概率第2-2讲.ppt

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复习复习随机变量随机变量X：

SR1X（）P（X=xi）=pi,i=1,2,.离散型随机变量离散型随机变量分布列分布列几种重要的离散型随机变量几种重要的离散型随机变量33连续型随机变量连续型随机变量设设X是随机变量是随机变量,如果存在非负函数如果存在非负函数使得对任何满足使得对任何满足的的有有定义定义3.13.1则称则称X是连续型随机变量是连续型随机变量,称称是是X的的概率密度函数概率密度函数,简称为简称为概率密度概率密度或或密度密度若若x是是f（x）的连续点，则的连续点，则=f（x）概率密度的意义概率密度的意义f（x）反映了反映了X在在x附近附近取值的概率。

取值的概率。

要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数f（x）在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率.但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率附近的值的概率就越就越大大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率在该点的密集程度了概率在该点的密集程度.f（x）xo概率密度函数的性质概率密度函数的性质

（1）

（2）这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数f（x）是否为某是否为某r.vX的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件.f（x）xo面积为面积为1（3）对于连续型随机变量对于连续型随机变量X连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：

即：

a为任一指定值为任一指定值需要指出的是需要指出的是:

1）对连续型对连续型r.vX,有有2）由由P（A）=0,不能推出不能推出A=例例1某汽车加油站每周补充汽油一次，已知某汽车加油站每周补充汽油一次，已知此加油站每周销售量此加油站每周销售量X（单位（单位：

kL）是以）是以为概率密度的随机变量，其中为概率密度的随机变量，其中C为待定常数。

为待定常数。

如果要求在一周内加油站的油售完的概率如果要求在一周内加油站的油售完的概率不得大于不得大于0.01，那么此加油站储油库的容油，那么此加油站储油库的容油体积应至少为多少升体积应至少为多少升。

解：

解：

由密度函数的性质得由密度函数的性质得设此加油站储油库的容油体积为设此加油站储油库的容油体积为l千升千升（0l0，则称，则称X服从参数为服从参数为的指数的指数分布，记为分布，记为XE（）.xf（x）0无无记记忆忆性性一个性质一个性质应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：

随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似例3返回主目录若若r.vX的的概率密度为概率密度为记作记作其中其中和和都是常数，都是常数，任意，任意，0，则称则称X服从参数为服从参数为和和的正态分布的正态分布.正态分布正态分布1定义定义2密度函数密度函数f（x）的性质的性质a.a.正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于对对称的钟形曲线称的钟形曲线.特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”.f（+c）=f（-c）在在x=处达到处达到最大值最大值:

这说明曲线这说明曲线f（x）向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴。

即轴。

即f（x）以以x轴为轴为渐近线渐近线。

当当x时，时，f（x）0,为为f（x）的两个的两个拐点拐点的横坐标。

的横坐标。

x=b.b.决定了图形的决定了图形的中心位置中心位置，决定了图形决定了图形中峰的中峰的陡峭程度陡峭程度.年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标种产品的质量指标如零件的尺寸；纤维如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布分布.33应用场合应用场合这这是是用用上上海海1999年年年年降降雨雨量量的的数数据据画出的频率直方图画出的频率直方图从直方图可以初步看出，年降雨量从直方图可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布近似服从正态分布年降雨量问题年降雨量问题这是用某大学男大学生的身高的这是用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图数据画出的频率直方图红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学男大学生的身高可见，某大学男大学生的身高服从正态分布服从正态分布身高问题身高问题此此外外，人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大大多多数数，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较较矮矮的的人人数数大大致致相相近近，这这从从一一个个方方面面反映了服从正态分布的随机变量的特点反映了服从正态分布的随机变量的特点身高问题（续）身高问题（续）正态分布是自然界及工程技术中最常见正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，似服从正态分布的可以证明，如果一个随如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布定服从或近似服从正态分布正态分布有许多良好的性质，这些性质正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的是其它许多分布所不具备的正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布说说明明44标准正态分布标准正态分布的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用表示：

表示：

注意：

注意：

-xx（-x）=1-（x）（0）=0.5对一般的正态分布对一般的正态分布：

XN（,2）55正态分布的计算正态分布的计算若XN（,2）,对任意的实数对任意的实数x1，x2（x1x2），有，有例例4设XN（1,4）,求P（0X1.6）解解附录C例例5公共汽车车门的高度是公共汽车车门的高度是按男子与车门按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下以下来设计的来设计的.设男子设男子身高身高XN（170,62）,）,问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?

解解:

设车门高度为设车门高度为hcm,按设计要求按设计要求P（Xh）0.01或或P（X0.99因为因为XN（170,62）,）,故故P（Xh）=0.99所以所以=2.33,即即h=170+13.98184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.P（Xx分布函数分布函数b对任意实数对任意实数x1x2，Px1Xx2因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函的分布函数，数，它的它的统计特性统计特性就可以得到全面的描述就可以得到全面的描述.=PXx2-PXx1=F（x2）-F（x1）a在上在上式中式中,X是随机变量是随机变量,x是自变量是自变量.F（x）是是r.vX取值不大于取值不大于x的概率的概率.c分布函数是一个普通的函数，正是分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来通过它，我们可以用数学分析的工具来研究研究随机变量随机变量.随机变量分布函数随机变量分布函数F（x）的性质的性质若若x1x2,则则F（x1）F（x2）对任意的实数对任意的实数x，均有，均有

（1）单调性单调性

（2）规范性规范性对任意的实数对任意的实数x0,有有（3）右连续性右连续性试说明试说明F（x）能否是某个能否是某个随机变量的分布函数随机变量的分布函数例例11设设解解:

注意到注意到函数函数F（x）在在上下降上下降不满足性质不满足性质

（1）

（1），故，故F（x）不能是分布函数不能是分布函数不满足性质不满足性质

（2）

（2），可见可见F（x）也不也不能是能是分布函数分布函数.或者或者例例2设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为试求：

试求：

（1）常数）常数A与与B

（2）P（-1X38）离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数设设P（X=xi）=pi,i=1,2,.例例3:

设设X服从参数为服从参数为p的二点分布，即：

的二点分布，即：

k=0,1其中其中0p1,q=1-p。

求。

求X的分布函数的分布函数F（x）。

01F（x）=P（Xx）解解:

0101xxx当当x0时，时，F（x）=0当当0x1时，时，F（x）=P（X=0）=q当当x1时，时，F（x）=P（X=0）+P（X=1）=1当当x0时，时，F（x）=0例例4，求，求F（x）.F（x）=P（Xx）解解:

012x012当当0x1时，时，F（x）=P（X=0）=1/3x当当1x2时，时，F（x）=P（X=0）+P（X=1）=+=当当x2时，时，F（x）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=1例例4，求，求F（x）.F（x）=P（Xx）解解:

012x012x故故下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.作业作业2.2;2.3;2.18;2.22;2.292.2;2.3;2.18;2.22;2.29设一大炮对某目标进行设一大炮对某目标进行n次独立轰击的命中率都为次独立轰击的命中率都为p，若目标被击中，若目标被击中k次，则目标被摧毁的概率为次，则目标被摧毁的概率为求轰击求轰击n次后目标被摧毁的概率次后目标被摧毁的概率测验测验目标被目标被摧毁摧毁BB击中击中1次次击中击中n次次解：

解：

B=目标被摧毁目标被摧毁由题意由题意由全概率公式由全概率公式且且一桥长一桥长60m,以桥的中点为原点以桥的中点为原点,沿着桥的方向沿着桥的方向引入坐标轴引入坐标轴.一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥此桥,假定弹着点的坐标假定弹着点的坐标XN（0,1002）.

（1）求投掷一枚炸弹求投掷一枚炸弹,命中此桥的概率命中此桥的概率;例例6

（1）解：

）解：

A=至少有一枚弹至少有一枚弹命中此桥命中此桥

（2）分析：

分析：

一桥长一桥长60m,以桥的中点为原点以桥的中点为原点,沿着桥的方向引入坐标沿着桥的方向引入坐标轴轴.一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥,假定弹着点假定弹着点的坐标的坐标XN（0,1002）.

（1）求投掷一枚炸弹求投掷一枚炸弹,命中此桥的概率命中此桥的概率;

（2）问问独立独立投掷多少枚炸弹投掷多少枚炸弹,才能使至少有一枚弹才能使至少有一枚弹命中此桥的概率大于命中此桥的概率大于0.9.一桥长一桥长60m,以桥的中点为原点以桥的中点为原点,沿着桥的方向引入坐标沿着桥的方向引入坐标轴轴.一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥,假定弹着点假定弹着点的坐标的坐标XN（0,1002）.

（1）求投掷一枚炸弹求投掷一枚炸弹,命中此桥的概率命中此桥的概率;

（2）问独立投掷多少枚炸弹问独立投掷多少枚炸弹,才能使至少有一枚弹才能使至少有一枚弹命中此桥的概率大于命中此桥的概率大于0.9.

（2）解：

）解：