完整word版高中数学函数求参数范围高三专题复习函数专题docx.docx

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高中数学函数求参数范围问题解决方法及针对性练习

2018年高三专题复习-函数专题（4）

一、变换“主元”思想，适用于一次函数型

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思

考，往往会使问题降次、简化。

例1.对于满足0p4的一切实数p，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．

分析：

习惯上把x当作自变量，记函数y=x2+（p-4）x+3-p,于是问题转化为当p0,4时

y>0恒成立，求x的范围．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则

上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．

解：

设f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，当x=1显然不满足题意．由题设知当0p4时f（p）>0恒成立，

∴f（0）>0,f（4）>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或

x<-1．

例2．对任意

a[

1,1]

，不等式

x

2

（

a

4）

x

4

2

0恒成立，求

x

的取值范围。

a

答案：

（

1）

（3,

）。

例3．若不等式2x

1

m（x2

1），对满足2

m

2所有的x都成立，求x的取值范围。

1

7

1

3

2

，

2

答案：

注：

一般地，一次函数

f（x）

kx

b（k

0）在[

f（

）

0

]上恒有f（x）0的充要条件为

）

。

f（

0

二、分离变量

对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量

和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域

的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

1

例1．若对于任意角

总有sin2

2m

cos

4m

1

0成立，求m的范围．（注意分式求最值

得方法）

分析与解：

此式是可分离变量型，由原不等式得

m（2cos

4）

cos2

，

又cos

2

0，则原不等式等价变形为

2m

cos2

恒成立．即2m必须小于

cos2

的最小

cos

2

cos

2

值，问题化归为求

cos2

的最小值．因为

cos2

（cos

2）2

4（cos

2）4

cos

2

cos

2

cos

2

cos

2

4

44

4

0

即cos

0时，有最小值为

0，故m

0．

2

cos

例2．已知函数f（x）

ax

4x

x2,x

（0,4]时f（x）

0恒成立，求实数a的取值范围。

解：

将问题转化为a

4x

x2

对x

（0,4]恒成立。

x

令g（x）

4x

x2

，则a

g（x）min

x

由g（x）

4x

x2

4

1

可知g（x）在（0,4]上为减函数，故g（x）min

g（4）

0

x

x

∴a0即a的取值范围为（

0）。

例3．已知二次函数f（x）ax2

x，如果x∈［0，1］时|f（x）|

1，求实数a的取值范围。

解：

x∈［0，1］时，|f（x）|

1

1

f（x）

1，即1

ax2

x

1

①当x=0时，a∈R

ax2

x

1

a

1

1

1

1

②当x∈（0，1]时，问题转化为

ax

2

x

x2

x恒成立，即求

x2

x的

1恒成，由

u（x）

1

1

1

1

2

1

1

x

2

x

x

2

x（0，1]，[1，），u（x）

最大值。

设

4。

因

x

为减函数，所以当x=1

时，u（x）max

2，可得a

2。

1

1

1

1

1

1

1

2

1

由a

v（x）

1

x2

x恒成立，即求x2

x的最小值。

设

x2

x

x

2

4。

因

2

1

x（0，1]，[1，），v（x）

时，v（x）min

0，可得a≤0。

x

为增函数，所以当x=1

由①②知

2a0。

评析：

一般地,分离变量后有下列几种情形：

①f（x）≥g（k）[f（x）]min≥g（k）②f（x）>g（k）g（k）<[f（x）]min

③f（x）≤g（k）[f（x）]max≤g（k）④f（x）

三、数形结合

1）f（x）

g（x）

函数f（x）图象恒在函数g（x）图象上方；

2）f（x）

g（x）

函数f（x）图象恒在函数g（x）图象下上方。

例1．设x

[

4，0]，若不等式

x

x

）

4x1

a

恒成立，求

a

的取值范围．

（4

3

分析与解：

若设函数y1

x（4

x），则

y

（x

2）2

y12

4（y1

0），其图象为上半圆．设函数

y2

y2

4x

1

a，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图

y1

3

4

O

x

象如图，

依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心（2,0）

到直线

4x

3y

3

3a

|

83

3a|

2且1

a

0时成立，即a的取值范围为a

5．

0的距离d

5

例2．当x（1,2）时，不等式（x-1）2

分析：

若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以

采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解

a的取值范

围。

y=（x-1）

2

1

y

解：

设T1:

f（x）=（x1）2,T2:

g（x）

logax,则T1的图象为

y2=logax

右图所示的抛物线，要使对一切x

（1,2）,

1

f（x）

立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且o

2

x

3

必须也只需g

（2）

f

（2）

故loga2>1,a>1,

1

四、分类讨论

当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类

讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。

例1．当x[2,8]

时，不等式log

2a2

1x

1恒成立，求a的取值范围．

解：

（1）当

2a2

1

1时，由题设知

1

1

x恒成立，即

1

xmin，而x

[2,8]

∴

1

2a2

2a2

1

2

解得a

（

1）

（1,

）

2a2

1

（2）当0

2a2

1

1时，由题设知

1

1

x恒成立，即

1

xmax，而x

[2,8]

∴

2a2

2a

2

1

1

8

解得a

（

3

2

（

2

3

的取值范围是

2a2

）

）．∴a

1

4

2

2

4

a（

1）

（3,

2）

（2,3）

（1,

）．

4

2

2

4

五、二次函数类型

㈠R上恒成立问题

设f（x）

ax2

bxc（a

0），

（1）f（x）

0在x

R上恒成立

a

0且

0；

（2）f（x）

0在x

R上恒成立

a

0且

0。

例1．对于x∈R，不等式x2

2x

3

m0恒成立，求实数m的取值范围。

解：

不妨设f（x）

x2

2x3

m，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使f（x）0（x

R），

只需

0，即

（2）2

4（3m）

0

，解得m

2

m

（，2]。

变形：

若对于x∈R，不等式mx2

2mx

3

0恒成立，求实数m的取值范围。

此题需要对m的取值进行讨论，设f（x）

mx2

2mx3。

①当m=0时，3>0，显然成立。

②当m>0时，则△<0

0m

3。

③当m<0

时，显然不等式不恒成立。

由①②③知m

[0，3）。

4

例2．不等式2x2

2mx

m

1，对一切x恒成立，求实数m的取值范围.

4x2

6x

3

解：

∵

4x2

6x

3

（2x

3

）2

3

0

在R上恒成立，

2

4

∴2x2

2mx

m

1

2

x

2

2

mx

m

4

x

2

6

x

3

2x

2

（6

2m）x

3

m

0

，

x

R

4x2

6x

3

∴

（6

2m）2

8（3

m）0，解得1

m

3故实数m的取值范围是1

m

3.

例3．已知函数y

lg[x2

（a

1）

x

a2]的定义域为R，求实数a的取值范围。

解：

由题设可将问题转化为不等式

x2

（a

1）x

a2

0

对x

R恒成立，

即有

（

a

1）2

4

2

0

解得a

1或a

1

。

a

3

1,

所以实数a的取值范围为（

1）

（

）。

3

㈡二次函数在闭区间上恒成立问题

设f（x）

ax2

bx

c（a

0）

（1）当a

b

b

b

0时，f（x）

0在x

[

]上恒成立

2a

或

2a

或

2a

，

f（

）

0

0

f（）

0

f（x）

0在x

[

]上恒成立

f（

）

0

f（

）

0

（2）当a

0时，f（x）

0在x

[

]上恒成立

f（

）

0

f（

）

0

b

b

b

f（x）

0在x

[

]上恒成立

2a

或

2a

或

2a

f（

）

0

0

f（）

0

例1．设f（x）

x2

2

mx

2，当x

[1,

）时，f（x）

m恒成立，求实数m的取值范围。

解：

设F（x）

x2

2mx

2

m，则当x

[

1,

）时，F（x）

0恒成立

y

当

4（m

1）（m

2）

0即

2

m

1时，F（x）

0显然成立；

x

当

0时，如图，F（x）

0

恒成立的充要条件为：

-1

O

x

5

0

F

（1）0解得3m2。

综上可得实数m的取值范围为[3,1）。

2m

2

1

六、构造函数（有时需要移项和分离）

1）f（x）a恒成立

a

f（x）min

2）f（x）

a恒成立

a

f（x）max

例1．已知f（x）

7x2

28x

a,g（x）

2x3

4x2

40x，当x

[

3,3]时，f（x）

g（x）恒成立，

求实数a的取值范围。

解：

设F（x）f（x）

g（x）2x3

3x2

12x

c，

则由题可知F（x）

0

对任意x

[

3,3]恒成立

令F'（x）

6x2

6x

120，得x

1或x2

而F

（1）

7a,F

（2）

20a,F（

3）

45

a,F（3）

9

a,

∴F（x）max

45

a

0

∴a45即实数a的取值范围为[45,

）。

例2．函数f（x）

x2

2xa,x

[1,

），若对任意x

[1,

），f（x）

0恒成立，求实数a的

x

取值范围。

解：

若对任意x

[1,

），f（x）

0恒成立，

即对x[1,

），f（x）

x2

2x

a

0

恒成立，

x

考虑到不等式的分母x

[1,

），只需x2

2x

a

0在x

[1,

）时恒成立而得

而抛物线g（x）x2

2x

a在x

[1,

）的最小值gmin（x）

g

（1）

3a

0得a

3

注：

本题还可将f（x）变形为f（x）

x

a

2

，讨论其单调性从而求出

f（x）最小值。

x

1

1

1

1

1

2对于一切大于

例3．已知不等式

2

3

loga（a

1）

1的自然数n都

n

1

n

n

2n

12

3