拔高教育版高中数学第二章统计章末复习课学案苏教版必修3.docx

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拔高教育版高中数学第二章统计章末复习课学案苏教版必修3

第二章统计

学习目标

　1.会根据不同的特点选择适当的抽样方法获得样本数据；2.能利用图、表对样本数据进行整理分析，用样本和样本的数字特征估计总体的数字特征；3.能利用散点图对两个变量是否相关进行初步判断，能用线性回归方程进行预测．

知识点一　抽样方法

1．当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用__________________________．

2．当总体容量较大，样本容量较小时，可用______________________________．

3．当总体容量较大，样本容量也较大时，可用____________________________．

4．当总体由差异明显的几部分组成时，可用______________________________．

知识点二　用样本估计总体

用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据作频率____________与频率______________．当样本只有两组数据且样本容量比较小时，用________刻画数据比较方便．

知识点三　样本的数字特征

样本的数字特征可分为两大类：

一类是反映样本数据集中趋势的，包括________、__________和____________；另一类是反映样本波动大小的，包括极差、__________及__________．

知识点四　变量间的相关关系

1.两个变量之间的相关关系的研究，通常先作变量的____________，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系（函数关系）．

2．求回归方程的步骤：

（1）先把数据制成表，从表中计算出

，

，

x

，

xiyi.

（2）计算a，b.公式为

（3）写出回归方程

＝bx＋a.

类型一　抽样方法的应用

例1　某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，干事20人，上级机关为了了解机关人员对政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？

反思与感悟　三种抽样方法并非截然分开，有时你中有我，我中有你，它们都能保证个体被抽到的机会相等．

跟踪训练1　某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为________．

类型二　用样本的频率分布估计总体分布

例2　有1个容量为100的样本，数据（均为整数）的分组及各组的频数如下：

[12.5,15.5），6；[15.5,18.5），16；[18.5,21.5），18；

[21.5,24.5），22；[24.5,27.5），20；[27.5,30.5），10；

[30.5,33.5]，8.

（1）列出样本的频率分布表；

（2）画出频率分布直方图；

（3）估计小于30的数据约占多大百分比．

反思与感悟　借助图表，可以把抽样获得的庞杂数据变得直观，凸显其中的规律，便于信息的提取和交流．

跟踪训练2　为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．

类型三　用样本的数字特征估计总体的数字特征

例3　甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为

甲：

99　100　98　100　100　103

乙：

99　100　102　99　100　100

（1）分别计算两组数据的平均数及方差；

（2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

反思与感悟　样本的数字特征就像盲人摸到的象的某一局部特征，只有把它们结合起来才能看到全貌．

跟踪训练3　对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：

甲

60

80

70

90

70

乙

80

60

70

80

75

问：

甲、乙谁的平均成绩好？

谁的各门功课发展较平衡？

类型四　线性回归方程的应用

例4　某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数x（个）

2

3

4

5

加工的时间y（小时）

2.5

3

4

4.5

（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

（2）求出y关于x的线性回归方程

＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；

（3）试预测加工10个零件需要多少小时？

（注：

b＝

，a＝

－b

）

反思与感悟　散点图经最小平方法量化为线性回归方程后，更便于操作（估计、预测），但得到的值仍是估计值．

跟踪训练4　2017年元旦前夕，某市统计局统计了该市2016年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：

年收入

x（万元）

2

4

4

6

6

6

7

7

8

10

年饮食支出

y（万元）

0.9

1.4

1.6

2.0

2.1

1.9

1.8

2.1

2.2

2.3

（1）如果已知y与x成线性相关关系，求线性回归方程；

（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．

（参考数据：

xiyi＝117.7，

x

＝406）

1．某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收了1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽取30份，则在D单位抽取的问卷是________份．

2．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

父亲身高x（cm）

174

176

176

176

178

儿子身高y（cm）

175

175

176

177

177

则y对x的线性回归方程为________________．

3．随机抽取某学校甲、乙两班各10名同学的一模数学成绩，获得数学成绩的茎叶图如图，则根据茎叶图可估计一模数学平均成绩较高的班级是________．

4．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40），[40,60），[60,80），[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．

1．应用抽样方法抽取样本时，应注意以下几点：

（1）用随机数表法抽样时，对个体所编的号码位数要相等．当问题所给位数不相等时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．

（2）用系统抽样法抽样时，如果总体容量N能被样本容量n整除，抽样间隔为k＝

，如果总体容量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样法剔除多余个体，抽样间隔为k＝[

]（[

]表示取

的整数部分）．

2．用样本的频率分布估计总体分布

利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计，有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体情况作出估计．直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式，这样根据样本的频率分布，我们可以大致估计出总体的分布．但是，当总体的个体数较多时，所需抽样的样本容量也不能太小，随着样本容量的增加，频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条曲线为总体密度曲线，它能给我们提供更加精细的信息．在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，这给数据的记录和表示都带来方便．

3．用样本的数字特征估计总体的数字特征

为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计．平均数就是所有样本数据的平均值，用

表示；标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量，有时也用标准差的平方s2—方差来代替标准差，实质一样．

4．线性回归方程的应用

分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出线性回归方程，并利用线性回归方程进行估计和预测．

答案精析

知识梳理

知识点一

1．抽签法　2.随机数表法　3.系统抽样法

4．分层抽样法

知识点二

分布表　分布直方图　茎叶图

知识点三

众数　中位数　平均数　方差　标准差

知识点四

1．散点图

题型探究

例1　解　用分层抽样抽取．

∵20∶100＝1∶5，

∴

＝2，

＝14，

＝4，

即从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，干事中抽取4人．

∵副处级以上干部与干事人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部采用00，01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．

跟踪训练1　8

解析　分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本，设从高二年级抽取的学生数为n，则

＝

，得n＝8.

例2　解　

（1）样本的频率分布表如下：

分组

频数

频率

[12.5，15.5）

6

0.06

[15.5，18.5）

16

0.16

[18.5，21.5）

18

0.18

[21.5，24.5）

22

0.22

[24.5，27.5）

20

0.20

[27.5，30.5）

10

0.10

[30.5，33.5]

8

0.08

合　计

100

1.00

（2）频率分布直方图如图：

（3）小于30的数据占0.06＋0.16＋0.18＋0.22＋0.20＋0.10＝0.92＝92%.

跟踪训练2　54

解析　[4.7，4.8）之间频率为0.32，[4.6，4.7）之间频率为1－0.62－0.05－0.11＝1－0.78＝0.22.

∴a＝（0.22＋0.32）×100＝54.

例3　解　

（1）

甲＝

（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100，

乙＝

（99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100.

s

＝

[（99－100）2＋（100－100）2＋（98－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2＋（103－100）2]＝

，

s

＝

[（99－100）2＋（100－100）2＋（102－100）2＋（99－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2]＝1.

（2）两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s

>s

，

所以乙机床加工零件的质量更稳定．

跟踪训练3　解　甲的平均成绩为

甲＝74，乙的平均成绩为

乙＝73.所以甲的平均成绩好．

甲的方差是s

＝

[（－14）2＋62＋（－4）2＋162＋（－4）2]＝104，乙的方差是s

＝

×[72＋（－13）2＋（－3）2＋72＋22]＝56.

因为s

>s

，所以乙的各门功课发展较平衡．

例4　解　

（1）散点图如图．

（2）由表中数据得：

iyi＝52.5，

＝3.5，

＝3.5，

＝54，

∴b＝0.7，∴a＝1.05，

∴

＝0.7x＋1.05，回归直线如图所示．

（3）将x＝10代入线性回归方程，得

＝0.7×10＋1.05＝8.05，

故预测加工10个零件约需要8.05小时．

跟踪训练4　解　

（1）依题意可计算得：

＝6，

＝1.83，

2＝36，

＝10.98，又∵

xiyi＝117.7，

x

＝406，

∴b＝

≈0.17，

a＝

－b

≈0.81，∴

＝0.17x＋0.81.

∴所求的线性回归方程为

＝0.17x＋0.81.

（2）当x＝9时，

＝0.17×9＋0.81

＝2.34（万元）．

可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．

当堂训练

1．60

解析　由题意依次设在A，B，C，D四个单位回收的问卷数分别为a1，a2，a3，a4，则

＝

，∴a2＝200，又a1＋a2＋a3＋a4＝1000，即3a2＋a4＝1000，

∴a4＝400，设在D单位抽取的问卷数为n，则

＝

，解得n＝60.

2.

＝

x＋88

解析　由已知得

＝176，

＝176，利用公式可得a，b.

3．甲班

解析　根据茎叶图可看出所有的数据，茎上是百位数和十位数，再利用求平均数的公式，求出成绩的平均数，由茎叶图可计算甲班10名同学的平均成绩是（129＋112＋115＋101＋104＋108＋95＋97＋82＋77）÷10＝1020÷10＝102，乙班10名同学的平均成绩是（121＋124＋117＋103＋103＋105＋91＋88＋89＋76）÷10＝1017÷10＝101.7.所以由此估计甲班的数学平均成绩大于乙班的数学平均成绩．

4．50

解析　由频率分布直方图，得低于60分的频率为（0.01＋0.005）×20＝0.3.

∴该班学生人数n＝

＝50.