新函数一.docx
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新函数一
函数
（一）
知识要点
一、函数的概念：
1变量与常量：
在问题研究的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫
做常量（或常数）
2、函数的定义：
在某个变化过程中有两个变量，设x为和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量.
3、函数的定义域与函数值：
函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.
如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a,变量y的对应值叫做当x=a时的函数值.
“y是x的函数”用记号y=f（x）来表示.这里括号内的字母x表示自变量，括号外的字母
f表示y随着x变化而变化的规律。
在函数用记号y=f（x）表示时，f（a）表示x=a时的函数值.
二正比例函数：
1正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（其中k=0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
正比例函数的定义域是一切实数.
2、正比例函数的图像：
一般地，正比例函数y=kx（k丰0）的图像是经过原点（0,0）和点（1,k）的一条直线，.我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.
3、正比例函数的性质：
（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值
也随着逐渐增大.
（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值
也随着逐渐减小.
三、反比例函数：
1、反比例函数的定义：
k
函数y,（k=0）叫做反比例函数，其中k也叫比例系数.
x
反比例函数的定义域为不等于零的一切实数
2、反比例函数的图像与性质：
反比例函数的图像是双曲线
（1）当k>0时，函数图像的两个分支分别分布在第一、三象限内，在每一个象限中，y随x的增大而减小；
（2）当kV0时，两个分支分别分布在第二、四象限内，在每一个象限中，y随X的增大而增大。
（3）两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴。
四、1•一次函数：
一般地，解析式形如y二kx・b（k,b为常数，且k=0）的函数，叫做
一次函数•对一次函数的概念应从以下三个方面理解：
①k=0:
②x的次数是1次；③常数
项b可为任意的实数.
1、一次函数的定义域：
xR.
2、一次函数与正比例函数的关系：
正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。
3、常值函数：
一般地，我们把函数y=c（c为常数）叫做常值函数，它的自变量由所讨论的问题决定•
4、待定系数法求一次函数解析式：
待定系数法：
先设出待求函数的关系式，再根据条件求出未知系数，从而得到所求结果的方
法叫做待定系数法，其中未知系数也称为为待定系数
用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤：
（1）设函数关系式为y二kx•b（其中k,b为待定系数）；
（2）将已知点的坐标代入函数关系式，解方程（组）；
（3）求出k,b的值，得到函数解析式.
例题讲解
2
【例1】1、若函数y=（m2—4m+3n）xm+3m—2n是正比例函数，求m,n的值•
2、下列函数中，那些是一次函数？
哪些是正比例函数（x是自变量）
x3厂x/»\2小2/丄\/小\
（1）y；
（2）y；（3）y=5；（4）y=3x-2；（5）y=x-（x-1）（x-2）
2x
2
3、已知y=（m-3）xm"3是一次函数，求其函数关系式•
4、已知ym与x■n（m,n为常数）成正比例•
（1）判断y与x成什么函数关系；
（2）如果当x=3时y=5,当x=5时y=11,求y与x之间的函数解析式
【例2】已知一次函数的图像交正比例函数的图像于第二象限内的点A,交x轴于点B（-6,0）
AOB勺面积为15,且AB二AO,求正比例函数和一次函数的解析式.
525
【例3】已知直线y二kx•b,当x时y=0,且与坐标轴围成的三角形的面积为，求此
24
直线的解析式.
【例4】
1已知函数y=卜+1+卜+3，那么x取值时，函数最小值为2.
x—3■”
2、如果f（x）=—，g（x）=（J6+x2—1）f（x），那么g（J2）=
£6—x+1
3、函数y1二x的定义域是
1纠-5
【例5】1、说出下列变化过程中，哪些量是常量，哪些是变量，变量之间是函数关系吗？
（1）正方形的周长C与它的边长a；
（2）银行一年定期存款的本金x元与利息y元；
（3）等腰三角形顶角的度数x与底角的度数y；
（4）长方形的宽一定时，其长与面积；
（5）等腰三角形的底边长与面积；
（6）关系式y=X中的y与x；
【例6】1、下列函数中，是正比例函数的是（）
3x2
（A）y（B）y（C）y=3x9（D）y=2x
x4
2、若函数y=（2m+6x2+（1-m）x是正比例函数，则m
3、若x、y是变量，且函数y=（k+1）x"是正比例函数，贝Uk=.
4、已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，贝Uy=9时x=.
5、正比例函数y=（m-1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（）
A.m=1B.m>1C.mv1D.m>1
2
p、仏m-5m-5
6、函数y=（m-4）X的图象是过一、三象限的一条直线，贝Um=
7、若正比例函数图象过点（1,），求该正比例函数的解析式；
8、正比例函数图象经过
P（-3,2）和（一m,m—1）,写出正比例函数解析式，并求出
的值.
【例7】1、下列函数中，
y是x的反比例函数的是（
）.
D
1
.=
A
.x（y-1^1B.
1
y=
x1
1
C.y2
x
2、
2
若y=（a-1）是反比例函数，则
a=（）
A.
a=1B.a=-1C
.a=0D
.任意实数
k-2
3、已知反比例函数y，其图象在第一、三象限内，则k的取值范围为
x
2
4、若点（—2,yi）、（―1”2）、（-3,y3）都在反比例函数y=——的图象上，则的x
大小关系是（）.
A.yi:
科3：
科2b.y3：
y?
c.yi：
：
y^：
：
y3d.e：
wyi
2
5、反比例函数y=（3m-i）xm，的图象在所在的象限内，y随x增大而增大，则m=
3
6、下列各点中，在函数y=――的图象上的是（）.
x
（2）t（小时）的取值范围;
（3）画出这个函数的图像；
6
2、已知正比例函数y=kx和反比例函数y的图像都经过A（m,-3）,
x
求（i）m的值
（2）正比例函数的解析式；（3）求出它们的交点坐标。
3.如图，在△AOB中，AB=OB，点B在双曲线上，点A的坐标为（2,0）,S血=4，求
点B所在双曲线的函数解析式。
4、已知双曲线上两点A（2,4）,C（4,2）,
且AB丄OB,CD丄OD,
求
（1）双曲线的函数解析式；
（2）△OAB的面积;
（3）△OAC的面积。
5、已知直线y=kx过点（-2，1），A是直线y=kx图象上的点，若过A向x轴作垂线，垂
足为B，且SABO=9，求点A的坐标。
6、已知正反比例函数的图像交于A、B两点，过第二象限的点A作AH丄X轴，点A的横坐
标为-2，且Saoh=3,点b（m,n）在第四象限。
（1）求这两个函数解析式；
（2）求出它们的交点坐标。
课堂练习：
2y+1
1、已知x与y的关系是x.把它改写成y=f（x）的形式；
y-1
2、已知y与x成正比例，且当x=-2时，y=-7，求y与x的函数解析式.
3、已知：
反比例函数的图象上有两点A（一4,3）和P（a,_2）•
求：
点P的坐标.
4、已知：
如图，正比例函数的图象经过点求m的值.
6
5、已知正比例函数
数解析式.
y=kx和反比例函数y=—的图像都经过点A（m,-3）.求此正比例函
x
6、已知y=%•y2,y1与x成正比例，y2与x-3成反比例，当x=4及x=1时，y的值都等于3.求：
当x=6时，y的值.
7、已知点P是反比例函数图象上的一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足是A、B,
四边形AOBP的面积是1,求反比例函数的解析式
8、正比例函数y=2x与反比例函数的图象相交于A,C两点，过A作x轴的垂线交
x
x轴于点E,连接BC.求△ABC的面积
课后作业
一、填空：
（1）如果y=kx+b是一次函数，那么k应满足的条件是.
（2）当a=时，函数y=x3aj2+a是一次函数.
（3）已知函数y=2x—m，当x=4时，y=5，贝ym=.
（4）已知一次函数f（x）=J3x+1，贝Uf（3）=;若f（a）=4，贝Ua=.
（5）如果y与x-2成正比例，且比例系数是3,那么这个函数的解析式是.
（6）小华用50元去购买单价为3元的贺卡，剩余的钱y（元）与购买贺卡的张数x（张）
之间的函数关系是,x的取值范围是.
（7）如果y=（m_2）x+5_m是一次函数，那么m满足的条件是.
（8）已知y-2与x+1成正比例，当x=3时，y=6，这个函数的解析式是.
（9）已知常值函数f（x）=j3，贝Uf（3）=.
（10）已知变量x,y之间的函数关系式是y=（k—1）x+k（k是常数），那么yx的
一次函数.（填“一定是”或“不一定是”）
（11）设地面气温是20C,如果每升高1km,气温下降6C,则气温tC与高度h（km）的
函数解析式以及定义域是
二、选择：
（1）下列关于x的函数中，属于一次函数的是
1、已知函数y=（k-1）xk,
（1）当k取何值时，这个函数是正比例函数?
（2）当k在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？
2、已知一次函数y=kx・b，当x=0时，y=2；当x=2时，y=0.求这个一次函数的解析式.
3、已知等腰三角形的周长是12cm,写出它的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系
式，并指出这个函数的定义域
4、如图，已知矩形ABOD面积为3,点P坐标为2,例函数的解析式；
（2）求直线OP的解析式.
5、在RtABO中，•ABO=90，点B在x轴上，点
在第一象限的交点，且
S.m-3.
（1）求m的值;
（2）求S
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