x2+ 10x,f (x) = x2- 7x+ 10,令 f (x) . 0 ,解得 x . 5,或 x ： 2.令 f (x) ：0 ,解得 2 :：: x ：5可知函数f(x)的单调递增区间为(-：,2)和(5,+)，单调递减区间为 2,5 -(n) f (x) = x2- (m + 3)x + m + 6,要使函数y= f (x)在(1, +)有两个极值点，：f (x) = x2- (m+ 3)x + m+ 6=0 的根在(1 ,+)根分布问题：f2 =(m+3) -4(m+6) 0;则 0;, 解得 m3m+3 1.-2(2)令 g(x) =

8、- x4+ f4(aR,a = 0) (1 )求f(x)的单调区间;(x) (x R)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.解: (1) f(x) =ax2 x = x(ax 1)1 1当a 0时，令f (x) - 0解得x 或x 0 ,令f (x) ”： 0解得 x ”： 0 ,a a所以f (x)的递增区间为(-=-丄)(0,；)，递减区间为(-丄,0).a a当a : 0时，同理可得f (x)的递增区间为(0,-丄)，递减区间为(-：,0)(-丄：). a a1 a 1(2) g(x4x x3 -x2有且仅有3个极值点43 2 3 2 2 2=g (x) = x ax x = x(x ax

9、 1) =0 有 3 个根，则 x = 0 或 x ax 1 = 0 , a ： -2 方程x2 ax 0有两个非零实根，所以厶=a2 -4 0,a”2 或 a 2而当a -2或a . 2时可证函数y = g (x)有且仅有3个极值点题3:切线的条数问题=以切点X。为未知数的方程的根的个数例5、已知函数f (x ax3 bx2 cx在点x0处取得极小值4,使其导数f(x) .0的x的取值范围为(1,3)，求：(1) f (x)的解析式；(2)若过点可作曲线y二f(x)的三条切线，求实数 m的取 值范围.2(1) 由题意得:f (x) =3ax 2bx c = 3a(x_1)(x_3),(a：0

10、).在(一：,1)上 f (x) :：: 0； 在 (1,3)上 f(x) 0 ； 在 (3,：)上 f (x) ： 0因此f (x)在x0 =1处取得极小值-4.a b c = 4，f (1) =3a 2b c = 0 ，f (3) = 27a 6b c = 0 a - -1由联立得： b = 6 ,. f(x) = -x3 6x2 -9xc = -9(2)设切点 Q (t, f (t) , y - f (t)二 f，(t)(xt)y =(-3t2 12t -9)(x-t) (-t3 6t2 -9t)= (-3t2 12t -9)x t(3t2 -12t 9) -t(t2 -6t 9)= (

11、-3t2 12t -9)x t(2t2 -6t)过(-1,m)m =(-3t2 12t -9)(-1) 2t -6t2g(t) =2t3 _2t2 -12t 9_m=0令 g(t) =6t2 -6t -12 =6(t2 -t -2) =0,求得：t=-1,t=2，方程g(t)=0有三个根。m ：16m -11故：-11：m：16 ；因此所求实数 m的范围为：(-11,16)例6、(根分布与线性规划例子)2(1)已知函数 f (x) x3 ax2 bx c3(I )若函数f (x)在x =1时有极值且在函数图象上的点 (0, 1)处的切线与直线 3x 0平行，求f (x)的解析式;(n )当f(

12、x)在(0, 1)取得极大值且在 (1, 2)取得极小值时，设点M(b-2, a 1)所在平面区域为S,经过原点的直线 L将S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程.解：(I )由 f (x) =2x2 2ax b，函数 f (x)在x=1 时有极值,2a b 2 = 0f (0) =1 c = 1又 f (x)在(0, 1)处的切线与直线 3x y = 0平行，1 f (0) = b= 3 故223 1 2f (x) x x -3x 1 . 7 分322 (n )解法一：由f (x) =2x2 2ax b及f(x)在x (0, 1)取得极大值且在 x (1, 2)取得极小值，x 2 02

13、y x 0 故点M所在平面区域 S为如图 ABC，4y x 6 03易得 A(-2, 0)，B(-2, -1)，C(2, -2)， D(0, -1)， E(0, -3)， S abc = 22同时DE ABC的中位线，四边形ABED所求一条直线L的方程为：x =0另一种情况设不垂直于 x轴的直线L也将S分为面积比为与AC，BC分别交于F、G 贝V k 0，S四边形degf = 1由2阳2=0得点F的横坐标为：Xf 22k+164k +1由 y = 得点G的横坐标为：Xg4y x 6=0-1 1 - 1 即 16k2 2k 5 = 02k 1同时DE ABC的中位线，S dec=3四边形ABED

14、 所求一条直线 L的方程为：X = 03另一种情况由于直线BO方程为y ,设直线BO与AC交于H ,21由 y =_x由0 )2f x = 3ax + 2bx -3a -2b 由 f 5 = 0= b = -9a 若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 ) v 8a v f ( 1丿1由 得-25a + 3v 8av 7a + 3 v av 3111所以 当一 v a v 3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。，”， 12分112 12.已知函数 f (x) = 41 n x - x ,函数 g(x) = f (x) m Tn 4 若方程 g(x)

15、= 0 在-,2 e上恰有两解，求实数m的取值范围.2解： g(x) =41 nx-x m-l n4令 g (x) =0 得 m - -4ln x x2 ln 4,则此方程在丄2上恰有两解。e记(x)二 x -41 n x In 4讥、c 4 2x2 -4 2(x +J0)(x-V2) c(x)=2x 0 1x x x 得 x = V2e-,2e11_ 在丄2上，(x) 0 , (X)单调递减；e在.2,2上，(x) 0 , (x)单调递增；又(丄)=丄 4 2l n 2, (.2) =2 , (2) =4 -41 n2 2 In 2 =4-21 n2 e e丁 半(丄)p ( 2 ) 兰 4

16、2In2e13.设函数 f (x) =cln x x bx(b,c R, c = 0)，且 x =1 为 f (x)的极值点.(I )若x =1为f (x)的极大值点，求f (x)的单调区间(用c表示)； (n)若f(x)=o恰有两解，求实数c的取值范围.所以 f (x) = (x 1)(x-c)且C，b e 1=0(I)因为x =1为f (x)的极大值点，所以c 1当 0 ： x：1 时，f(x) 0 ； 当 1 ：x c时，f (x)：0 ； 当 x c时，f (x) 0所以f(x)的递增区间为(0,1) ,2,7);递减区间为(1，c).(II)若c：；，则f (x)在(0,1)上递减，

17、在(1,7)上递增1 1b ： ： 0 c ： 0f(x)二恰有两解，则f(1)0，即2 ，所以2 ；1 2 1若0：c1，则加大(xnc 丁 bc，f极小(x)“(1r b因为b二-1 -cc2 c2，贝U f (x)的极大值为 clnc c(T-c)=cInc-c 0，221f(x)的极小值为-？-c，从而f (x) =0只有一解;1f(x)的极大值为则f(x)=o只有一解.1综上，使f(x)=0恰有两解 的c的范围为- - ：c ： 0 .2、 14、(根的个数问题)已知函数f(x) x-ax2-x T(aR)(1)若函数f (x)在x=xx=X2处取得极值，且 咅- =2，求a的值及f

18、(x)的单调区间;1i 5(2) 若a ，讨论曲线f (x)与g(x) x2 -(2a T)x (-2乞x乞1)的交点个数.22 6解：(1) f (x) =x2 -2ax -1二 Xi _x2| =+x2)2 -4x2 = $4a2 +4 = 2二 a = 05 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5f (x) = x22ax1 = x21令 f (x) 0 得 x ” 一1,或 x -1令 f (x) 0 得 一1 ： x 1f (x)的单调递增区间为(：，-1), (1,二)，单调递减区间为(-1,1), 5分(2)由题 f

19、 (x)二 g(x)得 - ax2 - x 1 = x2 - (2a 1)x -32 61 3 1 2 1即一 x - (a )x 2ax 0 3 2 61 3 1 2 1令：(x-x -(a -)x 2ax 匚(-2 乞 X 乞1), 6分32 6:(X)二 x2 -(2a 1)x 2a =(x -2a)(x -1)令，(x)=0 得 x=2a 或 x - 1, 7 分当2a岂-2即am -1时x-2(-2,1)1A(x)一(x)98a _2、a9此时，-8a 0, a : 0，有一个交点；9 分21当 2a _ -2 即 _1 ： a 时，2x-2(22 a)2a(2a,1)1A(x)+0一(x)da92/?a2 (32a) +13 6a2ia (3 - 2a) 0,369 9当-8a 0即-1 . a 时,有一个交点；2 169 9当-8a 0,且a _ 0即 a _ 0时，有两个交点；2 1619当0 : a 时，-8a 0,有一个交点.，”，”， 13分229 1综上可知，当a 或0 ： a 时，有一个交点；16 29当 a0时，有两个交点.，,， 14分16