成考专升本高等数学重点及解析.docx
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成考专升本高等数学重点及解析
高等数学
(二)重点知识及解析
I、函数、极限
一、基本初等函数(又称简单函数):
(1)常值函数:
yc
(2)募函数:
yxa(3)指数函数:
yax(a〉0,且a1)
(4)对数函数:
ylogax(a〉0,且a1)
(5)三角函数:
ysinx,ycosx,ytanx,ycotx
(6)反三角函数:
yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx
二、复合函数:
要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。
例如:
|ylncosx是由ylnu,ucosx这两个个简单函数复合而成.
例如:
|yarctane3x是由yarctanu,uev和v3x这三个简单函数复合而成.
该部分是后面求导的关键!
三、极限的计算
1、利用函数连续性求极限(代入法):
对于一般的极限式(即非未定式),只要将x"弋
入到函数表达式中,函数值即是极限值,即limf(x)f(x0)oxx0
注意:
(1)常数极限等于他本身,与自变量的变化趋势无关,即limCCo
(2)该方法的使用前提是当xx0的时候,而x时则不能用此方法。
例1:
lim44,lim33,limlg2lg2,lim
xx1xx_
6
晒limtan(x1)tan(21)tan1(非特殊角的三角函数值不用计算出来)
x2x121
2、未定式极限的运算法
(1)对于0未定式:
分子、分母提取公因式,然后消去公因式后,将几代入后函数值即是极限
0
值。
0未定式,提取公因式
0
x29
例1:
计算lim-一9x3x3
解:
原式=Xm3T^)网x3)6
.x2x10.
例2:
计算limx21.丫未定式,提取公因式
x1x10
2
x1x10
解:
原式=lim=lim=0
x1x1x1x1x12
(2)对于—未定式:
分子、分母同时除以未知量的最高次募,然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。
2n3
—未定式,分子分母同时除以n
例1:
计算lim巴」
n3n1
lim一二1,称与是等价无穷
3、利用等价无穷小的代换求极限
(1)定义:
设和是同一变化过程中的两个无穷小,如果小,记作
(2)定理:
设、、、均为无穷小,又〜,〜,且lim—存在
I
则lim—=lim—或lim?
lim?
(3)常用的等价无穷小代换:
当x0时,sinx〜x,tanx〜x
例1:
当x0时,sin2x〜2x,tan(3x)〜3x
sin2x2x22
例2:
极卜Mlims=lim—=lim—二一sin2x用2x等价代换
x05xx05xx055
r—tan3x3x
例3:
|极日Mlim=lim一=lim33tan3x用3x等价代换
x0xx0xx0
n、一元函数的微分学
、导数的表示符号
(1)函数f(x)在点x0处的导数记作:
三、导数的四则运算
U和V即可,
运算公式(设U,V是关于X的函数,求解时把已知题目中的函数代入公式中的代入后用导数公式求解.)
⑴(uv)uv
(2)(u?
v)uvuv特别地(Cu)Cu(C为常数)
''
(3)(u)'uv2uvvv
4-,1一,一_4__'
例1:
|已知函致yx3cosx2,求y.'I
5'4一£,33
斛:
y=x3cosx2=4x3sinx0=4x3sinx
例2:
|已知函数f(x)x2lnx,求f'(x)和f'(e).
zwJ,、2',2,'21
斛:
f(x)=xlnxxlnx=2xlnxx一=2xlnxxx
‘一
所以f(e)=2elnee2ee3e(注总:
lne=1,ln1=0)
x
阿一已知函数f(x)2,求f'(x).
1x
四、复合函数的求导
1、方法一:
2
例如|求复合函数ysinx的导数.
(1)首先刊明你复合函数是由哪几个简单函数复合而成的^
如ysinx2由ysinu和ux2这两个简单函数复合而成
(2)甩号婺仝苞四出每个简单函数的导数^
即dy=cosu,du=2x
dudx
(3)每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数;注意中间变量要用原变量x替代回去.
dydy^du2
——?
=2xcosu=2xcosx
dxdudx
2、方法二(直接求导法):
复合函数的导数等于构成该复合函数的简单函数导数的乘积。
如果对导数公式熟悉,对复
合函数的过程清楚,可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.
例1:
|设函数ycos(3x),求y.
斛:
y=cox(3x)=sin(3x)-(3x)=sin(3x)-(3)=3sin(3x)
逗二I设函数yelnx,求y'.
公刀'lnxInx'1Inx
斛:
y=e=e.(inx)=-e
、x
注意十个复合函数求几次导,取决于它由几个简单函数复合而成。
五、高阶导数
_''d2y
f(x)或一2dx2
我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数^
2、求法:
(1)二阶导数就是对一阶导数再求一次导
(2)三阶导数就是对一阶导数求两次导,对二阶导求一次导
FTT――I—一—.,、”
例1:
|已知y5sinx,求y.
'
解:
y=5cosx,•.y=5sinx
.2x"
例2:
|已知ye,求yx0.
解:
:
y'=e2x2x=2e2x,「.y=2e2x2x=4e2x
即yx0=4
六、微分的求法:
(1)求出函数yf(x)的导数f'(x).
⑵再乘以dx即可.即dyf(x)dx.
n-;1一,2
例1:
|已知yInx,求dy.
^2112,12
斛:
.y=lnx=—x=—2x=—xxx
dy=2dxx
例2:
|设函数yx4cosx,求dy.
'44』34.
解:
-y=xcosxxcosx=4xcosxxsinx
dy=4x3cosxx4sinxdx
田、二元函数的微分学
一、多元函数的定义:
由两个或两个以上的自变量所构成的函数,称为多元函数。
其自变
■■■■
量的变化范围称为定义域,通常记作D。
■■■
例如:
二元函数通常记作:
zf(x,y),(x,y)D
二、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法:
2、偏导数的求法
(1)对x求偏导时,只要将y看成是常量,将x看成是变量,直接对x求导即可
(2)对y求偏导时,只要将x看成是常量,将y看成是变量,直接对y求导即可.
如果要求函数在点Xo,yo处的偏导数,只要求出上述偏导函数后将Xo和y0代入即可
i-CT1一,一、,一zzZ一Z
例1:
已知函数zxy2yx,求——和——.
xy
解:
—=3x2y2y之,—=x34xyxy
,一,一―2Z一Z
例2:
已知函数zxsin2y,求——和——.
xy
ZZ_2_
解:
一二2xsin2y,—=2xcos2yxy
三、全微分
1、全微分公式:
函数Zf(x,y)在点(x,y)处全微分公式为:
dZ—dx—dyxy
2、全微分求法:
(1)、先求出两个一阶偏导数二和一Z.
(2)、然后代入上述公式即可
xy
例1:
|设函数zsin(xy)3x2y1,求dZ.
解:
—=ycos(xy)6x,—Z=xcos(xy)1xy
••dZ—dx—dyycos(xy)6xdxxcos(xy)1dyxy
例2:
|设函数ze2xy,求dZ.
zZ2xyZ2xy,Z,Z2xy,2xy,
斛:
•1——=2e,一=edz——dx——dy2edxedy
xyxy
四、二阶偏导的表示方法和求法:
、/z、2z''
(1)—(—)=-=f''xx(x,y)=Zxx……两次都对x求偏导
xxx
z、z’‘一一,.一
(2)——(——)==fxy(x,y)=Zxy……先对x求偏导,再对y求偏导
yxxy
一,z、z
(3)一
(一)===fyx(x,y)=zyx……先对y求偏导,再对x求偏导
xyyx
z、z「,、”
⑷—(—)=-=fyy(x,y)=zyyyyy
可见二元函数的二阶偏导共四种,它们都是
■■■
量的求导次序(写在符号前面的变量先求偏导)
■■■■
IV、一元函数的积分学
都有F(x)f(x),则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数.
''
例1:
|(sinx)cosx,因此sinx是cosx的一个原函数,cosx是sinx的导数.
由于(sinxc)cosx,可见只要函数有一个原函数,那么他的原函数就有无穷多个
r-——,、一.1,'
例2:
设f(x)的一个原函数为一,求f(x).x'
11一..,11
解:
因为1是f(x)的一个原函数,即F(x)=1,所以f(x)=F(x)=」=」2.
xxxx
'
12、、11
得f(x)===-3(汪:
一x1)
23
xxx
二、不定积分
(一)、定义:
我们把f(x)的所有原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,记作:
f(x)dxF(x)C(其中F(x)f(x))
注意:
不定积分是原函数的的全体,因此计算结果常数
C勿忘!
、不定积分的性质
〈1〉
f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx
〈2〉
kf(x)dxkf(x)dx(其中k为常数)
、基本积分公式
(和导数公式一样,必须熟记)
〈1〉
0dxC
<2>
kdxkxC(k为常数)
〈3〉
1
x
xdxC
1
1)
〈4〉
1
-dxlnxCx
〈5〉
_xx
edxe
〈6〉
cosxdxsinxC
〈7〉
sinxdx
cosx
〈8〉
dxarcsinxC
1x2
〈9〉
dx
2x
arctanx
例1:
3dx
3xC
2sinxdx-2cosx
例2:
tan2xdtanx
u2du
tan3x
回~3C(利用换元法,设
3
tanx
又如:
cos1xdcosx
lncosxC
2lnxdlnx一3
3
lnx2
(四)
、不定积分的计算
1、直接积分法:
对被积函数进行恒等变形,
并用积分性质和积分公式进行积分的方法。
,2,4c2,■
1dx=x2x1dx=
42,
xdx2xdx
5
dx=—
5
例2:
(1
2sinx
31
-)dx1dx2sinxdx3—dx
xx
2cosx3lnx
2、凑微分法
(1)适用前提:
如果被积函数是两个函数相乘(或相除)或者被积函数是复合函数(通常
为较为简单的复合函数)的情况,此时可以考虑用凑微分法
(2)凑微分法解法步骤
〈1〉凑微分
〈2〉换元
〈3〉直接积分法
<4>反换元
例1:
|求不定积分xcosx2dx
……2121
斛:
原式=cosxdx=-
22
22
cosxdx
人父.12
(1.凑微分)将xdx凑成d-x22
1H
一cosudu
2
1.
=sinuC
2
1.20=sinxC
2
(2.换元)将x2换元成U
(3.
(4.
例2:
求不定积分
।2
Inx,dx
x
解:
原式=ln2xd(lnx)
u2du
(2.
直接积分法)求出U的不定积分
一一一一一2一一一
反换兀)u再用x反换兀
凑微分)将
换元)将
(3.直接积分法)
।3
lnx
例3:
求不定积分
3x2.
edx
1,一、,,一dx凑成dlnx
x
lnx换元成u
求出U的不定积分
(4.反换元)u再用lnx反换元
.〜1
解:
原式=-
3
=1
3
1
3x
e
2
2d(3x2)
eudu
=-e।
3
13x2
=e
3
注意:
凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一!
■■■
写出中间变量,而直接进行积分。
例4:
3
sinxcosxdx-
..4
.3smx
sinxdsinx=
4
例5:
x1x2dx=—
2
.1x2d(1x2)=11
3
3、分部积分法
三、定积分
(1.凑微分)将dx凑成:
d(3x2)
(2.换元)将3x2换元成u
(3.直接积分法)求出u
(4.反换元)u再用3x
如果能熟练掌握换元过程,
(一)、定积分的定义:
由曲边梯形的面积引出定义公式
的不定积分
2反换元
此时就可以不必
1
(将dx凑成一d3x
3
1
(将xdx凑成一d1
2
x2)
A=
f(x)dx
(A为曲边梯形的面积)
其中f(x)为被积函数,a,b
为积分区间,a为积分下限,b为积分上限。
用定积分所要注意的事项:
1、因为定积分是曲边梯形的面积,值必为零。
因此定积分的值-一定是
个常数
所以对定积分求导,导数
例:
dx
1
arctanxdx0,
0
22
tsintdt
i
2、当a=b时,
b
f(x)dx=0
a
因定积分上限
b>a,当
b
f(x)dx=
a
a
bf(x)dx
例:
1sinx
11cosx
(二)、定积分的计算
3
2f(x)dx
2
3f(x)dx
x的函数,
1、变上限积分的计算
(1)定义:
积分上限x为变量时的定积分称为变上限积分,变上限积分是上限
记作(x)
x
f(t)dt
a
(2)变上限积分的导数:
x
af(t)dtf(x)
a
将x代入到f(t)即可
x,
例1:
|设f(x)°sintdt,则f(x)sinx.
.dxoo
例2:
—ttdtxx
dx0
2、牛顿―莱布尼茨公式
(1)公式:
如果F(x)是连续函数f(x)在a,b上的一个原函数,则有
(2)由公式可知:
连续函数f(x)在a,b上定积分,就是f(x)的一个原函数F(x)在a,b
上的增量(上限值减下限值)。
而连续函数f(x)的不定积分,就是f(x)的全体原函数(原函
♦♦♦♦♦♦一
数后面加常数C)。
可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的
、22
例1:
求定积分xdx
1
解:
原式
223
137
3=3
(将sinxdx凑成dcosx)
rr-r:
.、、一一一K9
例2:
求te积分2cosxsinxdx
0
解:
原式=02cos2xdcosx=
3
cosx
elnx
——dx
1x
(将
-dxx
凑成
dlnx)
e
解:
原式=lnxdlnx=
1
ln
ln2e
ln211
注意:
用凑微分法计算定积分时,在换元时,由于引入了新的变量,故原变量的积分限要更换■■■■
成新变量的积分限;如不想更换积分限,可省略换元步骤。
3、分部积分法
附表:
几个特殊角的三角函数值
角度
-
不存在
不存在
不存在
不存在
不存在
不存在