初三专题线段和最值对称旋转与圆相关.docx

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初三专题线段和最值对称旋转与圆相关

教师辅导教案

年级：

初三上课时数：

学员姓名：

辅导科目：

数学学科教师：

郭老师

课程主题：

小题突破

授课时间：

学习目标

掌握常见的最值问题的处理方法

重难点

最值问题

小题突破：

最值问题

对称型

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一个动点，连接PE，PB，求PE＋PB的最小值．

模型一同侧和的最小值模型

【基本图形】

基本

图形

说明

作A、A′关于直线l对称，PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当点P在线段A′B上时取最小值

基本

图形

说明

过A作AA′∥MN且AA′＝MN，再作A′关于l的对称点A″，连接A″B，则AM＋MN＋NB＝A″N＋BN＋MN≥A″B＋MN，当且仅当点N在A″B上时取等号

【模型突破】

1.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝2

.在直线a上取一点M，在直线b上取一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的值最短，则此时AM＋NB＝（　　）

A．6　　　　B．8　　　　C．10　　　　D．12

2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD.

（1）求证：

△ADE≌△CDB；

（2）若BC＝

，在AC边上找一点H，使得BH＋EH的值最小，并求出这个最小值．

模型二异侧差的最大值模型

【基本图形】

基本

图形

说明

作A、A′关于直线l对称，则|PA－PB|＝PA′－PB≤A′B，当点P在直线A′B上时取最大值

【模型突破】

1．如图，等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝15°，动点P在射线CD上，则|PA－PB|的最大值为________．

2．如图，抛物线y＝－

x2＋bx＋c与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P是抛物线对称轴上一点，连接PB，PC，若|PB－PC|取得最大值，求点P的坐标．

模型三角内一定点模型

【基本图形】

基本

图形

说明

点P′与点P关于OA对称，点P″与点P关于OB对称，连接P′P″与OA，OB分别交于点M，N，此时△PMN的周长最小，最小值为P′P″

【模型突破】

1．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝

，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN的周长的最小值是（　　）

A.

B.

C．6D．3

2．如图，已知二次函数y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.OC上点P的坐标为（0，1），动点S，K分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PS，PK，SK，求△PSK的周长的最小值．

隐含的圆

【母题示例】

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是CD上一动点，沿AE折叠矩形，使得点D落在矩形ABCD内的点D′处，连接CD′，则CD′的最小值为________．

模型一直角模型

【基本图形】

基本

图形

说明

BM⊥BN，点C是∠MBN内一点，且AC⊥BC，则点C在以AB为直径的圆上

【核心突破】

1.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别从点D和点C出发，沿射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于点H，连接DH，则线段DH长度的最小值为（　　）

A．3

－3　　B．2

－3　　C．3

－3　　D．3

2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－3，0），点B的坐标为（3，0），点P是平面内一点，且AP⊥BP，点M的坐标为（3，4），连接MP，则MP的最小值为________．

模型二定角模型

【基本图形】

基本

图形

说明

点P是正方形ABCD内一点，且∠APB＝60°，则以AB为边在正方形ABCD内作等边△ABM，点P在△ABM的外接圆在正方形内的部分弧上

基本

图形

说明

点P是平面内一点，且∠APB＝45°，则以AB为斜边作等腰Rt△AOB，点P在以O为圆心，OA为半径的圆的优弧上

【模型突破】

1．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝2

，点P是矩形ABCD内（含边界）上一点，且∠APB＝60°，连接CP，则CP的最小值为________．

2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D均在x轴上，点B在第三象限，且OA＝2，OD＝1，AB＝4，点E是AB的中点，连接OE，动点P是平面内一点，且∠OPE＝45°，连接CP，求CP的最小值．

模型三折叠、旋转模型

【基本图形】

基本

图形

说明

沿过矩形ABCD的顶点A折叠△ADE，得到△AD′E，则点D′在以A为圆心，AD为半径的圆弧上

基本

图形

说明

△AEF绕正方形ABCD的顶点A旋转，则点F的轨迹为以A为圆心，AF为半径的圆

【模型突破】

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为________．

2．如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形（∠ACB＝∠DCE＝90°）．保持△ABC固定不动，将△CDE绕点C顺时针旋转一周，连接AD、AE、BD，直线AE与BD相交于点H.点P、M、N分别是AD、AB、DE的中点．若AC＝4，CD＝2，则在旋转过程中，△PMN的面积的最大值为________．

课堂练习

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，连接PD，PG，则PD+PG的最小值为　　．

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2

，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，得到矩形A1B1CD1，点E是A1B1的中点，过B作BF⊥B1C于点F，连接DE，DF，则线段DE长度的最大值是　　，线段DF长度的最小值是　　．

3．已知：

如图，△ABC中，∠A＝45°，AB＝6，AC＝

，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点，则△DEF周长的最小值是　　．

4．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝4，BC＝6，P是BC边上的一动点（P不与点B、C重合），连接AP，∠B＝∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，则PB之长为　　．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE．

（1）求证：

△ABD∽△AEB；

（2）当

＝

时，求tanE；

（3）在

（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝2，求⊙C的半径．

6．在矩形ABCD中，G为AD上一点，连接BG，CG，过作CE⊥BG于点E，连接ED交GC于点F．

（1）如图1，若点G为AD的中点，则线段BG与CG有何数量关系？

请说理由．

（2）如图2，若点E恰好为BG的中点，且AB＝3，AG＝k（0＜k＜3）求

的值（用含k的代数式表示）；

（3）在

（2）有条件下，若M、N分别为GC、EC上的任意两点，连接NF、NM，当k＝

时，求NF+NM的最小值．

7．抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．

（1）求抛物线表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，①求点P坐标；②过此二点的直线交y轴于F，此直线上一动点G，当GB+

GF最小时，求点G坐标．

（3）如图2，⊙O1过点A、B，C三点，AE为直径，点M为圆上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

8．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝84，D，E分别在射线BC，AC上，AD与BE交于F．

（1）从顶点A所作三角形中线长为　　；

（2）若D恰为BC边中点，E在边AC上且AE：

EC＝6：

1，求∠AFE；

（3）点M在AC边上，AM＝56

，AD与BE所成锐角为60°，当BF与MF的差的绝对值最小时求CE．