成考专升本高等数学重点及解析.docx
《成考专升本高等数学重点及解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《成考专升本高等数学重点及解析.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
成考专升本高等数学重点及解析
高等数学
（二）重点知识及解析
I、函数、极限
一、基本初等函数（又称简单函数）：
（1）常值函数：
yc
（2）募函数：
yxa（3）指数函数：
yax（a〉0,且a1）
（4）对数函数：
ylogax（a〉0,且a1）
（5）三角函数：
ysinx,ycosx,ytanx,ycotx
（6）反三角函数：
yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx
二、复合函数:
要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。
例如：
|ylncosx是由ylnu,ucosx这两个个简单函数复合而成.
例如：
|yarctane3x是由yarctanu,uev和v3x这三个简单函数复合而成.
该部分是后面求导的关键！
三、极限的计算
1、利用函数连续性求极限（代入法）：
对于一般的极限式（即非未定式），只要将x"弋
入到函数表达式中，函数值即是极限值，即limf（x）f（x0）oxx0
注意：
（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即limCCo
（2）该方法的使用前提是当xx0的时候，而x时则不能用此方法。
例1：
lim44,lim33,limlg2lg2,lim
xx1xx_
6
晒limtan（x1）tan（21）tan1（非特殊角的三角函数值不用计算出来）
x2x121
2、未定式极限的运算法
（1）对于0未定式：
分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将几代入后函数值即是极限
0
值。
0未定式，提取公因式
0
x29
例1:
计算lim-一9x3x3
解：
原式=Xm3T^）网x3）6
.x2x10.
例2：
计算limx21.丫未定式，提取公因式
x1x10
2
x1x10
解：
原式=lim=lim=0
x1x1x1x1x12
（2）对于—未定式：
分子、分母同时除以未知量的最高次募，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。
2n3
—未定式，分子分母同时除以n
例1:
计算lim巴」
n3n1
lim一二1,称与是等价无穷
3、利用等价无穷小的代换求极限
（1）定义：
设和是同一变化过程中的两个无穷小，如果小，记作
（2）定理：
设、、、均为无穷小，又〜，〜，且lim—存在
I
则lim—=lim—或lim?
lim?
（3）常用的等价无穷小代换：
当x0时，sinx〜x,tanx〜x
例1：
当x0时，sin2x〜2x,tan（3x）〜3x
sin2x2x22
例2：
极卜Mlims=lim—=lim—二一sin2x用2x等价代换
x05xx05xx055
r—tan3x3x
例3：
|极日Mlim=lim一=lim33tan3x用3x等价代换
x0xx0xx0
n、一元函数的微分学
、导数的表示符号
（1）函数f（x）在点x0处的导数记作:
三、导数的四则运算
U和V即可,
运算公式（设U,V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的代入后用导数公式求解.）
⑴（uv）uv
（2）（u?
v）uvuv特别地（Cu）Cu（C为常数）
''
（3）（u）'uv2uvvv
4-,1一，一_4__'
例1：
|已知函致yx3cosx2,求y.'I
5'4一£,33
斛：
y=x3cosx2=4x3sinx0=4x3sinx
例2：
|已知函数f（x）x2lnx,求f'（x）和f'（e）.
zwJ,、2',2,'21
斛：
f（x）=xlnxxlnx=2xlnxx一=2xlnxxx
‘一
所以f（e）=2elnee2ee3e（注总：
lne=1,ln1=0）
x
阿一已知函数f（x）2，求f'（x）.
1x
四、复合函数的求导
1、方法一：
2
例如|求复合函数ysinx的导数.
（1）首先刊明你复合函数是由哪几个简单函数复合而成的^
如ysinx2由ysinu和ux2这两个简单函数复合而成
（2）甩号婺仝苞四出每个简单函数的导数^
即dy=cosu,du=2x
dudx
（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x替代回去.
dydy^du2
——?
=2xcosu=2xcosx
dxdudx
2、方法二（直接求导法）：
复合函数的导数等于构成该复合函数的简单函数导数的乘积。
如果对导数公式熟悉，对复
合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.
例1：
|设函数ycos（3x）,求y.
斛：
y=cox（3x）=sin（3x）-（3x）=sin（3x）-（3）=3sin（3x）
逗二I设函数yelnx，求y'.
公刀'lnxInx'1Inx
斛：
y=e=e.（inx）=-e
、x
注意十个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。
五、高阶导数
_''d2y
f（x）或一2dx2
我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数^
2、求法：
（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导
（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导
FTT――I—一—.，、”
例1：
|已知y5sinx,求y.
'
解：
y=5cosx,•.y=5sinx
.2x"
例2：
|已知ye,求yx0.
解：
:
y'=e2x2x=2e2x,「.y=2e2x2x=4e2x
即yx0=4
六、微分的求法：
（1）求出函数yf（x）的导数f'（x）.
⑵再乘以dx即可.即dyf（x）dx.
n-;1一，2
例1：
|已知yInx,求dy.
^2112,12
斛：
.y=lnx=—x=—2x=—xxx
dy=2dxx
例2:
|设函数yx4cosx，求dy.
'44』34.
解：
-y=xcosxxcosx=4xcosxxsinx
dy=4x3cosxx4sinxdx
田、二元函数的微分学
一、多元函数的定义：
由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。
其自变
■■■■
量的变化范围称为定义域，通常记作D。
■■■
例如：
二元函数通常记作：
zf（x,y）,（x,y）D
二、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法:
2、偏导数的求法
（1）对x求偏导时，只要将y看成是常量，将x看成是变量，直接对x求导即可
（2）对y求偏导时，只要将x看成是常量，将y看成是变量，直接对y求导即可.
如果要求函数在点Xo,yo处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将Xo和y0代入即可
i-CT1一，一、，一zzZ一Z
例1:
已知函数zxy2yx,求——和——.
xy
解：
—=3x2y2y之，—=x34xyxy
，一，一―2Z一Z
例2:
已知函数zxsin2y,求——和——.
xy
ZZ_2_
解：
一二2xsin2y,—=2xcos2yxy
三、全微分
1、全微分公式：
函数Zf（x,y）在点（x,y）处全微分公式为：
dZ—dx—dyxy
2、全微分求法：
（1）、先求出两个一阶偏导数二和一Z.
（2）、然后代入上述公式即可
xy
例1：
|设函数zsin（xy）3x2y1,求dZ.
解：
—=ycos（xy）6x,—Z=xcos（xy）1xy
••dZ—dx—dyycos（xy）6xdxxcos（xy）1dyxy
例2：
|设函数ze2xy,求dZ.
zZ2xyZ2xy,Z,Z2xy,2xy,
斛：
•1——=2e,一=edz——dx——dy2edxedy
xyxy
四、二阶偏导的表示方法和求法：
、/z、2z''
（1）—（—）=-=f''xx（x,y）=Zxx……两次都对x求偏导
xxx
z、z’‘一一，.一
（2）——（——）==fxy（x,y）=Zxy……先对x求偏导，再对y求偏导
yxxy
一,z、z
（3）一
（一）===fyx（x,y）=zyx……先对y求偏导，再对x求偏导
xyyx
z、z「，、”
⑷—（—）=-=fyy（x,y）=zyyyyy
可见二元函数的二阶偏导共四种，它们都是
■■■
量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏导）
■■■■
IV、一元函数的积分学
都有F（x）f（x），则称F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数.
''
例1：
|（sinx）cosx,因此sinx是cosx的一个原函数，cosx是sinx的导数.
由于（sinxc）cosx,可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个
r-——，、一.1,'
例2:
设f（x）的一个原函数为一，求f（x）.x'
11一..，11
解：
因为1是f（x）的一个原函数，即F（x）=1,所以f（x）=F（x）=」=」2.
xxxx
'
12、、11
得f（x）===-3（汪：
一x1）
23
xxx
二、不定积分
（一）、定义：
我们把f（x）的所有原函数称为f（x）在区间I上的不定积分，记作:
f（x）dxF（x）C（其中F（x）f（x））
注意：
不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数
C勿忘！
、不定积分的性质
〈1〉
f（x）g（x）dxf（x）dxg（x）dx
〈2〉
kf（x）dxkf（x）dx（其中k为常数）
、基本积分公式
（和导数公式一样，必须熟记）
〈1〉
0dxC
<2>
kdxkxC（k为常数）
〈3〉
1
x
xdxC
1
1）
〈4〉
1
-dxlnxCx
〈5〉
_xx
edxe
〈6〉
cosxdxsinxC
〈7〉
sinxdx
cosx
〈8〉
dxarcsinxC
1x2
〈9〉
dx
2x
arctanx
例1：
3dx
3xC
2sinxdx-2cosx
例2:
tan2xdtanx
u2du
tan3x
回~3C（利用换元法，设
3
tanx
又如:
cos1xdcosx
lncosxC
2lnxdlnx一3
3
lnx2
（四）
、不定积分的计算
1、直接积分法：
对被积函数进行恒等变形,
并用积分性质和积分公式进行积分的方法。
，2,4c2,■
1dx=x2x1dx=
42,
xdx2xdx
5
dx=—
5
例2:
（1
2sinx
31
-）dx1dx2sinxdx3—dx
xx
2cosx3lnx
2、凑微分法
（1）适用前提:
如果被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（通常
为较为简单的复合函数）的情况，此时可以考虑用凑微分法
（2）凑微分法解法步骤
〈1〉凑微分
〈2〉换元
〈3〉直接积分法
<4>反换元
例1：
|求不定积分xcosx2dx
……2121
斛：
原式=cosxdx=-
22
22
cosxdx
人父.12
（1.凑微分）将xdx凑成d-x22
1H
一cosudu
2
1.
=sinuC
2
1.20=sinxC
2
（2.换元）将x2换元成U
（3.
（4.
例2:
求不定积分
।2
Inx,dx
x
解：
原式=ln2xd（lnx）
u2du
（2.
直接积分法）求出U的不定积分
一一一一一2一一一
反换兀）u再用x反换兀
凑微分）将
换元）将
（3.直接积分法）
।3
lnx
例3:
求不定积分
3x2.
edx
1,一、,,一dx凑成dlnx
x
lnx换元成u
求出U的不定积分
（4.反换元）u再用lnx反换元
.〜1
解：
原式=-
3
=1
3
1
3x
e
2
2d（3x2）
eudu
=-e।
3
13x2
=e
3
注意：
凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一!
■■■
写出中间变量，而直接进行积分。
例4:
3
sinxcosxdx-
..4
.3smx
sinxdsinx=
4
例5:
x1x2dx=—
2
.1x2d（1x2）=11
3
3、分部积分法
三、定积分
（1.凑微分）将dx凑成：
d（3x2）
（2.换元）将3x2换元成u
（3.直接积分法）求出u
（4.反换元）u再用3x
如果能熟练掌握换元过程,
（一）、定积分的定义：
由曲边梯形的面积引出定义公式
的不定积分
2反换元
此时就可以不必
1
（将dx凑成一d3x
3
1
（将xdx凑成一d1
2
x2）
A=
f（x）dx
（A为曲边梯形的面积）
其中f（x）为被积函数，a,b
为积分区间，a为积分下限，b为积分上限。
用定积分所要注意的事项：
1、因为定积分是曲边梯形的面积,值必为零。
因此定积分的值-一定是
个常数
所以对定积分求导，导数
例:
dx
1
arctanxdx0,
0
22
tsintdt
i
2、当a=b时,
b
f（x）dx=0
a
因定积分上限
b>a,当
b
f（x）dx=
a
a
bf（x）dx
例:
1sinx
11cosx
（二）、定积分的计算
3
2f（x）dx
2
3f（x）dx
x的函数,
1、变上限积分的计算
（1）定义：
积分上限x为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积分是上限
记作（x）
x
f（t）dt
a
（2）变上限积分的导数：
x
af（t）dtf（x）
a
将x代入到f（t）即可
x，
例1：
|设f（x）°sintdt,则f（x）sinx.
.dxoo
例2:
—ttdtxx
dx0
2、牛顿―莱布尼茨公式
（1）公式：
如果F（x）是连续函数f（x）在a,b上的一个原函数，则有
（2）由公式可知：
连续函数f（x）在a,b上定积分，就是f（x）的一个原函数F（x）在a,b
上的增量（上限值减下限值）。
而连续函数f（x）的不定积分，就是f（x）的全体原函数（原函
♦♦♦♦♦♦一
数后面加常数C）。
可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的
、22
例1:
求定积分xdx
1
解：
原式
223
137
3=3
（将sinxdx凑成dcosx）
rr-r:
.、、一一一K9
例2：
求te积分2cosxsinxdx
0
解：
原式=02cos2xdcosx=
3
cosx
elnx
——dx
1x
（将
-dxx
凑成
dlnx）
e
解：
原式=lnxdlnx=
1
ln
ln2e
ln211
注意：
用凑微分法计算定积分时，在换元时，由于引入了新的变量，故原变量的积分限要更换■■■■
成新变量的积分限；如不想更换积分限，可省略换元步骤。
3、分部积分法
附表：
几个特殊角的三角函数值
角度
-
不存在
不存在
不存在
不存在
不存在
不存在
升级会员 