平行四边形的认识.docx

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平行四边形的认识

）

第16章平行四边形的认识

16.1平行四边形的性质

1、平行四边形的性质

（1）

教学目标

1•认识平行四边形是中心对称图形。

2.理解平行四边形其边、角之间的位置关系和数量关系

3•理解并掌握平行四边形的特征。

4.能灵活运用平行四边形的特征并进行简单的推理证明教学重点与难点

重点：

平行四边形的特征与性质的探索过程。

难点：

发展学生的合情推理能力。

教学过程

一、提问。

1.平行四边形是同学们常见的平面图形，你见过那些物体具有平行四边形的形状

2.你能从如图所示的图形中找出平行四边形吗

二、新授。

1.按课本第96页的“探索”画图。

2.剪下平行四边形，沿平行四边形的各边再在

一张纸上画一个平行四边形，各顶点记为A、B、C、D。

通过连结对角线得交点0,用一枚图钉穿过点0,把其中一个平行四边形绕点。

旋转，观察旋转180°

后的图形与原来的图形是否重合。

重复旋转几次，

看看是否得到同样的结果。

问题1:

平行四边形是否是中心对称图形？

问题2:

请说出平行四边形边、角之间的位置关系和数量关系

（出题的目的在于激发学生的积极性，培养学生的数学思维能力

3.小组讨论，探索结果。

平行四边形的对边相等，对角相等。

（整个过程注意引导学生观察、思考、发现问题。

有的学生可能发现对角线互相平分，要及时鼓励和肯定，表扬学习积极性较强的学生。

）

三、应用举例。

1.例1如图，在平行四边形ABCD中，已知/A=40°，求各个内角的度数。

（该题若将/A=40°改为/B=140°，培养

发散思维能力。

）

2、平行四边形的性质

（2）

教学目标

1.进一步认识平行四边形是中心对称图形。

2•掌握平行四边形的对角线之间的位置关系与数量关系，并能运用该特征进行简单的计算和证明。

3.充分利用平面图形的旋转变换探索平行四边形的等量关系，进一步培养学生分析问题、探索问题的能力，培养学生的动手能力。

教学重点与难点

重点：

利用平行四边形的特征与性质，解决简单的推理与计算问题。

难点：

发展学生的合情推理能力。

教学过程<...

一、提问。

上——

1.平行四边形的特征：

对边（），对角（）。

2.如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于BC,E是垂足。

如果/B=55°，那么/D与/DAE分别等于多少度？

为什么？

（让学生回忆平行四边形的特征。

）

二、引导观察。

1.按照课本第96页“探索”画一个平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点0,量一量并观察，0A与0C、OB与0D的关系。

2.在如课本图，你观察到0A与0C、0B与0D的关系了吗？

通过探索，引导学生得出结论：

0A=0C,0B=0D。

同时又引导学生说出平行四边

形的特征：

平行四边形的对角线互相平分。

（培养学生用自己的语言叙述性质。

）

三、应用举例。

AC、BD相交于

如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线点0。

指出图中相等的线段。

（引导学生得出结论：

A0=0C，0D=0B，AB=CD，

AD=BC。

本题目的是让学生初步掌握平行四边形

对角线互相平分以及对边相等的应用。

）

例3如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交相于点0,△A0B的周长为15,AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？

（让学生回答，老师板演。

注意条理，培养学生数学说理的习惯与能力。

）

四、巩固练习。

1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,已知AC=26厘

米，BD=20厘米，那么A0=（）厘米，0D=（）厘米。

2.在平等四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,已知AB=3,BC=4,

AC=6,BD=5，那么△A0B的周长是（），△B0C的周长是（）。

3.平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点0,已知AB=8厘米，BC

=6厘米，△A0B的周长是18厘米，那么△A0D的周长是（）厘米。

4.试一试。

在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度。

得到平行线又一性质：

平行线之间的距离处处相等。

5.练习。

如图，如果直线I1//I2•那么△ABC的面积和厶DBC的面积是相等的。

你能说出理由吗？

你还能在两条平行线11、12之间画出其他与厶ABC面积相等的三角形吗？

五、看谁做得又快又正确：

课本第100页练习的第1、2题。

六、课堂小结：

这节课你有什么收获？

学到了什么？

还有哪些需要老师帮你解决的

问题？

七、作业：

课本习题16.1的第3、4题

16.2矩形、菱形与正方形的性质

1、矩形

教学目标

1.探索并掌握矩形的概念及其特殊的性质。

2.学会识别矩形。

3.

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步培养学生数学说理的习惯与能力。

教学重点与难点

重点：

矩形特殊特征与性质的探索过程。

难点：

学生数学说理能力的培养。

教学过程

一、提问。

1.平行四边形的特征：

对边（）,对角（）,对角线（）。

2.

如图，在平等四边形ABCD中，AE垂直于BC,E是垂足。

如果AB=55。

，那么/AD与/DAE分别等于多少度？

为什么？

（让学生回忆平行四边形的特征与识别。

）

二、引导观察。

如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什

可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状。

问题：

我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就能得到一个怎样的平行四边形？

（教师移动D点，使/=90°，让学生观察。

）

从而导人课题：

矩形。

三、探索特征。

1.探索。

请你作矩形纸板的对角线，探索矩形有哪些特征，并填空。

（从边、角、对角线入手。

）

（1）边：

对边相等；

（2）角：

四个角都相等；（3）对角线：

相等。

（学生通过自己的操作、观察、猜想，完全可以得到矩形的特征，这对学生来说是

富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。

）

2.请你折一折，观察并填空。

（1）矩形是不是中心对称图形？

对称中心是（）

（2）是不是轴对称图形？

对称轴有几条？

（）。

四、应用举例

1例1如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86厘米，对角线长是13厘米，那么矩形的周长是多少？

（矩形的简单的计算问题必须要求学生掌握。

此题教师板演，让学生说出理论依据。

）

2.请你思考。

识别一个四边形是不是矩形的方法。

最后教师适当

（学生的回答不一定很完整，可以多让几个学生相互补充，逐步完善,的给以点拔。

）

五、巩固练习。

1.如图，在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角。

2.

如图，矩形ABCD的两条对角线交于点0,且/AOD=120°你能说明AC=2AB吗？

六、拓展延伸。

1•如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点0,/AOD=120°AB=5厘米，求矩形对角线的长。

2.工人师傅在做门框或矩形零件时，常常测量它们的两条对角线是否相等来检查直角的精度，为什么？

七、课堂小结。

这节课你有什么收获？

学到了什么？

有什么疑问提出来？

八、布置作业：

习题16.2第1、3题

2、菱形

教学目标

1、使学生掌握菱形的定义；

2、使学生掌握菱形的性质，

3、经历探索菱形的性质的过程，在操作活动和观察、分析过程中培养主动探究的习惯.

教学重点：

菱形的性质•

教学难点：

运用菱形的性质•

教学过程：

采用复习旧知探究新知模式（即：

温顾知新）

1、平行四边形的性质：

①;

②；

③.

2、矩形的性质：

①;

②.

3、直角三角形斜边上的中线等于

4、课题引入：

现在流行一种新式的衣帽架，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的平行四边形，固定在墙上，既美观又实用•观察它们的邻边有什么特点。

像这种有—组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

5、探究：

将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开，你发现这是一个什么样的图形呢？

观察右图：

回答菱形是轴对称图形吗？

（）有条对称轴？

对称轴之间有什么

位置关系？

你能看出图中哪些线段或角相等吗？

6、菱形的性质：

①菱形的四条边都；

②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组.（学生观察、结合图形叙述，教师板书）

7、菱形的周长等于边长的4倍。

8菱形的面积等于对角线乘积的一半。

（师生共同探讨）课堂练习

1、菱形的四边;两条对角线，并且

2、四边形ABCD是菱形，0是两条对角线的交点，AB=5,A0=4,则对角线AC的长为、BD的长为.

3、菱形对角线的长分别是6cm和8cm,贝U其周长为—，面积为范例点评

例：

如图，在菱形ABC中，/BA[=2ZB,

巩固练习B的度数，

1、并菱形明ABA

B

课堂小结：

菱形的定义、性质、周长、面积等。

思考题

1、如图，四边形ABCD是菱形•对角线

AC=8cm，DB=6cm，DHLAB于H求DH的长.

布置作业：

p105:

1；习题16.2第2题

3、正方形

教学目标

1•探索并掌握正方形的概念及其特殊的性质。

2•学会识别正方形

3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步

培养学生数学说理的习惯与能力。

教学重难点

重点：

正方形特殊特征与性质的探索过程。

难点：

数学说理能力的培养。

教学过程

一、提问。

观察正方形有哪些特征？

边；角；对角线0进而导入课题：

正方形

二、探索，概括。

1、观察正方形是否轴对称图形？

是否中心对称图形？

正方形可以看作为的菱形；正方形可以看作为的矩形

（让学生探索、讨论，培养学生的合作能力与意识，也可以指名学生讲讲他的发现。

）

2、正方形是中心对称图形，也是轴对称图形。

正方形可以看作为

有一个角是直角的菱形；正方形可以看作为有一组邻边相等的矩形。

三、应用举例

例3如图，在正方形ABCD中，求/ABD、/DAC、/DOC的度数。

（此题要求学生尝试说出每一步的根据是什么，用以培养他们的逻辑思维能力和数学说理能力。

）

四、巩固练习。

1如果要用给定长度的篱笆围成一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区

域围成怎样的四边形？

2•在下列图中，有多少个正方形？

有多少个矩形？

五、看谁做的又快又正确？

用纸剪出一个正方形，与你的同伴比一比，看谁又快又正确

六、课堂小结：

这节课你有什么收获？

学到了什么？

有什么疑问提出来？

七、布置作业

16.3梯形的性质

教学目标

1•掌握梯形的概念以及等腰梯形的性质。

2•会运用分解梯形为平行四边形与三角形的方法解决一些特殊的图形问题。

3•培养学生观察、类比、实验、分析、概括的能力。

4•培养学生化归的思想和添加辅助线的能力。

教学重难点

重点：

梯形的定义与等腰梯形的性质。

难点：

添加辅助线把梯形转化为平行四边形和三角形的方法。

教学过程

一、回忆。

1•说出平行四边形的特征与其识别的方法。

观察图形。

2•学生回答后在图

（1）旁边标注“对边平行”，然后指向图2），问图

（2）是什么四边

形？

学生回答后板书课题：

梯形。

二、引导观察。

让学生观察图（3），并跟平行四边形的定义进行对比，引导学生试述梯形的概念，并结合图形说出梯形的底、腰及高。

（板书。

）一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

（或：

只有一组对边

平行的四边形叫做梯形。

）

如图，梯形ABCD中，AD//BC,其中AD是上底，BC是下底，AB、CD是腰，

EF是高

三、巩固练习。

I•如图，梯形ABCD中，AD//BC,上底是

2.小组讨论。

（1）一组对边平行的四边形是梯形吗？

（2）一组对边平行且相等的四边形是梯形吗？

3.特殊梯形。

观察图（4）和图⑸的特点，找出它们与一般梯形的区别，引导得出直角梯形和等腰梯形的概念。

由学生试述，教师根据回答情况及时更正并板书。

（板书。

）一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

特殊梯形直角梯形等腰梯形

思考讨论：

若上面两个条件同时成立是否是梯形？

4.等腰梯形的特征的发现及证明。

等腰梯形是我们常见的图形，利用它的特殊形状可以构造各种建筑模种图案，比如我们常用的梯子。

下面观察演示一下等腰梯形具有哪些特征

下底是

并作出高。

型，设计各

让学生先在硬纸片上画一个等腰梯形，再用剪刀剪下来，通过折叠、对比、演示，启发学生从腰、底角、对角线的对称性人手，寻求发现等腰梯形的特征，培养学生观察、分析、概括的能力。

让学生试述结论，教师适时用准备好的等腰梯形纸片进行演示并及时补充完善结

论。

等腰梯形的性质：

（1）两腰相等；

（2）同一底上两角相等；⑶两条对角线相等；⑷轴对

称图形，对称轴是过两底中点的直线。

（性质（4），学生不易发现，应引导他们联系等腰三角形的轴对称性发现结论并叙述。

）同学们经过努力，发现了上述结论，这些结论是否成立仅靠观察是不可靠的，需要用所学知识进行严密的推理论证。

（教师应引导学生积极探求真理，激发学生的求知欲，由小组讨论、探索证明思路。

教师启发点拔，怎样添加辅助线使梯形转化成已熟悉的三角形和平行四边形？

通过启发引导学生利用转化思想解决问题。

）

可让学生广开思路，任其发挥，教师根据学生的推理情况调控教学。

对于结论

（2）

若学生运用转化思想，能找出证明思路，应给予充分的肯定和鼓励。

由学生口述教师板书完整的证明过程；若不能的，引导学生做如下探索推证。

如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，

请你说明/B=/C。

5.思考讨论

我们在探索证明的过程中，得到的解决梯形问题的一般方法是什么

（板书。

）梯形转化三角形和平行四边形。

四、知识应用。

上面探索发现的结论经过推理都是正确的，

与证明。

1.判断。

（1）一组对边平行的四边形是梯形。

（2）一组对边平行且相等的四边形是梯形。

2.填空。

如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，

今后我们可利用这些结论进行有关计算

/B=60°,AB=8厘米，则

⑴/C=（）,ZD=（）,CD=（）厘米。

⑵若BC=15厘米，则AD=（）厘米，

梯形面积S=（）厘米2。

3.如图，梯形ABCD中,AD//BC,ZB=70°,ZC=40°,试说明CD=BC-AD。

根据学生解题的实际情况及时反馈纠正

五、课堂小结。

1.围绕学习目标提问有关梯形的概念及等腰梯形的性质。

2.本节课主要的数学方法一一转化思想。

六、布置作业：

习题16.3第1、2题

§16.3.2梯形

（2）

知识技能目标

1.运用梯形、等腰梯形、直角梯形的有关知识进行计算、说理；

2.能恰当地添加辅助线把有关梯形的问题转化成平行四边形和三角形来解决

过程性目标

让学生通过添加辅助线，能用熟悉的平行四边形和三角形解决梯形问题，从而感受到数学学习中的

化归思想.

教学过程

一、创设情境

师上节课我们学习了梯形、等腰梯形、直角梯形，下面我们先回忆一下什么是等腰梯形、直角梯

形.

生两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.（如图所示）

师好！

那等腰形的特征是什么？

生等腰梯形的特征：

（1）等腰梯形的两腰相等.

（2）等腰梯形是轴对称图形.

（3）等腰梯形同一底边上的两个内角相等.

（4）等腰梯形的两条对角线相等.

、探究归纳

上节课我们学到梯形总可以分成一个平行四边形与一个三角形，这是我们解决有关梯形的问题时经常使用的方法.

如图，我们可以把梯形ABCD分成口ABED和△CDE运

四边形和三角形的知识来解决梯形的问题

三、实践应用

例1如图，在等腰梯形ABCD中,AD//BCAB=CD,/C=60°,AD=15cm,BC=49cm,求CD

的长.

D作AB的平行线，把等腰梯形ABCD化为平行

分析构造三角形和平行四边形来解，常用方法是过四边形ABED和等边三角形ECD

解过D作DE//AB交BC于E,

则四边形ABED为平行四边形•

•••AD=BE=15,AB=DE,

因此EC=BC—BE=BC—AD=49-15=34.

又•••AB=CD.

•DE=CD.

又/C=60°,

•△CDE是等边三角形

从而可知：

CD=EC=34.

例2如图，在梯形ABCD中,AB//CD对角线AC丄BD且AC=4,BD=5,求梯形的面积

分析添加梯形对角线的平行线构造平行四边形BDCE和直角三角形ACE.

解过点C作CE//BD交AB的延长线于点E,

又AB//CD,

•四边形BDCE为平行四边形因此CE=BD=5,BE=DC.

又•••C到BE的距离等于A到CD的距离

•SAACD=SABEC.

从而S梯形ABCD=SAAEC

•/AC丄BD,CE//BD,

•AC丄CE,

四、交流反思

师生共同归纳：

添加辅助线可以把有关梯形的问题转化成平行四边形和三角形来解决.

五、检测反馈

1.填空题.

⑴如图，在梯形ABCD中,AD//BC,/B=55°,/C=70°,

n,BC=m则/D=,CD=.

（2）已知梯形上底长为2,下底长为5，一腰长为4,则另一腰x的取值范围是.

2.已知等腰梯形的周长为50cm,下底长为20cm,下底与一腰的夹角为60°，求等腰梯形的上底及

腰长.

3.在等腰梯形ABCD中,AD//BC,/DBC=45°,高DE=10cm求上、下底的和与面积•

本章复习

、判断题

1•矩形是轴对称图形，对角线是它的对称轴.（）

2•平行四边形也是轴对称图形其对称轴也是对角线.（）

3.AD是直角三角形ABC的中线，那么AD就等于它斜边BC的一半.（）

二、选择题

4.矩形ABCD勺长为5,宽为3，点E、F将AC三等分，则△BEF的面积为（）.

a35小5

A•B.C.—D.5

232

5.已知矩形ABCD勺AB=2BC在CD上取点E,使AE=EB那么/EBC等于（）.

A.60°B.45°C.30°D.15°

12

6.已知E、F分别是矩形ABCD的对边BC和AD上的点，且BE^BC,AF二AD,连结AGEF,那么

33

（）.

A.AC平分EF,但EF不平分ACB.AC与EF互相平分

C.EF平分AC,但AC不平分EFD.AC与EF不会互相平分

7.如果矩形ABCD勺对角线AC和BD所成的锐角是60°,那么（）.

行四边形的锐角的度数为（）.

A.15°B.30°C.45°D.60°

若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）.

10.E为矩形ABCD勺边CD上的一点，AB=AE=4BC=2则/BEC>（）.

A.15°B.30°C.60°D.75

11.如图1所示，矩形ABCD勺对角线交于O,AE±BD于E,/1:

/2=2:

1,?

则/1的度数为（）.

A．22．5°B．45°C．30°D．60

（1）

（2）（3）

12.下列叙述错误的是（）.

A.平行四边形的对角线互相平分

C.矩形的对角线相等D

13.下列性质矩形不一定具备的是（

（4）

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

.对角线相等的四边形是矩形

）.

D.对角线互相垂直

A.对角线相等B.四个内角都相等C.对角线互相平分三、填空题

14.如图2所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分/ADC交AC于E,BC于F,?

/BDF=15,则/COF=.

15.矩形ABCD中,AB=8BC=6,E、F、G是AD的四等分点，则△BEF的面积是.

16•若矩形两邻边之比为3:

4,周长为28cm,则它的边长为.

已知矩形的对角线与较长边所夹的角等于30°,那么较短边与两对角线所围成的三角形是三角形.

17.矩形ABCD的周长为40cm,O是它的对角线交点，△AOBfc^AOD周长多4cm,则它的各边长之

比为.

19.如图3所示，矩形ABCD中,AE丄BD于E,/DAE=3/BAE则/BAE=,/EAD=/

EAC=.

20.矩形ABCD中,M为AD的中点，？

MB?

丄MC?

矩形的周长为24,?

则AB=?

?

BC=.

21.O为矩形ABCD的对角线交点，/AOB=2/BOC对角线AC=12贝UCB=.

22.如图4所示,在矩形ABCD^,AB=2BC在CD上取点E,使AE=?

AB?

则/EAB=,/BEC=.

23.M为矩形ABCD的BC上一点，DN丄AM于N,AB=3BC=7,AM=5贝UDN=.

四、解答题

24.如图所示，矩形ABCD中,ACBD相交于O,AE平分/BAD交BC?

于E,?

若/CAE=15的度数，求/BOE的度数.

25.如图所示，矩形ABCD中，对角线ACBD交于O点，CE!

BD于E,OFLAB?

于F,BE:

DE=1:

3,

OF=2cm求AC的长.

26.如图所示，矩形ABCD中，长为7,宽为6,点E、F将BD三等分，求△AEF的面积.